Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000), страница 12

Такое поведение спектра дельта- функции есть следствие исходной идеализации а йяввх Обратившись к экспоненциальному видеоимпульсу, можно условно положить, что на верхней граничной частоте модуль спе«тральной плотности уменьшается в 10 раз по отношению к максимальному значению. Отсюда следует ( см. (220) и ниже), что 1ф 1 + (со,/и)' = 0.1 или со, = )/99а, т рснште задачу 4 а значит, 7", = ез,/(2п) = 1.584ш Поскольку эффективная длительность экспоненциального импульса т„= 2.303/и, произведение г",т„= 3.647.

Наконец, спектр дельта-импульса, имеющего бесконечно малую длительность, неограниченно протяжен. На основании фильтрующего свойства дельта-функции (см. гл. 1) входящий сюда интеграл численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена обобщенная функция. Поэтому Е:=:-Л Я(ез) = А = соп«1 (2.25) Итак, дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах. Интересно интерпретировать этот результат на векторной диаграмме рис. 2.5.

В момент возникновения импульса (с = О) все элементарные гармонические составляющие складываются когеренгно, поскольку в соответствии с (2.25) спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают (ср. с предыдущими примерами). Таким образом, при е = 0 наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени сигнал будет обращаться в нуль, так как векторная сумма (см. рис.

2.5) «свертывается» в точку. Связь между длительностью импульса н шириной его спектра. Если проанализировать частные случаи, изученные выше, то можно сделать очень важный вывод: чем менмае длительность импульса, тем шире его спектр. Под шириной спектра здесь и в дальнейшем будем понимать частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед заданного уровня, например изменяется в пределах от )Я) до 0.115! Рассмотрим прямоугольный видеоимпульс, полагая при этом, что верхняя граничная частота спектра са, — это частота, соответствующая первому нулю спектральной плотности, Нетрудно видеть, что са,т„/2 = я или (,т„= 1.

Глава 2. Спектральные представления сигналов Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть А(гп) спектральной плотности сигнала есть четная, а мнимая часть В(го) — нечетная функция частоты: (2.27) Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени. Предположим, что для сигнала «(г) известно соответствие «(г) 5(пз). Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на ге секунд позднее. Принимая точку г, за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как «(г — ге). Покажем, что (2.28) Доказательство очень простое. Действительно, Замена переменной г 10 «(г — го) + ( «(г — ге)е ' 'г)г = «(х) е-нв е ~" г)х = 5(го)е хнк е Модуль комплексного числа ехр( — уозге) при любых равен единице, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени.

Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре). Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени. Предположим, что исходный сигнал «(г) подвергнут изменению масштаба времени, Это означает, что роль времени г играет новая независимая переменная )гг (/с — некоторое вещественное число). Если /г > 1, то происходит нсжатие» исходного сигнала; если же Ос)г<1, то сигнал «растягивается» во времени. Оказывается, что если «(г) 5(го), то Исходный сигнал (2.29) Действительно, 1 " -гь~ «(lгг) )' «()гг)е '"'г)г= — 1' «(х)е " бх, Э й откуда следует формула (2.29). Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд.

К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает следующая задача. Дан импульс «(г), отличный от нуля на Сжатый сигнал 2.3. Основные свойства преобразования Фурье 53 отрезке [О, т„1 и характеризуемый спектральной плотностью 5(а). Требуется найти спектрапьную плотность 5,вр(а) кобра- щенного во времени» сигнала з,вр(с), который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колебания.

Поскольку очевидно, что з,вр(с) = з(т„— с), то 5,5,(а) = [ з(т„— с)е лий. 0 Выполнив замену переменной х =т„— с, находим, что 5-р(а) = е ' е 1 з(х)сс""с)х = (2.30) — е-сь е 5 ( — а) = е-лп»5» (а) . Спектральная шютность производной н неопределенного интеграла. Пусть сигнал з(с) и его спектральная плотность 5(а) заданы. Будем изучать новый сигнал /'(с) = с(з/дс и поставим цель найти его спектральную плотность Г(а). По определению, з (с) — з (с — т) (2.31) 1 о т Преобразование Фурье — линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем Р()= й '-'""-' '5(). о т (2.32) Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель /а.

Поэтому принято говорить, что мнимое число /а является оператором диффервнс)ирования, действующим в частотной обласпш. Рассмотренная функция з(с) =1/'(с)й является первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функции /'(с). Из (2.33) формально следует, что спектр перво- образной 5(а) = Р(а)/(/ ). (2.35) Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: ехр(-/ат) = 1 — /оп — (ат)'/2 —..., подставляя этот ряд в (2.32) и ограничиваясь первыми двумя членамн, находим ~()-~ еы. (2.33) При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает.

Как следствие, модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной и-го порядка. Легко доказать,. что если 5(с) = с("з/дс", то б(а) =(/а)"5(а). (2.34) Сигнал и его производная Прндифференцирова пни происходит обострение сигнала Глава 2. Спектральные представления енгнвнев 54 Таким образом, множитель 1/()св) служит оператором интегрирования в частотной области. Спектральная плотность снпсала на выходе интегратора.

Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы — физические системы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала л,„(с) в выходной сигнал л,„„(с) по следующему закону: (с)= Т ['(~)Д~ (2.36) ,-т На выходе интегратора происходит сглаживание входного сигнала 5,„„(св) = †;" (1 — е '""). 5ы (сл) )соТ (2.37) Рассмотренныв интегратор называют иногда фильтром скользящего сред- него Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с увеличением частоты.

Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала. Спектральная плотность произведения сигналов. Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей. Пусть и(с) и н(с) — два сигнала, для которых известны соответствия и (с) (7 (се), п (с) )с(сл). Образуем произведение этих си.палов: в(с) =и(с)н(с) и вычислим его спектральную плотность.

По общему правилу е 5 (сл) = ) и (с) в (с) е '"' й . (2.38) Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал н(с) через его спектральную плотность и подставим результат в (2.38): а 5(сл) = —. [ и(с) [ [ )г(с)еа'сне лес(с. 2п Изменив порядок интегрирования, будем иметь 1 Э 5(св) = — ) )'(~) [) и(с)е "" спс(с3с(с, 2 и— О Здесь Т~ 0 — фиксированный параметр. Определенный интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала я,„(с), одно из которых вычисляется при аргументе с, а другое— при аргументе с — Т.

Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе: 55 2.4. Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов откуда (2.39) Интеграл, стоящий в правой части, называют сверглпой функций У и (.г. В дальнейшем будем символически обозначать операцию свертки так: ) УК) (1(в — 1) с(1 = У(в) «г (Г(в). свертка Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свертке спектральных плотностей сомножителей: и (г) п(г) — У(в) «г (У (в). ! 2п . (2.40) Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т.