Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003), страница 12

Введенное обозначение требует дополнительных пояснений (для определенности мы ограничиваемсяздесьрассмотрением толькоматрицц, элементами которыхявляютсявешествснные числа). Множество вешественных чисел принято обозначать через И. Отсюда и символ И „„(множество матриц размера тп х и, элементами которых являются комплексные числа, приннто обозначать так: С „„, см. главу ХХУ). С учетом этого обозначения матрицу (1) можно записать так А=(а;2)ЕИ „. Матрицы А = (а 2) и В = (2Утт) называются равными, если они имеют одинаковый размер и их элементы, находяшисся в одинаковых позииинх, совпадают, т. е. А Е Ит»» В Е И»т1 ат.

= Дт (т = 1,..., пт; у = 1,..., и). Обозначение; А = В. образует главную диагональ ма трниы А. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, $1. Матрицы 1.2. Операции над матрицами Сложение матриц Пусть А и  — матрипы одного размера: А = (а; ) б )й,„„ч, В = ()3О) Е !й „, Суммой митрии А и В называется матрипа С = (то) Е !й „„, элементы которой вычисляются по формуле (3) Обозначение: С = А + В.

Уттожение матрицм на числа Произведением матрицы А = (ао) Е )й „„но число Л называется матрипа В = ()уб) Е (й „„элементы которой вычисляются по формуле (4) Обозначение: В = ЛА. Запишем эти операции подробнее: 1.3. Линейное пространство строк Рассмотрим введенные операции сложения и умножения на число на множестве матрип размера 1 х н — и-мерных строках. Пусть а = (ам..., а,) Е !йт„ч, Ь = ()ум..., )3ч) Е )йт„ч. Тогда, согласно формулам (3) и (4), (5) (6) Правила (5) и (6) обладают легко проверяемыми свойствами Глава! У.

Мвтрннм. Оарьяелнтьдн. Лндеанмв енетенм тв (здесь Л и р — произвольные числа; а, Ь, с и х — н-мерные строки, Π— нуле- вая и-мерная строка) и задают на множестве и-строк структуру линейного простран- ства '). Линейная зависимость Введем важное понятие линейной зависимости. Пусть а „..., а — и-мерные строки. Строка Ь, определяемая равенством (8) если строки линейно зависи мы, то одна из и их является линейной комбинацией остальных. м Пусть строки а„..., а линейно зависимы: найдутся числа Л),..., Л, не все равные нулю и такие, что Л,а)+...

+Л )а 1+Л а,„=О. Пусть, например, Л зб О. Перенесем все слагаемые,кроме последнего, излевой части формулы в правую, Лглэгл = — Л)а1 —... — Лщ )ащ 1, и, поделив обе части полученного равенства на Л Ф О, придем к тому, что строка а„ является линейной комбинацией остальных строк— л, а = — а) †.. Л л аог-1 ° Лгл Верно и обратное: если одна из строк является линейной комбинацией остальных, например, а =,и)а) + ... + р )а то существует нетривиальная линейная комбинация строк а),..., ат- ь ап, р)а, +... +)1 )а 1+(-1)ат =0 (коэффициент при а равен — 1 Ф 0), равная нулевой строке.

Значит, эти строки линейно зависимы. м Аналогичными свойствами обладает множество К „1 гп-мерных столбцов. !) Об шее определение лимонного пространства будет рассмотрено в главе М называется линейной комбинацией строк а),..., а с коэффициентами Л),..., Л Линейная комбинация (8) называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел Л),..., Л,„отлично от нуля, и тривиальной, если Л) — —... = Л,„= 0 (ясно, что в последнем случае Ь вЂ” нулевая строка).

