Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004), страница 12

В случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами а, Ь, с, а буквами 1, 1, 1с. Итак, каждый из векторов 1, 1, )с имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимно ортогональны (обычно направления векторов 1, 1, к берут совпадающими с направлениями декартовых осей Ох, Оу и Оз соответственно). В силу основных результатов и. 7 каждый вектор д может быть, и притом единственным способом, разложен по декартову прямоугольному базису К1, (е, т.г.

для каждого вектора д найдется, и притом единственная, тройка чисел Х, У и л ') такая, что справедливо равенство «( = Х!+ У1-~л 1с. (2.24) Числа Х, У, л называются декартовыми прямоугольными координатами вектора «(. Если М вЂ” любая точка пространства, то определенные в гл. 1 декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными координатами вектора ОМ . Если вектор «1 имеет декартовы прямоугольные координаты Х, У, х, то мы будем использовать следующую символику: «1=(Х, У, г). Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора позволяет сделать следующее утверждение.

Теорема 2.9. Декартовы прямоугольные координатея Х, У и Х вектора «( равнья проекииям этого вектора на оси Ох, Оу и Ог соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. В полной аналогии с рассуждениями, проведенными при доказательстве теоремы 2.6 (п. 6), приложим вектор к( к началу О декартовой системы и проведем через конец Т) этого вектора три плоскости, параллельные координатным плоскостям Оуг, Оха и Оху (рис. 2.13). Точки пересечения указанных плоскостей с осями Ох, Оу и Оз соответственно обозначим буквами А, В и С. ) В слу гае декартовои прямоугольнон системы для координат вектора а вместо Л, и, у мы будем использовать обозначения Х, У, Х. ВектОРнля ллгевРл ~гл 2 Как и при доказательстве теоремы 2.6, получим, что г3 = ОА ьОВьОС Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА = Х, ОВ = У и ОС = Х мы получим следующее выражение для длины вектора д через его координаты: ~ а ~ = гх'' + +~' + ~'.

Из формул (2.26) и (2.27) вытекают следующие выражения для на- правляющих косинусов вектора д через координаты этого вектора: Х У сов сг = соз(3 = ° кт+к' Р г" .° «'+с л созу = ,Гхт+ ~' ° "г' (2.28) Дальнейшие рассуждения упомянутой теоремы (с учетом изменившихся обозначений) приводят нас к равенствам ОА = Х!, ОВ = У3, ОС = Лг. (2.25) В рассматриваемом случае декартовой прямоугольной системы параллелепипед, построенный на базисных векторах К ), (г и имеющий вектор д своей диагональю, является прямоугольным, Поэтому проекции (з вектора д на оси Ох, Оу и Ог соответственно рав- ны величинам ОА, ОВ и ОС. Для доказательства с е теоремы нам остается убедиться в том, что ОА = Х, ОВ= У, ОС=У.

Убедимся, например, в равенстве ОА =Х. В В силу (2.25) ОА =Х г. Отсюда и из того, что (в О л единичный вектор, вытекает, что ~ ОА ~ = ~Х~. Но ( и знаки чисел ОА и Х совпадают, ибо в случае, когРис 2лз да векторы ОА и г направлены в одну сторону, оба числа ОА и Х положительны, а в случае, когда векторы ОА и ( направлены в противоположные стороны, оба числа ОА и Х отрицательны. Итак, ОА =Х. Аналогично доказываются равенства ОВ= У и ОС=У. Теорема доказана, Обозначим буквами а, ~3 и ууглы наклона вектора д к осям Ох, Оу и Ог соответственно.

Три числа соз а, соз ~3 и соз у принято называть направляюи(ими косинусами вектора д. Из теорем 2.9 и 2.8 (см. формулу (2.28)) вытекают следующие формулы для координат Х, У и Х вектора д: Х= ~д~ соз сг, У= ~д! соз 13, Х= ~д! соз у. (2.26) скАляРнОе НРОизведение дВух ВектОРОВ Возводя в квадрат и складывая равенства (2.28), получим, что со5 а -~- с05 ~).~.

со5 у= 1, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице. Так как вектор д однозначно определяется заданием трех его координат, то из формул (2.26) ясно, что вектор д однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов. В заключение докажем сформулированные в конце предыдущего пункта линейные свойства проекции вектора на ось, т.е. докажем, что при сложении двух векторов д, и дз их проекции на произвольную ось и складываются, а при умножении вектора д, на любое число а его проекция на произвольную ось и умножается на число а. Пусть дана произвольная ось и и любые векторы д, и дл Введем декартовы прямоугольные координаты так, чтобы ось и совпала с осью Ох.

