Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003), страница 51

Э) и — нечетное число, У!")(хо) Уо О. Тогда пРи х > хо знак ~~ч(~ <.в~ -,о) (х — хо) и! удет совпадать со знаком у(")(хо), а при х ( хо будет противоположным, Поэтому ри сколь угодно малом б > 0 знак разности /(х) — у(хо) не будет одним и тем же ля всех х Е (хо — 6, хо + 6). Следовательно, в этом случае функция у(х) в точке хо кстремума не имеет.

° Пример. Рассмотрим функции т) р = хч; 2) р = хт. М ЛЕГКО Вндаты Чтс тОШа Х = 0 яапяотся КрмтиЧасКОй тОШОй ОбЕИХ фуНКцИй. Дпя фунКцмн р м Хс порввя из отличных от муля производных а точке з м 0 есть производная 4-го порядка 7 (0) = 24 > О. Гл) таким образом, здвсь п = 4 — четное и 2(ч(0) > О, слвдоввтальна, в точке х = 0 функция р = х 4 имввтминимум.

Дтм функции р = х параня из отличных от нуля в токе х = 0 производных есть производная 3 3 го порядка. Твк что в этом случае п = 3 — нечвтмоп и а тома х = 0 функция р = х зкстромума з нв имеет. и Звмочмша. С помошью формулы Тсйлора можно доказать слслуюшую тсорсму, выражаюшую доста- точныс условия точки псрсгиба. оорвт 12. Пусть функция 2(х) в некоторой окрестности точки хо имеет произв гдую п-го порядка, нелрерывнуювточке хо. Пусть гл(хо) = Ум(хо) =... =2 !" ')(хо) =0 Зак 750 заа Глава Х!. Иеепедввеппе Ьуввапа одной переменной но УЬО(хр) Ф О.

Тогда, если и — нечетное число, то точка Ме(хе, Г(хе)) есть точка перегиба графика функции р = Т(х). Простейший примердоставляет функция у(х) = хэ. 58. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения У(х) = О. (1) Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция Г(х) непрерывнана отрезке [а, Ь); 2) числа у(а) и /(ь) противоположны по знаку: Г (а) /(ь) < 0; 3) на отрезке [а, Ь) существуют производные У'(х) и Ун(х), сохраняющие на этом отрезке постоянный знак.

Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано — Коши (с. 220) следует, что функ- ция У(х) обращается в нуль по крайней мере в одной точке С Е (а, Ь), т. е. уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень с в интервале (а, Ь). Так как в силуусловия 3) производная Г'(х) на [а, Ь[ сохраняет постоянный знак, то у(х) монотонна на [а, Ь) и поэтому в интервале (а, Ь) уравнение (1) имеет только один действительный корень С. Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственногодей- ствительного корня С Е (а, Ь) уравнения ( !) с любой степенью точности.

Возможны четыре случая (рис. 40): 1) г'(х) > О, уе(х) > О, 2) У'(х) > О, Ун(х) < О, 3) г'(х) < О, у" (х) > О, 4) ~'(х) < О, /н(х) < 0 на отрезке [а, Ь). Рис. 40 Возьмем лля определенности случай, когда У'(х) > О, Ун(х) > 0 на отрезке [а, Ь) (рис4!). Соединим точки А(а, у(а)) и В(Ь,Г(Ь)) хордой АВ. Это отрезок прямой, проходящей череэточки А и В, уравнение которой р — Г(а) х — а 1(Ь) — 1(а) Ь вЂ” а ' (2) $ а, анкналенне карнвй Зелена!ма метаавмн кара н квтвтелм|мк Точка а|, в которой хорда АВ пересе- В кает ось Ох, расположена между а и С и является лучшим приближением к С, чем а.

Полагая в (2) у = О, найдем В у(а)(ь — а) у(ь) — у( )' Из рис. 41 нетрудно заметить, что точ- а а! я ка а! будет всегда расположена с той стороны от С, в которой знаки ~(х) и 1л(х) противоположны. А|~ Проведем теперь касательную А ' к кривой у = У(х) в точке В(Ь, 1(ь)), т. е. в том конце дуги АВ, в котором У(х) и гл(х) имеют один и тот же знак. Это сушественное условие: без его соблюдения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение к искомому корню. Точка Ь|, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена между С и Ь стой же стороны, что и Ь, и является лучшим приближением к С, чем Ь.

Касательная эта определяется уравнением у — у(ь) = у'(ь)(х — ь). (3) Полагая в (3) у = О, найдем Ь| | ь, =ь- — (у'(ь) ~о). у(ь) у (ь) Таким образом, имеем а<а, <С <Ь! <Ь. Пусть абсолютная погрешность приближения С' корня С задана заранее. За абсолютную погрешность приближенных значений а! и Ь~ корня Ь' можно взять величину |Ь! — а|1. Если эта погрешность больше допустимой, то, цринимая отрезок [а|, Ь|) за исходный, найдем следуюшие приближения корня С: У(а!)(Ь! — а,) у(Ь!) — Г (а!) ь, = ь, — †, (у'(ь,) ~ о), у(ь!) У'(Ь!) где а<а|<ат<С<ьт<Ь! <Ь.

Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений а < а! < а! « .. а„ « ... с ь > ь, > ь, » ... ь„ » ... ~, где (4) Глава Х), Наеяедоашие функанй одной переменной (5) !пп а„ = а, !!ш Ь„ = Д. н аа и аа Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1)-3), то а = )) = 0 — единственному корню уравнения /(х) = О. Пример. Найти корень ( уравнения хт — 1 = 0 мв отрезке [О, 2[. и Результат очевиден: 4 м! .

