Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 2
Текст из файла (страница 2)
лирнои даннои плоскости Ах ь Вр э Сз ь О = О !141) 6 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Мв)хв, ул, з„) и парад.лелыюй задаинаи плоскости А хэ В у э С зэ В, =0!141) 7 Уравнение плоскостипроходвшеичереззаданнуюточ- ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а н а 7 Поверхности второго порядка 184 184 $1 Понятие поверхности второго порядка .. 1 Преобразование коэффициентов уравнения поверхности второго порядка прн перехаае к казан декартовой системе каорлннат(1851 2 Инварианты ураваення поверхности второго парялка(1861 3 Центр поверхности втараы порядка(187) 4 Станаартное упрощение любага уравнения поверхности второго парялка путем поворота осей(1871 9 2 Классификация поверхностен второго порядка 1 Классификация центраавных поверхностей (1891 2 Классг~фнкацня нецентральных поверлнастен второго порядка (192! 9 3.
Исслелонание формы поверхностен второго порядка по их каноническим уравнениям 1 Эллипсоид(1941 2 ГнпероазаиаыП961 3 Параболонлы(1981 4 Конус и цнлннлры второго порядка (2001 5 Пряллазнненные образующие поверхностен второго парялка(2021 189 П р и л о ж е н и е. Проблемы оснований геометрии и обоснования метода координат 205 9 1 Аксиомы элементарнаи геометрии 205 1.
Аксиомы принадлежности (2051, 2. А кон аллы порядка (2071. 3. Аксиомы кон груэнтнасти(209). 4 Аксиомы непрерывности (2 Н1 5. Обоснование метала каарли наг (21 П 6 Аксиома параллельности(236) 9 2. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида ........ 217 6 3. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского 220 9 4. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики ............. 222 ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Данный выпуск серии представляет собой учебник по курсу аналитической геометрии. Кроме традиционно излагаемого материала, он содержит изложение некоторых вопросов, находящих применение в физике и в теоретической механике гпонятие о барицентрических координатах, выяснение роли углов Эйлера в вопросах преобразования координат, представление произвольного преобразования в виде трансляции и одного поворота в пространстве, оптические свойства кривых второго порядка и т.п.).
Представляет интерес и приложение, содержащее аксиоматику Гиль- берта, обоснование метода координат и дающее представление о неевклидовой геометрии. А. Тихонов, В.Ильин,А. Свешников ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга возникла на основе лекций, читавшихся авторами на физическом факультете МГУ в течение ряда лет.
Отметим некоторые особенности изложения. Во-первых, отметим, что по всей книге идет параллельное рассмотрение случаев плоскости и пространства. Весьма подробно излагается векторная алгебра. При ее изложении сразу же вводится понятие линейной зависимости векторов, н на его основе устанавливается возможность однозначного разложения вектора по аффинному базису. Отличаются от общепринятых доказательство распределительного свойства векторного произведения и формулы для двойного векторного произведения. В связи с потребностями теоретической механики детально рассматривается преобразование декартовых прямоугольных координат.
Выясняется роль углов Эйлера и устанавливается, что, каковы бы ни были два базиса одной ориентации, один из них может быть преобразован в другой посредством параллельного переноса и одного поворота вокруг некоторой оси в пространстве. При описании линейных образов, наряду с изложением традиционного теоретического материала, рассмотрено большое число задач идейного характера. Нам кажется, что разбор этих задач принесет пользу студентам, приступаюшим к упражнениям. Не оставлены без внимания и имеющие прикладной характер вопросы теории образов второго порядка (оптические свойства, полярные уравнения и т.п.). Приложение к книге содержит материал, не входящий в традиционные курсы аналитической геометрии.
Здесь дается представление об аксиоматике Гильберта. Проводится обоснование метода координат, дается представление о системе развертывания основных геометрических понятий, об евклидовой и неевклидовой геометриях и о доказательствах их непротиворечивости. По программе, действующей в настоящее время, этот материал не входит ни в один математический курс. Тем не менее этот материал актуален не только с точки зрения логических принципов построения геометрии, но и для понимания ряда разделов современной физики. При написании этой книги мы широко пользовались советами и дружеской критикой А.Н. Тихонова и А.Г. Свешникова, которым приносим свою глубокую благодарность.
Нам хочется также поблагодарить Н.В. Ефимова и А.Ф. Леонтьева за прочтение рукописи и сделанные ими замечания. 1968 г. В. Ильин, Э. Позняк ВВЕДЕНИЕ Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом ). Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и плоскости) относятся к числу так называемых начальных понятий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать определение каждого их этих понятий неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным. С научной точки зрения логически безупречным методом введения указанных понятий является аксиоматический метод, в развитии и заверд шенин которого величайшая заслуга принадлежит Гильберту ).
