Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000), страница 8

Способы построения систелс взаимно ортогональных функций подробно изучены в математике (см., наприлсер, [71). Здесь в качестве примеров будут описаны две наиболее важные и распространенные систелс ы. Ортонормированная система гармонических функций. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что на отрезке [О, Т1 система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналолс. ио = Цс'Т и, = )У2(Та(п 2кс/Т, иг = )С2(Тсоа 2яс!Т, 1.4. Теория ортогоиальиых сигналов /г О '/1 Рис. 1.4. Графики иескольких первых функций Уолша Ортогоиальиость этих функций следует из принципа их построения и может быть проверена непосредственно. Например: 112 — 1!д о 1 ?на) (1, 3) гча! (2, 9) 2)9 = 1 ( — 1)2 2)9 + ) ( - 1) . ! <)9 + Нг — 122 — 1?л ,й решите задачу 10 1гд 112 + ) 1' г)9 + ) 1 ( — 1) г)9 = О.

124 Разложение сигнала с конечной энергией, заданного иа отрезке времени 1 — Т/2, Т/2') в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша имеет вид ь з(г) =,'Г сьгча!()г, !/Т). (1.31) ь о Пример 1.12. Найти первые два коэффнчнента в разложении импульса треугольной формы по системе функций Уолта. На отрезке времени )-Т/2, Т/2') разлагаемый сигиал описывается функцией з (1) = (/(2/т+ '/,). Вычисляем коэффициенты обобщенного ряда Фурье: 1И нг со = ) в(Э) иа! (О,Э) 49 = )/ ) (9+ 1/г) 49 = (//2 — 112 — ц2 О Т?2 и? ь с, = ) з (Э) иа! (1, 9) 1!Э = — !/ ! (9 + '/г) г)9 + -цг — ?1? Ц2 + (/ ) (9+ '/ ) 49 = (//4.

в Итак, при аппроксимации колебания треугольной формы двумя первыми членами ряда по системе функций Уолша получается приближенное представление ступенчатой формы. Отметим, что с точки зрения введенной выше энергетической нормы уже такая грубая аппрохсимация является удовлетворительной. Действительно, энергия исходного сигнала О ТГ2 92 Глава !. Элементы обшей теории сигналов 112 и !/2 ) (9 + 1/2)2 49 = 02/3 — П2 в то время как энергия разности !! 2 (9) — с па! (О, 9) — с, 1«а! (1, 9) !! ' = 4!!2 ) х' бх = !/2/49 о составляет лишь '/оп плп б.257,' от энергии аппроксиыпруеыого сигнала.

и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл: О О 2 Е, = )"ззй = (й ',!" 2,' с«с;и,и; = 2' 2,' с,с! ) п1и!й, (!.32) « 1, 1=О«=О «=О«=О Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами ! =/. Отсюда получается замечательный результат: а Е,= 2с' (1.33) «=О Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису, Для сигнала з (г) введем конечномерную аппроксимацию: Предполагается, что операции ин- тегрирования и суммирования пе- рестановочны Данная формула обобщает теорему Пифагора на случай бесионечномернык пространств з (!) = 2, с,и„(!) с ие известными пока коэффициентами с, и выберем эти коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации: р = (( х — з !! = ) (з — 2.

с„и„) й = ппп. и « (1.34) Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффициенты должны удовлетворять системе линейных урав- нений Ор = О, ш = О, 1, 2, ..., /«/. дго (1.35) Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал з(!), разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе: х(!) = 2 с,и,(г), «=о 1.4, Тиовия ортогоиальиьтх сигналов зз В развернутой форме энергия ошибки аппроксимации '*Г и л и р= )~з — 22,'Г саии+,~Г,Гс,с,и,и, г)г. е-о е-о2-О Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что 2 2 )'(~2 2 2 ) е21 () дс Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства (1.35) будут выполняться, если С» = 15(Г) Ии (Г) Г)1, е) что полностью совпадает с выражением (1.29) для коэффициентов обобщенного ряда Фурье.

Более тщательный анализ (на нем здесь не останавливаемся), когда рассматривается также вторая производная энергии ошибки, показывает, что при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье обеспечивается не просто экстремум, а именно минимум энергии ошибки аппроксимации. Напомним в заключение, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты: если предельное значение суммы и з(г) 1пп ,'Г с„и„(г) "и-о существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом Ж вЂ” числом учитываемых членов ряда. Выбирая М достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины. Аппаратурная реализация ортогонального разложения сигнала. Рассмотрим структурную схему устройства для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортонормированных базисных функций (рис. 1.5).

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым проводится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы. При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого 2 Рехиетех иеехие иеии Следует иметь в виду, что близость нормы сигнала к норме конечного отрезка обобщенного ряда Фурье вовсе не означает сходимость суммы ряда к мгновенному зиаченвю сигнала в каждой точке. В математике резкие «всплески» суммы ряда Фурье получили название явления Гиббса В точке минимума первая производная обращается н нуль, а вторая производная положительна полнота простран- ства Глава 1.

Элементы обшей теории слгявлоэ 34 Сэ Результаты ОО Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математические модели. ОО Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответствующих математических моделей. Принято различать одномерные и многомерные, детерминированные и случайные, аналоговые и дискретные сигналы.

Разновидностью последних являются цифровые сигналы. ОО Принцип динамического представления позволяет описывать сигналы, учитывая их поведение как «в прошлом», так и «в будущемэ. ОО Для динамического представления используются два элементарных сигнала— функция включения и дельтафункция (функция Дирака). ОО Путем введения структуры некоторые множества сигналов могут быть превращены в линейные функциональные пространства ОО Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по которому можно разложить произвольный векпюр, принадлежтций линейному пространству. ОО Аналогом длины вектора в линейном пространстве сигналов служит его норма. Квадрат нормы называется энергией сигнала.

ОО Линейное пространство сигналов становится метрическим пространством, если определить метрику — расстояние между двумя векторами. Пример структурной схемы, типичной для теоретического анализа. Практическая схема выглядит гораздо сложнее. Например, должны бъпь предусмотрены цепи, осуществляюпнзе синхронизацию всех генераторов базисных функ- ций Рис.

1.5. Структурная скемэ устройства ллл алларатурного анализа сигналов эг )1 'Соответствии с формулой (1.29) в точности равна тому или ээ~ «с~ ' иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье. „Ясно, что работоспособность системы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования пере- множителей и интеграторов. Система, изображенная на рнс. 1.5, важна и в прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее, еще раз убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в виде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел.