Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003), страница 4

Поэтому М!Мг = (*г з! уг у! кг кд — координаты вектора М!Мг равны разностям одноименных координат конечной Мг и начальной М! точек етого векторе. м Рис. 22 94. Проекция вектора на ось Рис. 23 Рис. 24 Оаредалаяяа. Проекцией векитора АВ на осз 2 называется величина направленного от- резка СЮ, построенного указанным выше способом. Рассмотрим на оси ( ненулевой направленный отрезок АВ (рис.

23). Величиной направленного отрезка АВ на оси ( называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направлен не отрезка АВ совладаете направлен ием оси (, и со знаком « — », если эти направления противопологкны. Рассмотрим теперь произвольный вектор АВ, определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось (, построим на ней направленный отрезок СХ> (рис. 24). а 5. Скалврнов пава»»ение ввктороа Обвзиачаиив: рг, АВ = !С271 4А. Основные свойства проекций Ь Проекция вектора АЯ на какую-либо ось 1 равна произведению алины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25) 2.

Проекция суммы векторов на какую-либо ось 1 равна сумме проекций векторов на ту же ось. Например, рп(» + Ь + е) = рг, » + рг~ 1э+ рг е (рис. 26). Рис. 25 Рис. 26 95. Скалярное произведение векторов Пусть имеем»за вектора» и Ь. Опрадаявиие. Скалярным произведением вектора» на вектор Ь называется число, обозначаемое символом (», Ь) и определяемое равенством где чэ, или в иной записи (», Ь), есть угол между векторами» и Ь (рис. 27 а). Заметив, что )Ь( соз зэ есть проекция вектора Ь на направление вектора», можем написать (»,!э) = ',»', рг„!э (рис.

27 б) и, аналогично, Глава 1, Злеыанты векторной алгебры (рис. 27 в), т. е. скалярное произведение двух векторов равно ллине одного из них, помноженной на проекпию на него другого вектора. В случае, если олин из векторов и или Ь вЂ” нулевой, будем считать, что (и, Ь) =О. 6П. Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение обра~цается в нуль в том и только в толч случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когла векторы и и Ь ортогональны, и.ьЬ, < Это следует из формулы (1), определяюгдей скалярное произведение. ° Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору.

Поэтому указанное свойство скалярного произведен ия можно сформул н ровать так: <л11у еу (и, Ь) = О. 2. Скалярное произвеление коммутативно: Рнс Зт (<т, 1)) = (Ь, и). < Справедливость утверждения вытекает нз формулы (1), если учесть четность функ- нин соху<: соз( — <л) = сох!у. ь З. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложен ия: М Действительно, (и+!у,т) = ~е( рг<,(и+1з) = !с( (ргни+ ргкЬ) = = !с). Рте «+ 1с! Рг, Ь = (и, с) + (Ь, с). Ь 4. Числовой множитель Л можно выносить за знак скалярного произведения М Действительно, пусть Л > О.

Тогда Л(<т,!т)=Л~и( !Ь! сох(тт,Ь); (Ли, Ь) = !Л! ° !кт( !1у!. сох(Лат, 1у) = Л)<л) !Ь!. сох(й(у), поскольку при Л > О углы (<т, Ь) и (Л<а, Ь) равны (рис. 28). Аналогично рассматривается случай Л < О, При Л = О свойство 4 очевидно. !ь Заыечанне. в осмеыслучас(н.!<!ей н(ь,<). Рнс За а а. Скаакриаа а(маааааегиа векторов зз 5.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами Пусть векторы а и Ь заданы своими координатами в ортонормированном базисе г, ), Вк О (х! Уо а~) )г (хг, Уг, 32). Рассмотрим скалярное произведение векторов и и )к (О, Ь) = (*г) + У~) + А)г, яг) + Угд + хг)к). Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим (О,Ь) = я1яг(г г)+У|яг(),1)+хгпг()г,т)+ П~Уг(1,3)+ + У!)ЙО.)) + а!Уг()к 3) + ягяг(1 )г) + У!хг0 Ь) + а!аг()г )г).

Учитывая, что (г.)) =(1 )г) =(1,)г) = О, (г,1) =О,)) =(й,й) =1, получаем (4) Тоесть,есливекторыгг и Ь заданы своими координатамивортонормированномбазисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. пример. найти скалягиоа произваданиа аактсраа а = 4( — 23+ а и ь = и+ 31 + гк.

(и, Ь) ю 4" 6 е ( — 2) ° 3+ ! ° 2 = 20. > Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадраволт: (а, а) = Ог. Применяя формулу (4) при Ь = и, найдем г г г г = я1 + у1 + хо (5) С другой стороны, О =(п,п) = (гг) 'соло= (п( так что из (5) следует, что (6) — в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. 6.3. Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы Согласно определению (и, Ь) = (О( ) Ь! сов уг, где р — угол между векторами и и Ь, Из втой формулы получаем (П, Ь) сок)г =— (О( (Ь( (предполагается,что векторы и и Ь вЂ” ненулевые). Глава 1, Элементы векторной алгебры пусть а = (х1, у2, з!), ь = (хт, ут, ат).