Строки называются линейно зависимыми, если некоторая их нетривиальная линейная комбинация равна нулевой строке О. Строки называются линейно независимыми, если нулевой строке равна только их тривиальная линейная комбинация. Покажем, что бу. Ма риц Правило саеращенного суммирования Сумму вида ат+... +оу часто удобно записывать так ат т=! (знак сокращенного суммирования принято обозначать прописной греческой бу- квой Š— «сигмаь). 1.4, Умножение матриц Пусть А = (ам) и В = (ггаг) — квадратные матрицы порядка и.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С = (гпг) Е Впкп элементы которой вычисляются п обюрмуле (9) Обозначение; С = АВ. Правило (9) можно проиллюстрировать следующей схемой РП .' . 'Ап 711 '. 71п П Рпг:1:, уупп 7п!: 7п» С использованием знака сокращенного суммирования формула (9) записывается так: Порядок матриц-сомножителей существен. Следующий пример показывает, что, вообще говоря, АВ рг ВА. Пример 1. Пусть "=(О ~) '=(~ ~) Ав = (,', О), ад= (О О) . » < Тогда Аналогичнь>е примеры можно построить для матриц А н В любого порядка.

пример 2. Пусть А — матрица третьего аорпдка зга11 азг а1з г А = й21 й22 й23 ~ аз1 азг азз н покажем, нто умножение матрицы А на матрицу Р23= О О 1 Глава йэ. Матрицы Определителю Линейные системы 80 слева меняет местами 2-ю н 3-ю строки, Имеем ! ! 0 01 Г'азз ац р>зА= ~0 0 1( азз ац ХО 1 ОГ Хат> азз )'1 ад +0 ° аз>+0 ° аз! = ~ О ад+О аз>+1 аз> ~0 ° ад+1 ° аз!+О аз! зг ад ац азз ) = ~а>, ац азз~ азз ац азэ а!3 >) ац~ = азз 1.ад+О.ад+О ац 1 а!>ьО а>з+О азз>> 0 ад+0 ад+1 аз> 0 ац+О а>з+! а>з) 0 ад+!.ад+О ад 0 ац+ ! а>э+О.азз Аналогично можно убедиться в том, что умножение матрицы А на матрицу Рзэ справа меняетместами 2-й и 3-й столбцы.

пример 3. Для любой матрицы А выполнаотся равенства (10) где 1 — единичная матрица. М Пусть, например, А — матрица третьего порядка /а з ад ац>, А= ал а>з а>з~. ~ аз> азз азз г' Тогда А зги аз! азз азз 0 1 0 Г ац ° 1+ад О+а>э 0 ап О+ад 1+ац 0 ац О+ад ° ОЧ-а!З 11 = ~аз! 1+ам О+азз 0 ап ° О+ад 1+а>э 0 ап О+ам О+аз> 1) 1,ал ° ! +ад ° О+ац ° 0 аз! ° О+аз> ° 1+аз> 0 аэ> ° О+аз> ° О+ам 1 Г'ац ац ац >з = ~аз! а азэ~ мд, ~аз! азз азз г) Справеллим>с>ь равенства 1 А=А проверяется аналогично.

В Доказанные формулы (10) объясняют название матрицы 1. Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если А, В, С, 0 — кводротиыемотрицы(пиголорядко), то А. (АВ)С = А(ВС), Б. А(В+С) =АВ+АС, (В+С)0 =80+С0, ',У О!а()Уа>+таз) =~,О!а))аЗ+',) азата>ч а=! а=! Требуемое равенство доказано. м Докажем, например, первую нз формул Б. Нетрудно видеть, что все три матрицы АВ, АС и А(В + С) иментг олинаковый порядок и. Вычисляя их элементы в позиции (з, у), получаем соответственно и и п о!аРа>ч ~ д!ата>, ~ дза()Уа, +таз) (з, У' = ), "., ц).

а=! а=! а=! Ясно, о 81. Матрицы в! Произведениедвух прямоугольныхматрии сушествует не всегда: для того чтобы матрицу А можно было умножить на матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А совпадало с числом строк матрицы В (см. формулу (1 1) и рис. 2). Для прямоугольных матриц справедливы формулы (10), А н Б (при условии, ведения имеют смысл). Пример. Найти произведение матрицм = Я5 4хб Рис. 2 разумеется, что соответствуюшие произ- А= 1 9 на матрицу (! 9 4 2)' ° прежде всего, проверяем, что чиоло столбцов матрицы А [даа) совпадает с числом строя мвтрицм В !две!.

