Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004)

УДК 514.122 ББК 22.151.5 И 46 Учебник удостоен Государственной премии СССР за 1980 год Ильин В. А., Позняк З. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Для вузов. — 7-е изд., стер. — Мс ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — (Курс высшей математики и математической физики.) — 1ЯВХ 5-9221-0511-6. Учебник написан на основе опыта преподавания авторов в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Первое издание вышло в 1968 г., второе (1971 г.) и третье (1981 г.) издания стереотипные, четвертое издание (1988 г.) было дополнено материалом, посвященным линейным и проективным преобразованиям. Для студентов физических и физико-математических факультетов и факультетов вычислительной математики и кибернетики университетов.

Ил. 85. 1ВВ)х) 5-9221-0511-6 ® ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии Прелисловие Введение 9 1О 11 13 13 $1 Декартовы координаты иа прямои 1 Направленные отрезки на оси (13) 2 Лнненные операции нал направленными отрезками Основное гажлесгво (14) 3 Декартовы коорлинагы на прямаи (16) 6 2 Декартовы координаты иа плоскосзи и в пространстве 1 Декартовы коорлннагы на плоскости (16) '2.Декартовы коорлинагы в пространстве (16) 9,'). Простейшие залачи аналитической геометрии 1 Понятие направленного отрезка в пространстве Проекция направленного отрезка на ось (17).

2 Расстояние между лвучя точками (18) 3. Деленно отрезка в данном отношении (19) 4 Бариценгрические коорлинагы (2 П, 6 4 Полярные, цилиндрические и сферические координаты 1 Полярные коораинагы (22). 2 Цилиндрические коорлинагы (23). 3 Сферические координаты(24) Дополнение к главе 1. Определители второго и третьего порядков........ 1 Понятие чагрицы и определителя второго парялка (24) 2 Система двух ли пенных уравненинслвумянеизвесгными(25) 3.0прелелнтелнгрегьегопорялка(28) 4 Своисгва опрелелигелеи (29).

5 Апгебраические пополнения и миноры (11) 6 Система грех линейных уравнении с гремя неизвестными с определителем, отличным ог нуля (34) 7 Однородная система двух линеиных уравнении с тремя ненавесгнымн (36). 8 Олноролная система грех липеи ныл уравнении с гремя неизвестными (38) 9 Неоднородная система трех липеи ных уравнений с гремя нензвесгвыми с определителем, равным нулю(39) 16 17 22 24 Г л а в а 2. Векторная алгебра 42 42 Понятие вектора и лииеиные операции над векторами 1. Понятие вектора(42).2 Линейныеопераанинаквекгарамн(43).3 Понягнелннеи- иои зависимости векторов (48) 4 Линеииые комоинании двух векторов (49) 5 Ли- неиные комбинации трех векторов (50) 6 Лннеиная зависимость четырех векто- ров (52) 7 Поняз ие базиса Аффинные координаты (53) 8 Проекция вектора на ась иеесвоисгва(55) 9 Декарговапрямоугольнаясисгсмакоорлинагкакчасгныислучаи эффи н пои системы коорлинаг (57).

Скалярное произведение двух векторов 1 Опрелехеннескалярногопроизвекения(59) 2 Геоиегрическиесваистваскалярна- гапроизвеления(60) 3 Алгебраическнесваисгваскалярнагопраизвеления(61) 4 Вы- ражение скалярного произведения влекаргавых коорлинатах (62). Векторное и смешанное произведения векторов 1 Правые и левые гронкн векторов и системы координат (63) 2 Определение вектор- ного праизвелениялвух векторов(64) 3 Геометрические свойства векторного произ- ведения(65) 4 Смешанное произвелениетрех векторов(67) 5 Алгебраическиесвои- сгва векторного произведения (68) 6 Выражение векторного произведения влекар- говых каарлинагах (72) 7 Выражение смешанного праизвеления в декартовых координатах(73) 8 Двойное векторное произведение (74) 63 Г па на 1.

Системы координат. Простейшие задачи аналитической гео- метрии ОГЛАВЛЕНИЕ 76 Преобразование декартовых прямоугольных координат на плос- кости Преобразование декартовых прямоугольных координат в про- странстве 1 Об~циефарьгувыпреабразования<79).2 Выяснеииегеаметрическагосмыс«а Углы Эйяера<81) Линейные преобразования 1 Понятие знненных преобразовании пзаскасти <83) 2 Аффиниые преобразования плоскости <84) 3 Оспа виое сваиства аффини их преобразовании плоскости <86) 4 Ос- новнои инвариант аффи вне~ о преоораза ванна цяоскости <88) 5 Аффи иные преаора- завания пространства <89) 6 Ортаганальныс преобразования <90) Проективные преобразования 91 92 93 76 83 92 4 Уравнение линии на плоскости.

Уравнения поверхности и див пространстве Уравнение линии на плоскости 1 Понятие об уравнении хинин <95) 2 Параметрическое представление аннин <96) 3 Уравиениехинии вразличиыхсистемахкоординат<98) 4 Дватипазадач,связанных с аиавитическнм представлением линии <100) 5 Классификация плоских «ниии <100) 6 О пересечении двух линии <102) Уравнение поверхности н уравнения линии в пространстве 1 Понятие об уравнении поверхности <102) 2 Урзвяеиня линии в пространстве <104) 3 Цилиндрические и конические поверхности(104) 4 Параметрические уравнении линии и поверхности в пространстве <107). 5 Классификации поверхностен <108) 6 О пересечении поверхностен и аннина пространстве <109) 7 Заключительные замечания<110) Глава 95 нии 102 Г л а в а 5 Линейные образы !11 111 Различные виды уравнения прямой на плоскости 1 Общееурэвнеииепрямаи<Н1),2 Непалиыеуравненияпрямаи Уравнениепрямаи вотреаках <1!3),1.