Аксиоматический метод излагается в Приложении в конце настоящей книги. Там дается представление о всей системе аксиом геометрии но так называемой неееклидоеои геометрии, к которои приводит замена одной из аксиом (так называемой аксиомы параллельности) утверждением, ее отрицающим. Там же выясняется вопрос о непротиворечивости как евклидовой, так и неевклидовой геометрии и устанавливается, что конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам геометрии, является введение точек как всевозможных упорядоченных троек (х, у, г) вещественных чисел, прямых — как множества троек (х, у, г), удовлетворяющих системе двух линейных уравнений, и плоскостей — как множества троек (х, у, г), удовлетворяющих одному линейному уравнению.
Аксиоматический метод закладывает фундамент и для лежзщего в основе аналитической геолтетрии метода координат. Ради простоты рассмотрим вопрос о введении координат на прямой. Возможность введения координат на прямой основывается на возможности установления езаимнооднозначноеосоотеетстеия междумножестеомесехточекпрямои и множеством всех вещественных чисел. Доказательство возможности установления такого соответствия базируется на аксиомах геометрии и на аксиомах (свойствах) множества вещественных чисел ') и приводится в з Приложении к настоящей книге.
') Рене Декарт — великий французскии математик н философ (1596 — 1656), ) Давид Гильбсрт — великии немецкии математик (!869-)943) ) Свойства вещественных чисел и аксиоматическин метод введения множества вещественных чисел излагаются в гл 2 и в Приложении к вывуску ) настоящего курса 12 ВВЕДЕНИЕ Таким образом, в Приложении к настоящей книге читатель найдет обоснование как системы развертывания основных геометрических понятий, так и лежащего в основе аналитической геометрии метода координат. Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа.
ГЛАВА 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В этой главе вводятся декартовы координаты ) на прямой, на плоскости и в пространстве. Рассматриваются простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении). Дается понятие о других системах координат (полярных, цилиндрических и сферических). ф 1.
Декартовы координаты иа прямой Ось ) Коордпнажь«(ог латинских слов со — совместно, огйпв)пз — упорядоченный, опрепеленный) — числа, заданием которых определяется положение точки нз прямои, на плоскости или в пространстве !соогвегсгвенно на линии или нв поверкности) Заслуга введения метода координат, с помонгью которого задачи геометрии могут быть истолкованы пз языке математического анализа, н, обратно, факты анализа могут приобрести геометрическое толкование, принадлежит фрвнцузскоь«у ученому Р Декарту ) В Приложении в конце эгон книги рассматривается зксиомвтн «еское ввслсние основных геометрических понятии !гочек, прямых.
плоскосгеи) Кроме того, в этом же Приложении устанавливается связь между геометрическим понятием прямой линии и понятном числовой осп )см. вып, ! сысновы математического вязлнзз«). 1. Направленные отрезки иа оси. Прямую лияию ') с указанным на ней направлением будем называть осью. Отрезок на осн называется направленным, если указано, какая нз его граничных точек является началом и какая — концом. Будем обозначать направленный отрезок с началом в точке Л и концом в точке В символом АВ (на рис.
1.1 изображены направленные отрезки АВ и СР ). Мы будем рассматривать также и так называемые нулевьге направленньге отрезки, у которых начало и конец совпадают. С каждым направленным отрезком сопоставляется его числовая характеристика — так Рис !.! называемая величина направленного отрезка. Величиной АВ направленного отрезка АВ называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком плюс, если направление АВ совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление АВ противоположно направлению оси. Величины всех нулевых направленных отрезков считаются равными нулю.
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ )4 )ГЛ ! 2. Линейные операции над направленными отрезками. Основное тождество. Предварительно определим равенство направленных отрезков. Направленные отрезки мы будем перемешать вдоль оси, на которой они лежат, сохраняя при этом их длину и направ.тение ). Два ненулевых направленных отрезка называются равыьгми, если при совмещении начал этик отрезков совпадают и их концы. Любые два пулевых на правлен ньгх отрезка считаются равньгми. Очевидно, необкодимым и достаточным условием равенства двух направленных отрезков на даннои оси является равенство величин этих отрезков.
Линейными операциями над ыаправлеынымн отрезками будем называть операции сложения таких отрезков и умножения направленного отрезка на вещественное число. Перейдем к определению этих операций. Для определения с у м м ы направленных отрезков АВ и СР совместим начало С отрезка СР с концов! В отрезка АВ !рис. ! .2). Полученный при этом направленный отрезок АР называется суммой направленных отрезков АВ и СР и обозначается символом АВ ж СР. Справедлива следуюшая основная теорема. Теорема 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
