Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004) (1095460), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рассмотрим в пространстве декар- х тову прямоугольную систему коордиРис нат Охуг, и пусть в этой системе координат точки Мп М, и М имеют соответственно координаты (хп уп г,), (х,, у„гз) и (х, у, г). Спроецируем точки Мь М, и М на координатные осн (на рис. 1.10 указаны лишь проекции Мы, Мз, и М, точек Мп Мз и М на ось Ох). Очевидно, точка М,. делит направленный отрезок М„Мсх в отношении ),. Поэтому МОМ, М,М,, (1.! О) Согласно теореме 1.2 М„М,.
= х — хо а М,.МЕ, = хз — х. Отсюда и из соотно- Х, Р )Х. шения (1.10) найдем, что х равняется . Совершенно аналогично 1-'; Х вычисляются координаты у и г точки М. Таким образом, х~ и)"хз У~+)"Ус х= , у= , г= 1эХ 1э). 1е)с называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М Мз . Таким образом, любая, отличная от Мз точка М делит отрезок М,МЕ в некотором отношении )., где ). определяется равенством (1.9). 3 а м е ч а н и е ! . При изменении направления на прямой, проходящей через точки М, и Мз меняют знак величины всех направленных СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 20 !ГЛ ! Формулы (1.11) называются формулами деления отрезка в данном отношении ) .
3 а м е ч а н и е 2, Очевидно, если ). = 1, то точка М делит отрезок М,МЗ пополам. Получающиеся при этом из соотношений (1.11) формулы называются формулами деления огпрезка пополам. 3 а м е ч а н и е 3, Для положительных значений ), точка М лежит между точками М, и Ма (в этом случае, как это видно из (1.9), отрезки М,М и ММЗ одинаково направлены), а для отрицательных значений— вне отрезка М,МИ 3 а м е ч а н и е 4.
Соотношения (1.11) имеют смысл для любых значений Х ~ — 1. Этим, в частности, и объяснялось указанное ранее ограничение для значений ) . П р и м е р. Решим задачу о вгячислении координат центра тяжести системы материальных точек. Используем следующие два допущения, отвечающие известным физическим предпосылкам: 1) Центр тяжести системы из двух точек М, и Ма с массами соответственно т, и т, находится на отрезке М,М, и делит этот отрезок в отношении) =тз/тн 2) Центр тяжести системы точек Мн М„..„М„И М„с массами соответственно ть т,, т,, т„совпадает с центром тяжести системы из двух точек, одна из которых является точкой М, с массой т„, а другая находится в центре тяжести системы точек Мн Мм ...
„., М„, (с массами тн т.„..,, т,,) и имеет массу т, + т,е... ч-т„н Из первого допущения и формул (1.11) вытекает, что координаты х, у и г центра тяжести системы из двух точек М,(хн ун г,) и Мя(хз, ум г,) т1х1 + тзх2 т~у1 + тчуз с массами т, и тз равны соответственно ' ' ' ', 'у' зу' и т| '- тч т) ч тз т,г, + тгг, . Поэтому следует ожидать, что координаты х, у и г центра т, -~-т, тяжести системы из п точек М, (х„у„г,), 1 = 1, 2, ..., и, с массами т, мо- гут быть вычислены по формулам т,х, е ... ч- т„х„т,у, э ...
"; т„у„ х= "", у= т, +...+т„ т( е...-~-т„ (1.12) тлг1 е '' ч тчг г= В справедливости этих формул можно убедиться по индукции, если использовать второе допущение. В самом деле, пусть эти формулы справедливы для системы точек Мн ..., М„, с массами от ть ......, т„, Тогда, например, для абсциссы х рассматриваемой системы точек Мн ..., М„, 21 431 ПРОСТЕИШИЕ ЗЛДЛЧИ ЛНЛЛИТИЧЕСКОИ ГЕОМЕТРИИ согласно второму допушению и формуле для абсциссы х системы из двух точек, получим выражение т,х, е.., ем„,х„, (т, ч- ... ч- т„,) ' ' " ' " ' е т,х„ т, ч-. ет„, х= (т, + ... ч- т„, ) э т, из которого сразу же вытекает первая формула (1.12).
Выражения для у и а получаются аналогично. 3 а м е ч а н и е. Если система точек Лдг с массами то расположена в плоскости Оху, то координаты х и у центра тяжести этой системы могут быть найдены по первым двум формулам (1.12). (1 13) тг э пг э тз = 1, что диииая точка М (х, у) б)гдет центром тяжестп системы точек Мь Мз, Мз с массами тг, тг, т, соответственно. Ниже мы убедимся, чго при сформулированных требованиях числа ти ть тз определяются однозначно для каждой тоти М. Они называются барацеитрическама координатами почки М относительно базисных точек Мь М, и Мз.
Сформулированная задача о существовании чисел то тг, тз при условии (1.13) сводится, очевидно, к исследованию вопроса об однозначной разрешимости следующеи системы трех линейных уравнений ) относительно т и тг,тз. гпг э тт ч тз т,х,, тгхз э тгхг =х, югу ! ' тгуг е тзрз = У (1 14) Известно, что для однозначной разрешимости квадратнои системы линейных уравне- ний (система, у которой число уравнений равно числу неизвестных) необходимо и достаточно.