Каноническое уравнение праман <114) 4 Параметрические урав- ненияя праман <115) 5 Прямая с углавылг казффицианточ <115). 6 Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых <Н6) 7 Нор- мированное уравнение праман Отктанеине тачки от пряьюи <118). 8 Уравнение пуч- ка прямых <120 Некоторые задачи на прямуго линию на плоскости 1 Нахождение прямой, проходящей через данную точку М <хп р ) и састаыяющей заданный угад фсдаиной праман у = й х е Ь, <123) 2 Нахождение биссектрис угаов, образованных данными прямымн <124) 3 Условия, при которых данная прямая пере- секает данныи атревак АВ <124) 4 Определение местоположения двннаи тачки М и начала координат О относительна углов, образованных двуия данными прямы- ми <124) 5.

Условие пересечения трех прямых в аднаи точке <125) 6 Накаждение праман, проходящеи через тачку пересечения двух данных прямых и удавлетваряю- щеи еще адначу условию <126) Различные вилы уравнения плоскости 1 Общее уравнение плоскости <127) 2 Неполные уравнения плоскости Уравнение плоскости в отрезках <129). 3 Упш междудвучя пласкастямн Условия параалезьиа- сти и перпенднкузярности плоскостеи <130) 4 Уравнение плоскости, проходящей через грн раввин~ ые тачки, це лежащие иа одной прямои <131) 5 Нормированное уравнение гщоскости Отклонение тачки от плоскости <132) 6 Пучки и связки плос- костеи <134). Прямая линия в пространстве 1 Канонические уравнения прямои в пространстве <135) 2 Уравнения прямой.

про- ходящеичерездверазличныетачки31 <хи уь«) иМ <хпр««0<137) 3 Парамегри- !27 93 135 Г л а в а 3 Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве ОГЛАВЛЕНИЕ 140 х — х, у — у, з — г, кУ Мв)хо, Уэ, зф и пеРаендикУзЯРнои заданной пРиыай — -- -' =. —.-' =- — -'. Н41) ) и и х-х, у — г, г — з, 8 Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую ' = ' ' = ' и ! и н через заданную не.лежащую на зтои прямой точку Ме!хз, да, га) Н42) 9 Уравнение х-х, у-у, з-з, плоскости, прохадяшеи через данную прямую = = и параллелью, л, х — х, у — уз з — з, ной другои данной прямои -- --' =----' =----'.

!142) 10 Уравнение плоскости, ), мт и, проходяшеи через заданную прямую 6, и перпендикулярнои заданной плоскос- ти к 1143) 11 Уравнения перпендикуляра, опушенною из задан ион точки Мл на дан- ную прямую6,1143). 12 Нахажаение расстоянияотданноиточкиМодоланнои пра- мон Ц П43) 13 Нахождение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся пря- мым Г~ и Ел !143) 14 Нахождение кратчзишего расстояния между двумя данныь|и скрещивающимися прямыми Ц и Гт)143) 144 144 Глава 91 6.Линни второго порядка Канонические уравнения эллипса, гиперболы н параболы 1 Эллипс П44) 2 Гипербола Ц47) 3 Парабола Н48) Исследование формы эллипса, гиперболы н параболы по нх каноническим уравнениям 1 ИсследованиеформыэллипсаП50) 2 ИссаедовзниеформыгиперболыП51) 3 Исследование формы параболы Н 55) Директрисы эллипса, гиперболы н параболы Эксцентриситет эллипса и гиперболы П56) 2 Директрисы эллипсз и гиперболы !157) 3 Определение эллипса и гиперболы, основанное на их сваистве па отношению к директрисам 1161) 4 Эллипс, гипербола и парабола как конические се ~ения 1164) 5 Полярные урзвнения эллипса, гиперболы и параболы П65) Касательные к эллипсу.

гиперболе и параболе 1 Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе !167) 2 Оптические своиства эллипса, гиперболы и дарзболы 116М Кривые второго порядка 1 Преобразование коэффициентов уравнения линии второго порядка при переходе к новоидекартовои системе коорли наг !170). 2 Инварианты уравнения линии второго порилка Понятие типа линии второго порядка!172) 3 Центр линии второго порядка Н 75) 4 Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота асей 1176) 5 Упрощение уравнения центральиаи линии второго порядка 1)т и 0) Классификация центральных линии П 77) 6 Упрощение уравнения линии параболического типа)!т = 0) Класс афикация линии параболического типа Ц 80) 7 Распалаюшиеся кривые второго парилка П 83) !49 155 %3 167 169 ческие уравнения прямои в пространстае П 37) 4.

Угол между пряьлыл~и в пространстве Усзовия параллельности и перпендикулярности прямых !137). 5 Усзовие принадлежности двух прямых к одной плоскости !138) 6 Угол между прямой и плоскостью Условия параллегжности и перпендикулярности прямои и плоскости х — х, >' — у, г — г, 1138) 7 Условия принадлежности прямой — — -'-= — . ' = — — -'- к плоскости щ л ЛхэВрч Сгч 0=01139) 8 Связка пряиык !139) Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве 1 Усзпвие пересечения трех пласкостеи в однои и только в однои точке !140) 2 Нахождение биссе ктральн их ил оскостеи лву гран на го угла, образованного лвумя данными плоскостями Н40) 3 Условия, при котпрых данная плоскость пересекает данныиотреюкЛВП41) 4 Определение местоположениядвухданныхточекАи В относительно двуграииых углов, образованных данными плоскостями 1141) 5 Уравнения прямой, проходя шеи через данную точку М !хи уи з ) и пер не иди ку.