Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003), страница 8

7. Найти угол, обраюванный прямыми х — 1 у+2 з — 5 х у — 3 э+! 3 б 2 2 9 б (Углом .иелсду прямыми в пространстве называется любой из углов, образованных двумя прямыми. провелен ными через произвольную точку пространства параллельно данным ) 6. Привести к каноническому вилу уравнения прямой < 2х — Зу — Зз + 9 = О, х — 2у + э + 3 <я О.

9. Через точку (2, — 5, 3) провести прямую: а) параллельную оси Ох; то прямая (13) параллельна плоскости (14), а точка (хо, уо, хо), через которую прямая проходит, лежит вне этой плоскости. Следовательно, прямая (13) в этом случае не имеет с плоскостью (14) ни одной общей точки. Если А!+ В<я+ Сп = О и Ахо+ Вуо+ Схо+ Ю = О, то в силу первого равенства прямая параллельна плоскости (14), а в силу второго равенстваточка (хо, уо, хо) прямой лежит в этой плоскости. Следовательно, в этом случае вся прямая лежит в этой плоскости.

$3. праиав ливия в прострекотав б) параллельитюпрамой *— ,' = в:а! = 'а,' в) параллельную прямой ( 2х — у+ 3а — ! = О, 5х+4у — * — 7 = О. 1О. Составить уравнения прямой, проходяшей через точку (1, — 1, 0) перпенлнкулярно плоскости 2х — Зу -ь 5* — 7 = О. 11. Найти точку пеуесечения: а)прямой язв ' = а:; = — *4 и плоскости Зх — у+2а — 5= 0; б) прямой з' = "Я2 = -', и плоскости Зх — Зу + 2а — 5 = О, 12.

Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную прямой х+2 у — 3 а †! 4 5 1Х Найти проекцию точки А(4, -3, !) на плоскость х+ 2у — а — 3 = О. 14. Составить уравнение плоскости, прохолишей через точку (4, -3, !) и параллельной прямым '- = = — ' и — ' = —" в ! -3 5 4 2 1$. Написатьуравнение плоскости, прохоляшей через прямую — *з = к! ~ = — *з параллельно прямой + = к,=- = — ''.

Ответы 1. а) у -!-5 = 0; б) х+ Зу = О. Х бх — 7у+ ба — 94 = О. 3. а) х — 4 у+ 5а+ ! 5 = 0; б) 2х — у — а = О. 4 Зх-бУ+2*-49 = О, 6 4х-У-!4х = О. 6.,- *= ть = -,*. усов а = Я. 8. - *= ", = *~,'. В качестве точки, лежашей на прямой, взята точка (0,0, — 3). $, а) — ' = т — = — * или [ а = а = 1 '(у+5=0; б) "= = тта- — — *т ', в) — *„= кД- = *— ,з .

1О. з = т з — — з. 11. а) (Х 3, !); б) пРямая параллельна плоскости. 12. 4х+ 5у — 2а = О. 13. (5, -1, 0). 14, !бх — 27у ч-!4а — !59 = О. 1$. 23х — ! бу+ !Оа — 153 = О, Глава И КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 51. Преобразование координат на плоскости Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат, Оху и О'х'р' (рис.1). Произвольная точка М относительно одной из этих координатных систем определяется парой чисел х и у, а относительно другой — парой чисел х' и р'.

Ясно, что между парами (х, у) и (х', у') имеется связь. Найдем ее. Рис.! 1.1. Параллельный перенос Предположим, что соответствуювтие координатные оси параллельны и сонаправлены, а точки начала отсчета различны. Это означает, что орты координатных осей соответственно равны (рис. 2). О' Рис. 3 Рис. 2 Пусты и г' — радиусы-векторыточки М,т.е. / г=хг+у(, г =х!+р3 4Т ! 1. Праобраэоааниа координат на онмнхсти и а, [[ — координаты точки 0' относительно системы координат Оху, т. е. 00' = а[+ Д. Так как г= г +00 (рис. 3), то х[+ у! = (х ! + у [) + (а[+ Д), или 1.2. Поворот Предположим, что координатные оси одной системы координат получаются из координатных осей другой системы поворотом на угол [с, а начальные точки совпадают (рис.

4). Координатами единичного вектора [' являются косинусы углов [с и т — [с, образованных этим вектором с осями Ох и Оу: 1' =[сов[с+) 5[и[, а координатами единичного вектора)' служат косинусы углов [с+ т и рп Д = -[ 5[П [с +,[ Соа [э (рис. 5). Так как радиус-векторы г = х[+ у) и г' = х'['+ у')' произвольной точки М в рассматриваемом случае равны, х[+ у) = х'4!' + у $, то, заменяя векторы [ и $ их выражениями, получаем, что х! + у,[ х ([с0$[с+,[$!п[с)+у ( 15[в [т+Д сОвтт) = сс (Х СО$ [э — У 5[и[э)[+ (Х ЯП [э+ У СО5 тт)), или Рнс. б Рис. $ Рис. 4 Глава и1. Кривые и пьеертоьтв второго первака 46 1.3. Зеркальное отражение В случае, когда оси абсцисс Ох и Ох' координатных систем совпадают, а оси ординат Оу и Оу' направлены противоположно, координаты (х, у) и (х', у') произвольной точки зьз связаны равенствами Ф х =х, у = — у (рис.

6). Справедливо следуюшее утверждение. Любое преобразование прямоугольных декпртовых координат (с сохранением масштаба) мозкно представить в виде последовательного выпсинения переноса, поворота и (если необходимо) зеркального отри зкения. 92. Кривые второго порядка Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху.