тогда формула (7) примет следующий вид (8) Приыер. Найти угол между векторами и = (2,-4,4, ) и Ь = (-3,2,6). ° Пользуясь формулой (81, находим -6 — 8 и 24 5 м4+!6+16 Я+4+38 21' Пусть Ь = 1, т.е. Ь = (1, О, О). Тогда для всякого вектора а = (х1, у!, я!) Ф 0 Г:Л (и, 1) СО5 а =— )!в) или, в координатной записи, (9) где а есть угол, образованный вектором п с осью Ох.

Аналогично получаем формулы соз(3 =— (а )) у! (!О) Д,т;Е' (а, й) СО57 = — = . (!1) 122( х2+ 2+ з2 Рнс. 29 Формулы (9)-(!!) определяют «алраазяюп(ие косинусы вектора и, т. е. косинусы углов, образуемых вектором и с осями координат (рис. 29). Пример. Найти координаты единичного вектора яв. и По условию (пв( =!. Пусть пв = *1+ 81+ ва. Тогда (пз, 1) ы а = (ив( ° !1! ° сов(пв,!) = сова, (п",)) = р = сов)1, (п, й) и 3 = сов 7 Таким образом, координатами единичного вектора яалмотся косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат: из =!сова+)саад+ йссвт.

Отоода получаем (пз) = (пв,пв) = 1 = сов!а +лги~)2+сок~7, и Рнс, ЗО Пример. Пусть единичный вектор пз ортогоналвн оси в: п =и!+у) (рис. 301. Тогда вго координаты и и у соответственно равны в=совуг, р=в!пр. Тем самым, п =!совр+заглул М е $6. Ввпорное пронзеедеппе еептороо 9 6. Векторное произведение векторов Определение. Векторимм произведением вектора и на вектор Ь называется вектор, обозначаемый символом [в, Ь] (или а х Ь), такой, что 1) длина вектора [а, ь] равна ]а[ ]ь] з!п т2, где 1с — угол между векторами а и ь (рис.

31); 2) вектор [а, Ь] перпендикулярен векторам а и Ь, т.е. перпенликулярен плоскости этих векторов; 3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от и к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32). Рпс. 31 Рпс. 32 Иными словами, векторы а, Ь и [а, Ь] образуют щювую лдойсу векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и срелний пальцы правой руки. В случае, если векторы в и Ь коллинеарны, будем считать, что [а, Ь] = О. По определению длина векторного произведения численно равна площади Я параллелограмма (рис.33), построенногона перемножаемых векторах а и Ь как на сторонах: Рис.

ЗЗ ][а, Ь][ = Я . 6.1. Свойства векторного произведения 1, Векторноепроизведениеравнонулевомувекторутоглаитолькотогла,когдапокрайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы а и Ь коллинеарны, то угол между ними равен либо О, либо х). м Этолегко получить изтого, что ][а, Ь]] = ]а] ]Ь[ з1п тс.

м Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов а и Ь можно выразить так а ][ Ь о» [а, Ь] = О. 2. Векторное произведение антикоммутативно,т.е. всегда [Ь, а] = -[и, Ь]. (2) Глава !. Зламеитм аехтсриай аптейрм и В самом деле, векторы [и, Ь! и [Ь, и] имеютодинаковую длину и коллинеарны. 11аправлени я же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [и, Ь! кратчайший поворот от и к Ь будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [Ь, и] — по часовой стрелке (рис. 34).

ь 3. Векторное произведение обладает распредели- тельным свойством по отношению к сложению 4. Числовой множитель Л можно выносить за знак векторного произведения Рис. 34 Рис. 35 Поэтому для векторного произведения векторов н и Ь получаем из формулы (3) следуюшее выражение [и, Ь] = х!Узй — х!223 У!х214+ У!22! + Х7х2) а!У21 = = 2(У! Х2 — У2х!) +3(х2л! — х ! х2) + 14(х 7У2 — х2У! ), (4) Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминаюшейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5) Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примера. 1.

найти плсьиааь параллалотрамма, псстрсеиисго иа ивктораи и = 7+2 — в, ь и 22+1 — к. 6.2. Векторное произведение векторов, заданных координатами Пусть векторы и и Ь заданы своими координатами в базисе 1,3, 14: а = (х7, у!, х!), Ь = (хз, уз, хз).

Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим [и Ь] = [х7! + У! ] + х!и, х2! + У2 [+ а714] + = Х!Х2[2, 2] + Х!Уз[1,)]+ Х7Х2[1, и! + (3) + У7х2[3 2! + У!У2[) 3] + У!аз[2 М + + а!х2[к, 1] + х!Уз[и,з] + х!Х2[к, к]. Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35): $1, Смешанное произвсяемм вектороа 22 м Искомая площадь Ягэ = [[и, Ь[(, Поэтому находим > -1 =т сч-1 (-!) »к (-!) =->е!и ! (п,Ь[= 1 2 откуда В =А+1= 2. » 2. найти площадь треугольника ОАВ (рис. 36). м Роно, что площадь Ял треугольника ОАВ равна поло- вина площади Я параллелограмма ОАСВ.

Емчисляя век- торное произведение (н, 1>( векторов и = ОА и Ь = ОВ, получаем Рис. >6 1 > К )х> у> 0 Отсюда 1 Яхт = (х!у> — х>у!) и лс = — (х!у> — х>у3). » 2 замечание. векторное произведение нс ассоинативно, т. с, равснство Ци, 1т[, с[ = [и, (1т, с[( в обшсм случас наверно.