Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004), страница 7

Конечно, аналогичное свойство справедливо и применительно к строкам определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают одному и тому же столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю. Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Будем исходить из третьей формулы (Д!.15), дающей разложение определителя по элементам третьего столбца: а, Ь, с, аз Ьз сз = с1С1 ж сзСз ч- сзСз.

(Д1. 1?) а, Ьз сз а, Ь, 6, аз Ьз Ьз — — Ь~С~ + ЬзСз + ЬзСз. "з Ьз "з (Д1.! 8) Беря теперь в равенстве (Д1.18) в качестве Ь и Ьз и Ьз сначала элементы аь аз и аз первого столбца, а затем элементы Ьн Ьз и Ьз второго столбца и учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свой- ства 3 равен нулю, мы придем к следующим равенствам: а, С, + азСз+ азСз = О, Ь, С, + ЬзСз+ ЬзСз — — О. Тем самым доказано, что сумма произведений элементов первого или вто- рого столбца на соответствующие алгебраических дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Так как алгебраические дополнения Сн Сз и С, элементов третьего столбца не зависят от самих элементов сн сз и с, этого столбца, то в равенстве (Д1.17) числа с,, сз и с, можно заменить произвол ьньчми числами Ьн Ьз и Ьз, сохраняя при этом в левой части (Д1.17) первые два столбца определителя, а в правой части величины Сп Сз и Сз алгебраических дополнений.

Таким образом, при л юбых 6 ь Ьз и Ьз справедливо равенство СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ З4 ~глы Аналогично доказываются равенства азВ, + авВа+ азВЗ = О, сзВ, + саВа+ сзВЗ вЂ” — О, Ь,А, + ЬЕАЕ 4- ЬЗАЗ = О, сзА, + сзАЕ+ сзАЗ = О и соответствующие равенства, относящиеся не к столбцам, а к строкам: а,А, + Ь,ВЗ + с, Сз = О, азАЗ+ ЬЕВЗ -~ сзСЗ = О, а,АЕ+ Ь,ВЕ+ с, С, = О, азАг+ ЬзВв+ сзСЕ = О, азА, + ЬЕВ, + сзС, = О, азА, + ЬЗВ, + сзС, = О. 6. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с определителем, отличным от нуля. В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными а,х е Ь,у+ с!г = Ьн азх е Ьзу+ сзг = Ья азх э Ьзу э сзг = "з 1Д1.19) а, Ь, с, Ьз Ь, с, Д Ь с Ьз Ьз с„ Ь, сз аз Ьз сз 6, с, Ь.

с з з а) Ь1 а. Ь Ь аз Ьз Ьз а, зз = а, Р аз Определитель Л принято называть определителе я системы (Д ! .19) 1он составлен, нз коэффициентов при неизвестных). Определители Л„ЛК и Л, получаются из определителя системы Л посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Для исключения из системы (Д!.19) неизвестных у и г умножим уравнения (Д!.! 9) соответственно на алгебраические дополнения Ап А, и А, !коэффициенты ап а,, аз, Ьн Ь, Ьз, сь сн сз и свободные члены йп Ьз Ьз считаются заданными), Тройка чисел хе, у„, г„называется реизением системы 1Д1.19), если подстановка этих чисел на место х, у, г в систему !Д1.19) обращает все трн уравнения (Д1.19) в тождества. Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следующие четыре определителя; ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛДВЕ ! элементов первого столбца определителя Л системы и после этого сло- жим эти уравнения. В результате получим (а,А, + азАЕ ь а)Аз)х+ (Ь,А, + ЬЕАе+ ЬзАз)у+ (с~А) ж сяАЕ+ с)Аз)г = =Ь,А, +ЬЕАаМЬзАж (Д1.20) Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю) (см, свойство 9), получим а,А) + аяАЕ + азАз = Л, Ь А, + ЬЕАЕ+ Ь,Аз -— О, с,А, + сгАа+ сзАз — — О.

(Д1.21) Кроме того, посредством разложения определителя Л, по элементам пер- вого столбца получается формула Л, = Ь,А, + ЬяАЕ+ Ь)А). (Д1.22) С помощью формул (Д1.2!) н (Д!.22) равенство (Д1.20) перепишется в следующем (не содержащем неизвестных у и г) виде: л х=л, Совершенно аналогично выводятся из системы (Д1.19) равенства Л у = Л„ и л ° г = л,').

Таким образом, мы установили, что система уравнений (Д1.23) л х=л„л.у=л, л.г=л, является следствием исходной системы (Д ! . 19). В дальнейшем мы отдельно рассмотрим д в а с л у ч а я: 1) когда определитель Л системы отличен от нуля; 2) когда этот определитель равен нулю. Здесь мы рассмотрим лишь первый случай (рассмотрение второго случая отложим до п. 9).