Множество точек плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют равенству (гЯ, я:.:ь»» (ь) где Р(х, у) — некоторая функция двух переменных, называется плоской кривой, или плоской линией; само равенство (*) называется урпвнением данной линии (кривой). Например, равенство х — у = О естьуравнение прямой — биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.7).

Равенство хз + у' — 1 = Π— уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 8). =О рис. з Рис. в Рассмотрим многочлен второй степени от двух переменных х и у: Р(х, у) = Ах'+ 2Вху+ Су + 2Рх+ 2Еу+ Р, А + В' + С > О. Уравнение Р(х,у) =О будем называть уравнением линии (кривой) впюрого порядкп. Если линиями первого порядка являются именно прямые н только они, то множество кривых второго порядка заметно разнообразней. Поэтому исследованию обшсго уравнения кривой второго порядка естественно предпослать изучение некоторых частных, но важных случаев.

$3. Эалкпс $3. Эллипс Эллипсом называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декар- товой системе координат Оху имеет вид .2 з — + — =1, аэ Ьз где а > Ь > О. Система координат Оху, в которой уравнение эллипса имеет вид ( 1), называется канонической (для данного эллипса); само уравнение ( !) называется каноническим уравнением эллипса.

Окружность х'+у'= а' (2) является частным случаем эллипса(при а = 6). Это позволяет несложным способом определить форму эллипса: эллипс (! ) получается и з окружности (2) путем ее равномерного сжатия' ) к оси Ох (с коэффипиентом ), т.е. заменой в уравнении х' + у' = а' координаты у на "-у (рис.

9). Свойства эллипса рнс. 9 1. Эллипс (1) содержится в прямоугольнике Р = )т(х, у):1х( < а,(у! < Ьзу. м В этом легко убедиться, заметив, что, если точка М(х, у) принадлежит эллипсу (1), то (рис. 10) 2 <1' 2 <1'в а' Точки (ха, 0), (О, хЬ) называются вершинами эллипса. 4. Эллипс есть множество точек, сумма расстояний которых от двух данных точек (фокусов эллипса) постоянна (равна заданному числу).

') Равномерны.н сэесмнсн окружности к оск Ох с коэбнрнннсктоы ь > 0 называстсн преобразован~с, перевоанатее пронэвоаьную точку М(х, у) окружностк в точку М' (х, "-) . 2. Координатные оси Ох и Оу канонической системы являются осями симметрии эллипса, а начало координат Π— его венгром симметрии. Это означает, что если точка Мо(хс, ус) принадлежит эллипсу,тоточки ( — хо, уо), ( — хс, — ув) и (хо, — уо) такжеему принадлежат(рис.!!). 3.

Если эллипс не является окружностью, то координатные оси канонической системыы — единственные оси симметрии. Положим с = ъ'а~ — Ь'. Ясно, что с < а. Точки (-с, 0) и (с, 0) называются фокусами эллипса, соответственно левым и правым; 2с — фокусное расстояние. Глав вг. Крннмо н жгпорнностн второго порядка ( — х о) уо) хо Рнс. ГЗ Рнс. гг ~ Пусть сначала М(х, у) — произвольная точка эллипса 2 2 — + — = 1. аз Ьз Вычислим ее расстояния от фокусов эллипса (рис. 12), Имеем г '»* .

= тгг*- г*»»*. Заменяя у' его выражением после несложных преобразований получаем, что П= сз ~с г с Рл = 1 — — ~хт+2хс+сз+Ьз = — хз+2сх+аз =~ — х+а~= а+ — х. аз,г аз а а Последнее равенство вытекает из того, что 1х) < а и —,' ( 1. Аналогично находим с р„= а — — х, а Легко убедиться в том, что р, +р„= а.

Локазательство того, что точки, обладающие указанным свойством, принадлежат эллипсу, было проведено ранее (см. раздел «Простейшие задачи аналитической геометрии» Введения, задача 2). т Число Н называется эксцеилгрисигиеигам эллипса (1). Ясно, что 0 < е ( 1. Экснентриситет окружности равен нулю. Прямые называются директрисами эллипса.

У каждого эллипса две директрисы — левая и правая (рис. 13). 93. Эллипс Рис !3 Рис. !4 5. Эллипс есть множество точек плоскости, отношение расстояний от которыхдоданной точки (фокуса эллипса) и до данной прямой (одноименной с фокусом директрисы эллипса) постоянно (равно зксцентриситету эллипса). м Пусть сначала М(х, у) — произвольная точка эллипса (1). Вычислим расстояния от нее до правого фокуса и до правой директрисы (рис.

14). Имеем соответственно а р„= а — ех, Н„= — — х, е Откуда легко получаем требуемое Аналогично проверяется, что р, а+ех — = — = е. !1л е+х Рассмотрим теперь на плоскости точку (с,0) и прямую х = '-, (с = ае), Возьмем произвольную точку М(х, у) и вычислим расстояния от нее до выбранной точки (с,0)— (х — с)з+ уз — и до выбранной прямой— ! — — х(; Потребуем, чтобы Тогда (х — с)т+у! = !а — ех|. Возведем обе части последнего соотношения в квадрат и, положив Ь = а — с и учтя г ! т равенство с = ае, после простых преобразований получим ,2 2 — + — =1 ат Ьз Тем самым, точка М(х, у) лежит на эллипсе (1).