Значит, умножать матрицу А на матрицу В можно. Вычислим зто произведение. Имеем ю ( г) ( (9 1+5 ° ! 9 ° О+5 9 9 1+5 4 9 2+5 21 !'14 45 29 28'! =~1 ° 199 ° 1 1 ° О+9 ° 9 1 1-!9 4 1 ° 2+9 ° 2~ =~10 81 57 20).Ь В ° 1-!.б 1 8 ° О+б ° 9 8 ° 1+6 4 В ° 2+6 2 14 54 52 28 1.Б. О порядке суммирования Суммугт всехэлементовпрямоугольнойматрины ю аг! агз ...

а!я аз! а22 ... азп можно вычислитьлвумя способами: 1-й способ. Найдем суммы элементов каждого столбца т м 1п ап, ~~у ап, ..., ~~! аг„ 1=! 1=! г=! и сложим полученные числа: пт гп яь я /и! Н="~ он+~~ он+... +~~ ап,=~~ ( ~~' аг. г=! гм! г=\ у=! Похожими рассуждениямидоказываются и дведругиеформулы.

ь Замечание. Операцию умножения можно опрелелить и лля прямоутольнмя матриц. Пусть ланы матрицы А = (ам) Е 1й „и и В = (бау) Е И„.!. Тогда элементы т! матрицы С = АВ Е В „! вычисляются по формуле Глава ПП Мвтрннм. Онреаегвтели. Линеаиме,снстемм 2-и способ.

Найдем суммы элементов каждой строки и агг г=! и ) а!г, г=! и атг г=! и сложим полученные числа: и и и и и Н=~~ а!г+~ агг+ +~а,=~~ ~ аб г=! г'=! г=! г=! г=! Отсюда вытекает, что 1,6. Трвиспоиироввиие матрицы Матрица с о!! аг! ... а ! а!2 а22 ... аю2 называетсянгранснонированнойпоотно- шению к матрице а!, ац ... а!„ аг, агг ... аг„ Обозначение! Ат. Пример. Транспонироеаа матрицу !зета) согласно определению, получим 3 7 Подчеркнем, что элемент матрицы А", находяшийся в позиции (у, г), совпадает с элементом матрицы А, находящимся в позиции (г, г).

При трансРнс. 3 пои ирана ни и строки матрицы А переходят в столбцы матри цы А, а столбцы — в строт ки. Таким образом, если у матрицы А пг строк и и столбцов, то утранспонированной матрицы А и строк и тп столбцов. й1. Матрицы Укажем некоторые свойства операции транспонирования: 1.7. Элементарные преобразования матрицы Пусть А и А — произвольные матрицы одинакового размера тв х и.

Обозначим последовательные строки матрицы А через аг,..., аа,..., ат,..., аю соответственно. Будем говорить, что матрица А получена из матрицы А !. перестановкой двух строк, если а1,..., аг,..., аю..., а — последовательные строки матрицы А; 2. умножениемстрокинанеравноенулючисло!у,если а1,..., !уаа,..., аг,..., а последовательные строки матрицы А; 3.

прибавлением к строке матрицы А другой ее строки, умноженной но число «, если а1,..., аю..., а! + уаю..., а — последовательные строки матрицы А. Замечание. Во всех трех типах преобразований отмеченные многоточием строки не претерпевают никаких изменений. Преобразования указанных трех типов называются элеменлюрными преобразованиями строк матрицы А. Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы. Пример, матрица получена иэ матрицы А= О!О перестановкой 2-й н 3-й строк, а матрица получена иэ матрицы А перестановкой 1-го и 2-го столбцов. Если к 1-й отрока матрицы А прибавить 3-ю. умноженную на -2, то получим матрицу замечвгие.

кегрулно увилеть, что если матрица А получена из матрицы А элементарным преобразованием строк любого из трех типов, то и матрииу А можно получить из матрицы А элементарным преобразованием строк, причем того же типа (либо вновь меняя местами Ь-ю и 1-ю строки, либо умножая а юетрокуна Ут либо прибавляя к! й строке ею строку умноженную на -«).