Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000), страница 11

"Поиятяе спектральной плотности сигнала. Воспользуемся тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно- сопряженные пары: 2.2. Преобразование Фурье 45 Спектральную плотность называ- ют также спект- ральной функцией или Фурье-образом сигнала Функция (2.16) носит название слекеральной ллазлнасзли сигнала з (г), Формула (2.1б) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала. Физический смысл понятна спектральной плотности.

Интерпретацию полученных результатов удобно провести, перейдя от угловой частоты Ф к циклической частоте у" = Ф/(2я). При этом формула (2.1з) приобретет вид (2.17) Рис. 2.5. Векторная диаграмма аеперяодического сигнала (справа изображена зависимость модуля спектральной плотности от частоты) ЛАл — — 25 (2я./о) Л.У. Ее надо трактовать так: спектральная плотность 5(2яЯ = 5(аь) есть коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот ЛТ и отвечающей ему комплексной амплитудой бАл гармонического сигнала с частотой )в. Коэффициент 2 означает, что вклад в амплитуду дают в равной мере и положительные и отрицательцз)зр частоты, образующие окрестности точек ~)в.

ь15) Принципиально важно, что спектральная плотность -' комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид. На векторной диаграмме непериодического сигнала (рис. 2.5) длины элементарных векторов бесконечно малы, поэтому вместо ломаных линий (Т конечно) получаются гладкие кривые (Т- со).

Если на оси частот взять некоторую последовательность РавноотстоЯщих точек О с Ф, с Фз ..., то модуль спектральной плотности )5(ьз)) установит линейный масштаб вдоль кривых: чем больше модуль спектральной плотности в заданной области частот, тем реже будут располагаться частотные точки на векторной диаграмме. (2.18) (2.19) А решите задачу 3 Одни и тот же сигнал допускает две совершенно равноправные математические модели— функцию во временной области и функцию в частотной области Глава 2. Спектральные представления сигналов Данная диаграмма построена для некоторого фиксированного момента времени; с течением времени конфигурация кривых будет изменяться весьма сложным образом, поскольку чем выше частота, тем с большей угловой скоростью будут вращаться соответствующие участки кривых. Однако фактически важна не форма кривой, а лишь проекция на горизонтальную ось ее конечной точки (см.

рисунок). Обратное преобразование Фурье. Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной. Положим вновь, что непериодический сигнал получается из периодической последовательности, когда ее период устремляется к бесконечности. Воспользовавшись формулами (2.13) и (2.14), запишем О в(г) = 1пп 2. — 5(лоэ,)е' т-ю„ л,,Входящий сюда коэффициент ()Т пропорционален раз)(дсти между частотами соседних гармоник: 1 оэ, 1 г= — — (лоэ, — (л — 1) гоД Т' 2л 2я при любом целом л.

Таким образом, Д л(г) = 1пп — 2 $(лоэ,) е "~лаз, — (л — 1) со1). г 2я„ Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом О л(г) = — ) $(со)ея'сосо.

2п Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала а(а). Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал л(г) и его спектральная плотность 5(оэ) взаимно- однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье: я (со) ) л (Г) е ли с(с, Ф л(г) = — ) 5(сэ) е""йо. 2я Метод спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией л(г), т.

е. во временной области, сложна и недостаточно наглядна. В то же время описание этого сигнала в частотной области посредством функции 5(оэ) может оказаться простым. Однако гораздо 2.2. Преобразование Фурье 41 важнее другое: спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем. Эти методы будут подробно изучены в гл. 8 и 9. Условие существования спектральной плотности сигнала.

В математике детально исследован вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция з(е) для того, чтобы ее преобразование Фурье действительно существовало. Опуская доказательство (7), приведем окончательный результат: сигналу з(г) можно сопоставить его спектральную плотность Я(в) в том случае, если этот сигнал абсоляяяно июяегрируем, т.е. существует интеграл О ! 5 (г) ) е(е ( оэ. абсолютная ннтегрируемость сигия- зьд з <З Я(Ф)= (7 1" е э"йг= (7 ) (совок — 7'з)пон)е)1 = -зьд знд — .(з о .12 зьд 211 . Фт„ -2и ) ° бе- э)п — ". 03 2 Спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты. Удобно ввести безразмерную переменную б, = вт„/2 и окончательно представить результат о так: Я Д) = (7т„—.