чтобы определитель этой системы был отличен от нуля (см. Дополггегтие к этои шгаве) Для рассматриваемои системы этот определитель имеет вид ! 1 ! хг хг хз уг уз уз =(хз -х,)(уз-у,)-(хз-х,)(уз-у,). ) Последние два уравнения этан системы орсдставяяют собои следствия первых двух соотношений (1.12) и соотяошения (!.!3). 4. Барицентрические координаты. Формулы (1.!2) используются для введения так называемых барацеипраческах коордаиап. Рассмотрим барицентрические координаты на плоскости В целях упрощения рассуждении будем считать, что на плоскости введены и декартовы координаты Оху. Рассмотрим какие-либо три различные точки М,(хь у,), Ме(хг, уг), Мз(хм уз), пе лежащие яа алкой прямой, и любую данную точку М(х. У).
Выясним, существуют ла покое три число ть тг, тз, удовлетворяющее условию СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 22 )гл 1 хз - х, ух - у~ Этот определитель отличен от нуля, иначе мы получили бы пропорцию — = — — =— хт — хг Ю вЂ” я и, обозначив кажлое нз указанных отношении через — Х(Хе — 1, нбо топки Мх и Мт различны), пришли бы с точностью до обозначении к первым двум равенствам (1.11) Это означало бы, что точка М, делит отрезок МзМт в отношении А, т е означало бы, что точки Мо Ме н Мз лежат на одной прямой. Таким образом. система (1.14) олпозначно разрешима относительно то ть тз.
Следовательно, положение любои точ- ки М на плоскости однозначно определяется относительно базисных точек гИь Мз.Мз этои плоскости посредством барицентрических координат ть тэ и тз. Барицентрические координаты в пространстве вводятся совершенно аналогично Дтя этого используются четыре базисные точки, не располагающиеся в одной плоскости. й 4.Полярные,цилиндрические нсферическиекоординаты 1. Полярные координаты.
Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Выберем на плоскости некоторую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох (рис. 1.11). Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами гп о ч к и М иазьгваюгпся два числа р игр, первое из которых (полярный радиус р) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярМг М ньш угол гр) — угол, на который нужно повернуть Р против часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом ОМ ). Точку М с полярными координатами р и гробо- 0 М х значают символом М(р, гр).
Рис 1.11 Для того чтобы соответствие между отличны- ми от полюса точками плоскости и парами полярных координат (р, гр) было взаимно однозначным, обычно считают, что р и гр изменяются в следуюгцих границах: (1. 15) О < р < ч- оо, О < гр < 2я. 3 а м е ч а н и е. В некоторых задачах, связанных с непрерывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерывное изменение полярных координат этой точки. В таких задачах удобнее отказаться от ограничений для р и гр, указанных в соотношениях (1.15). Если, например, рассматривается враи(ение гпочки по окружности против часовой стрелки (р = сопз!), то естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать, при большом числе оборотов, значения, ббльшие 2я.
Если же рассматривается движение точки по прямой, проходящей через полюс ) При этом предполагается, ~то точка М отлична от полюса Для полюса О полярный радиус р равен нулю, а полярный угол неопределенныи, т.е, ему можно приписать, любое значение. э«1 ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 23 (ср = сопз1), то естественно считать, что при переходе через полюс ее полярный радиус меняет знак.
Закон изменения величин р и ср выясняется в каждом конкретном случае. Установим связь между полярньсми координатами точки и ее декартовыми координатами. При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью (рис.
1.11). Пусть точка М имеет декартовы координаты х и у и полярные координаты р и ср. Очевидно, х=р сов ср, у=рз!пср. (1.16) Полярные координаты р и ср точки М определяются по ее декартовым координатам х ну, очевидно, следующим образом: р =,/х~ + у . Для того чтобы найти величину угла ср, нужно, используя знаки х и у, определить квадрант, в котором находится точка М (см. и. 1 $ 2 этой главы и рис. 1.6), и, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла ср равен у сх. 2. Цилиндрические координаты. Цилиндрические координаты в пространстве вводятся следующим образом.
Выберем на фиксированной плоскости П некоторую точку О и выходящий из нее луч Ох (рис. 1.12). Кроме того, рассмотрим ось Ог, проходящую через О перпендикулярно плоскости П. Пусть М вЂ” любая точка пространства, Л! — проекция этой точки на плоскость П, а М, — проекция М на ось Ог.
Цил и ндр ичес к им и к о ар ди и от а м и т о чк и М называются три числа р, ср и г, первые два из которых (р и ср) являются полярными координатами точки О1 в плоскости П относительно полюса О и полярной оси Ох, а число г есть величина отрезка ОМ,. Точку М с цилинд- Рис 1.12 рическими координатами р, ср и г обозна- чают М (р, ср, г). Наименование «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р = сопз! (те. иове рхн ость, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образуюшие которого параллельны оси Ог (на рис. 1.
! 2 такой цилиндр изображен штриховыми линиями). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат Охуг так, как указано на рис. !.12, то декартовы координаты х, у, г точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами р, ср, г соотношениями х = р соз ср, у = р гйп ср, г = г. (1. 17) 3 а м е ч а н и е. Так как первые две цилиндрические координаты р и «р являются полярными координата,ии проекции )У точки М на плоскость П, то к этим двум координатам относятся замечание и выводы, сделанные в предыдушем пункте. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 24 1гл 1 Сферические координаты.
Для введения сферических координат в транстве рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу и О общим началом О (рис. 1.13). Пусть М вЂ” любая, отличная от О т пространства, тУ вЂ” ее проекция на плоскость Оху, р — расстояние М от О. Пусть, далее, 0 — угол, который образует направленный отрезок ОМ с осью а, а гр — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох ) до совмещения с лучом Оттг. Углы 0 и гр называют широтой и долготой соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