Итак, пусть Ли О. Тогда из системы (Д1.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: х =л «гл, у=ля,«л, г=лз«'л (Д1.24) Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (Д1.23) и потому доказывают единственность решения исходной системы (Д1.19), ибо система (Д1.23) является следствием системы (Д1.19), и всякое решение системы (Д1.

! 9) обязано быть решением и системы (Д1.23). ) «!ля получения этих равенств следует сначала улшожить уравнения (д! )Э) соответственно на алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов. а затем сложить полученные равенства СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ !Гл ! Итак, мы доказали, что если у исходной системы (Д1.19) существует при А м О решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (Д! .24). Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в исходную систему (Д1.19) на место х, у и г их значения, определяемые формулами Крамера (Д1.24), и убедиться в том, что все три уравнения (Д1.19) обращаются при этом в тождества.

Убедимся, например, что первое уравнение (Д1.19) обращается в тождество при подстановке значений х, у и г, определяемых формулами Крамера (Д!.24). Учитывая, что Л, = Й~А~ »-ЙаАЕ»-6ЗАМ Ля = 6~В|-«ЙаВа-«6»ВИ Л, = Й,С, + ЙаС, + 6ЗСР будем иметь, подставив в левую часть первого из уравнений (Д1.19) значения х, у и г, определяемые формулами Крамера: ч а,х»-Ь,у+с,г=а,— '+Ь,— '-«с,— '= Л Л а 1 = — (а,(6«А«»-ЙЗАг»-ЙЗАЗ)» Ь!(6«В1«6гВЗ «ЙзВ») « а +с, (Й,С, + ЙЗСч + 6»СЗ)). Группируя внутри фигурной скобки члены относительно 6 и Йа и Йь будем иметь 1 г а,х+ Ь,у+ с г = — (6,(а,А,+ Ь,В,+ с«С) + Йа (а,АЗ + Ь,ВЗ + с1СЗ)+ Ь »-Йз(а,Аз -«Ь,Вз»-с,С,П.

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а круглая скобка равна определителю Л. Таким образом, мы получим а,х -«Ь,у -«с,г = 6П и обращение в тождество первого уравнения системы (Д1.19) установлено. Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений системы (Д!.19). Мы приходим к следующему выводу; если определитель Л системы (Д1.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системьп определяемое формулами Крамера (Д1.24). 7.

Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. В этом и в следующем пунктах мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения неоднородной системы (Д1.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными а,х+Ь,у»-с,г=О, азх + Ьзу + с,г = О. (Д1.25) 37 ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ ! Если все три определителя второго порядка, которые можно соста- вить из матрицы а, Ь, с, а, Ья ся (Д1.26) а Ь и О. а, Ь (Д1.27) Тогда мы можем переписать систему (Д1.25) в виде а,х+Ь,у=-с,г, азх .)- Ьау = — саг, и утверждать, что для каждого г существует единственное решение этой системы, определяемое формулами Крамера (см.

п. 2, формулы (Д! .8)): с, Ь, а, с, а, с а, Ь, ав Ьз с Ьа а, Ь, (Д!.28) аа Ь Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение алгебраические дополнения Лз, Вз и Сз элементов третьей строки определителя: а, Ь, с, аз Ь с аз Ьз сз ) Это предположение не снижает общности, ибо порядок следования неизвестных х, у и а находится в нашем распоряжении равны нулю, то в силу утверждения из п. 1 коэффициенты первого из уравнений (Д1.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих уравнений.

Стало быть, в этом случае второе уравнение (Д1.25) является следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя неизвестными а,х+ Ь,у+ с,г = О, естественно, имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (Д1.25) для случая, когда хотя бы один из определителей второго порядка, составленнгих из матрицы (Д1.26), отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что определитель ') СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ~гл ! В силу результатов п. 5 о связи алгебраических дополнений и миноров можно записать Ь, с, а, с, а, Ь, Аз — —, Вз — — —, Сз —— Ьз сз ат сз ат Ьэ (Д1.29) Основываясь на (Д1.29), мы можем переписать формулы (Д1.28) в виде х= — г, у= — 'г.

Аз Вз (Д1.30) Сз С, х=АЗС у=Взй г=СЗС (Д1.31) в которых ( принимает какие угодно значения, а алгебраические до- полненияАЗ, Вз и Сз определяются формулами (Д!.29). 8. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Рассмотрим теперь однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными а,хч-б,уч-с,г=О, азх ч- Ьау ж саг = О, азх ч- Ьту ч- сзг = О. (Д1.32) Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное решение:х =О,у=О,г=О.