Пусть д, = Х, 1+ У, 1 ч. Х, 1г, г(а = Х51 5- У51 ч. Хз 1с. Тогда в силу теоремы 2.7 д, ч- д, = (Х, + Ха) + (У, + Уа)1+ (Х, + Ха) К ад, = (аХ,) 1+ (аУ,)1+ (аХ,) 1г. Но в силу теоремы 2.9 и того, что ось и совпадает с осью Ох, можно утверждать, что Х, =пр„дн Ха=пр, д,, Х,+Ха=прк(д|+дз), аХ, = пр, (ад,). Таким образом, пр„(д, е да) = пр, д, е пр„д,, пр„(ад,) = а пр„дн и сфор- мулированное утверждение доказано. 9 2. Скалярное произведение двух векторов 1. Определение скалярного произведения.

Определение!. Скалярным произведением двухвекторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь будем обозначать символом аЬ. Если угол между векторами а и Ъ равен ф, то по определению скалярное произведение этих двух векторов выражается формулой аЬ= )а) )Ь| соз ф. (2.29) Сформулируем д р у г о е о п р е д е л е н и е скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1. Для этого воспользуемся ьо Вектогнля ллгевгл ~гл 2 понятием проекции вектора Ь на ось, определяемую вектором а. В соответствии с обозначениями п. 8 9 1 будем обозначать проекцию вектора Ь на ось, определяемую вектором а, символом пр, Ь. На основании теоремы 2.8 получим пр ° Ь= |Ь! соз ць (2.30) Сопоставление равенств (2.29) и (2.30) приводит нас к следующему вы- ражению для скалярного произведения: аЬ= |а| пр, Ь. (2.31) Конечно, в проведенных рассуждениях можно было бы поменять местами векторы а и Ь.

При этом мы пришли бы к следующему выражению для скалярного произведения; аЬ= |Ь! прь а. (2.32) Выражения (2.31) и (2.32) приводят нас к следующему определению скалярного произведения (эквивалентному определению 1). Определение2. Скалярным произведением двухвекторов называется число, равное произведению длингя одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Понятие скалярного произведения векторов родилось в механике. Если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора Ь, то работа и указанной силы определяется равенством щ = |а||Ь| сов ср, т.е. равна скалярному произведению векторов а и Ь.

2. Геометрические свойства скалярного произведения. Теорема 2.10. Необходимым и достаточнгям условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы а и Ь ортогональны, гр — угол между ними. Тогда соз у = 0 и в силу формулы (2.29) скалярное произведение аЬ равно нулю.

2) До с тато ч н о от ь. Пусть скалярное произведение аЬ равно нулю. Докажем, что векторы а и Ь ортогональны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или Ь является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать ортогональным любому вектору). Если же оба векторааиЬненулевые,то |а| >Он |Ь| >О,нпоэтомуизравенствааЬ=О и из формулы (2.29) вытекает, что соз ф = О, т.е. векторы а и Ь ортогональны.

Теорема доказана. СКАЛЯР)ЮЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 6! Прежде чем сформулировать следующее утверждение, уточним понятие угла тр между векторами а и Ь. Приведем произвольные векторы а и Ь к общему началу О (рис. 2.14). Тогда в качестве угла тр между векторами а и Ь можно взять любой из двух указанных на рис. 2.14 углов гр! и тра. В самом деле, сумма углов ср! и тр, равна 2я, и поэтому сов ср, = сов гры а в определение скалярного произведения входит только косинус угла между векторами. Из двух углов тр, и тра один заведомо не превосходит и (на рис.

2.14 не превосходит и угол тр!). Договоримся в дальнейшем под углом между двумя векторами подразумевать тот угол, который не пре- О Ь восходит и. Рис 2 )4 Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 2.11. Деа ненулевых вектора а и Ь составляют острый 1тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно 1отрицательно). Дока за тел ь ство. Так как векторы а и Ь ненулевые, то в силу формулы 12.29) знак скалярного произведения совпадает со знаком соз гр. Но если угол гр не превосходит к, то соз гр положителен тогда и только тогда, когда ср — острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда гр — тупой угол.

Теорема доказана. 3. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя с в о йствами; 1' аЬ = Ьа 1переместительное свойство); 2' (иа)Ь = а(аЬ) 1сочетательное относительно числового множителя свойство); 3' (а ч- Ь)с = ас 4- Ьс (распределительное относительно суммы векторов свойство); 4' аа > О, если а — ненулевой вектор, и аа = О, если а — нулевой вектор ). ) Отме~им, что в курсе линеинои алгебры вместо множества векторов рассматрива.