Попытаемся его получить методам хорд. Функция /(х) = х — 1 1) непрерывна на отрвзкв [О, 2 [; 2) /(О) = -1 < 0, /(2) = 3 > О, так что /(0) /(2) < 0; 3) /'(х) = 2х и /л(х) = 2 сохраняют знак нв отрезке [О, 2[. Таким обрезом, выполнены всв условия, обеспечивающие существование единственного корня 4 уравнения хт — ! = 0 нв отрезка [О, 2[, и метод должен сработать В минем случае а = О, ь = 2.

при и 1 из !4) и !$) находим (-1) ° 2 1 1 а,мо 4 2 2' При а = 2 получаем 3 5 ) Ь! = 2- - = - = 1+ -. 4 4 4 1 1 от=! Ь2=1+ 14' 40' что дает приОлижемие к точному значению карня 4 с абсолютной погрешностью д(4') < 0:, 1, ° Упражнения Постройте графики функций: 2. у = —.

ст!кто в.у= — ' 2(х+ Ц 1О. у = ~фх(х - 2). х2+ 1 3 у= х — 1 7 у = 2)п — +1. 11, у ю )2/(х - 1)2 — ~ф(х - 2)2, х — 4 2 4.у- —. 2 -3-х 2 в,у 6.у =хе *. В, у — (2)'х(х — 1)2. Нейдите наибольшее и наименьшее значение функций незаданных отрезкаю 1гт=ь —,— т ца !зт-)2 Ч* — Ч„~-хц ит-чьм, ~-~,Л. Исследуйте поведение функций в окрестностях заааииых точек с помошью производных высших порядков: 16.

у = з! и (х — 1) — х + 2х, та = 1. 17. у = х + 2 1п(х + 2), ха — — -1. 16. у = соз х + св х, ха — — О. 1в.у=х -2е* ', пав - 1. Отаеты 1. Рис.42. 2. Рис.43. 3. Рис.44. 4. Рис.45. 6. Рис.46. 6. Рис.47. 7. Рис.48. 6. Рис.49. 6. Рис.50. 16. Рис. 5!. 11. Рис. 52. 12, М = 1, гп = — 1. 13. М = О, гп = -4. 14. М = 5, тп = О. 16, Рис.

53. 16. Рис. 54. 17. Рис. 55. 16. Рис. 56. Последовательности (и„) и (Ь„) монотонные и ограниченные и, значит, имеют пределы. Пусть Приложение ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим области определения и графики основных элементарных функций.

91, Степенная функция у = ж~ Здесь а — любое действительное число. В обшем случае степенная функция определена при х > 0; она монотонно возрастает, если а > О, и монотонно убывает, если а < 0 (рис. ! и 2), Рис. 2 Частные случаи 1. Если а — целое положительное число, то функция у = х определена на всей вещественной оси -оо < х < +со. Графики степенной функции при а = 3 и а = 4 изображены на рис. 3 и 4. 2. Если а — целое отрицательное число, то функция хи определена при всех значениях х, кроме х= О(рис.5 и 6). 3, Если а = ~~ > 0 — рациональное число, где а — нечетное, то функция х~ определена на всей вешественной оси, а при четном о функция х" определена для х > О.

92. Показательная функция у = а* (а > О, а ~ 1) Область определения — вся числовая прямая ж. Число а называется основанием степени. При а > ! показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < а < ! монотонно убывает (рис. 7). $ Л, Тривносьатрнчеаьх фтиммс 818 9 3. Логарифмическая функция у = 1оК, х (а > О, а ~ 1) Число а называется основанием логарифмической функции.

Область определения— бесконечный промежуток (О, +оо). При а ) 1 логарифмическая функция монотонно возрастает, а при О < а < 1 монотонно убывает (рис. 8). Рнс. 8 Логарифмическая функция у = 1о8, х является обратной функцией для показательной функции у = а'. Логарифмическую функциюсоснованием а = е обозначают 1п х и называют натуральным логарифмом, а логарифмическую функцию с основанием а = 1О обозначают 18 х и называют десятичным логарифмом, т.е. 1ой, х = 1и х, 1ойю х = 18 х. 94.

Тригонометрические функции 1. Функцнясинусу = яапа Функция определена для всех х, она периодическая с периодом Т = 2я. График синуса называют синусоидой (рис. 9). Рнс. 9 Прнввввнив. Энемвнтнрнив4Ниимм 2. Функция косинус у = соя х Функция определена для всех х, ее период Т = 2я, график изображен на рис. 1О. График функции р = сов х получается из графика у = н1п х смещением его вдаль оси Ох влево на отрезок ~. Рис. 1О 3. Функция тангенс тг = 33х Функция определена всюду, кроме точек х = (2й+ 1)"-, (Гс = О,х1, х2,...). Она периодическая с периодом Т = я.

Ее график изображен на рис. 11. Рис. 11 $ в. Обратные гаягегаяаяаячееам Е 4. Функция котангенс у = свя х Функция определена всюду, кроме точек х = яя (й = О,х1, периодическая, Т = 1г (рис. 12). ( = 0,~1,*2,...). Функция зев Ряс. 12 б. Функции секанс у = вес л и косеканс у = совес х Функции секанс и косеканс определяются сост соответственно равенствами вес х = —, созесх = —, 1 созх' з!и х' они определены всюду, к оме то р чек, в которых знаменатели обрашаются в нуль. 9 5. Обратные тригонометрические функции 1. Функция арксинус у = ягсв!н ж Рассмотрим функцию у = гап х наотрезке 1 —, в1. Иаэтомот монотонно возрастает, 3, л гкцию х = ает, начит, она имеет обратную " гкцию х = о ределе о рез (-1 ке —,, а область ее значений — от езок "-', ')'. функции у = агсяп х изображен на рис.