е)п 8, Отметим, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса: 5(0) = (з'т„. График, построенный по формуле (2.20), изображен на рис. 2.б. (2.20) Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и(г) = (Г соваей существующего на всей бесконечной оИ времени. ! Однако в современной математике разработаны приемы, позволяющие разумным образом вычислять спектральные плотности неинтегрируемых сигналов. Правда, при этом оказывается, что такие спектральные плотности будут уже не обычными, классическими, а обобщенными функциями. Вопрос о спектральном представлении неинтегрируемых сигналов будет рассмотрен в этой главе позднее.

А теперь на конкретных примерах изучим технику вычисления спектральных плотностей импульсных колебаний. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса. Пусть данный сигнал з(е) имеет амплитуду (Г, длительность т„ и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. На основании формулы (2.16) 48 Глава 2. Спектральные представления сигналов Рис. 2.6. График нормированной спектральном плотности прямо- угольного вилеоимпульса как функция параметра С = ат„/2 Спектральная плотность экспоненциального вндеонмпулься. Рассмотрим сигнал, описываемый функцией з (г) = = (/ехр(-аг)о(г) при положительном вещественном значении параметра а.

Такой сигнал, строго говоря, лишь условно можно назвать импульсом из-за его поведения при г-~ со. Однако условие а> 0 обеспечивает достаточно быстрое (экспоненциальное) уменьшение мгновенных значений сигнала с ростом времени. Эффективную ллительность подобных импульсов в радиотехнике обычно определяют из условия десятикратного уменьшения уровня сигнала: ехр(-ат„) = О.1, откуда т„= 2.303/а. определение эффективной длительности импуль- са Спектральная плотность экспоненциального видеоим- пульса О (/ (с э с(а,.) = (/ г е в+'"клг = — — е о+'"я о а+/и с О Подставляя пределы, имеем б(го) = У (2.21) а+/тв Можно отметить две принципиальные особенности, отличающие спектральную плотность экспоненциального колебания от спектра импульса прямоугольной формы: 1.

В соответствии с формулой (2.21) величина а(в) не обращается в нуль ни при каком конечном значении частоты. 2. Спектральная плотность экспоненциального импульса есть комплекснозначиая функция Я(ез) =)$(гв))ехр 'ф га), имеющая модуль (амплитудный сцектр) )5(гв) ! сч у/)/аз + го' и аргумен~ (фазовый спектр) ф(гв) = — агсгя(го/а). Соответствующие графики представлены на рис.

2.7,а,б. Спектральная плотность гауссова вядеонмпульса. Данный сигнал описывается функцией вида з(г) = (/ехр( — Вг'). Эффективную длительность гауссова импульса определим из условия десятикратного уменьшения мгновенного значения сигнала. Обратившись к чертежу, видим, что длительность т„должна удовлетворять соотношению ехр ( — В(т„/2)~3 = О.1, А решите зада нг 5 и б 2.2. Преобрезоввние Фурье ф, град -864202468 откуда окончательно имеем (2.24) Рнс. 2.7. Спектральная плогность экспоненпнвльного вндеонмпульса: а — нармнроввнный амплитудный спектр; й — фазовый спектр преобразуя которое получаем зе — 3 01 3035 ~/б )/б ' Спектральная плотность рассматриваемого импульса Ю я(в) = у )3 е-8"е-1 1де.

(2.23) Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом 0 )' е- 33)к =1/я, Для этого из показателя экспоненты в (2.23) выделим полный квадрат: ))Гз + /све = ))ез + /4»Г — Фз/(4(3) + глз/(4б) = ()/рг + /Ф/(2 (/Щ~г + Фз/(4Щ Таким образом, 0 5(в) = Уе — 'й48> ( ехр( — (~/бе+/со/(2$$))в~ос м Введем новую переменную е = )/бе +/тв/(2 ~/б), такую, что 4)г 4)ЕЯ/б. Это позволяет представить искомую спектральную плотность в виде УЕ-е"йлй $(в) = ) е-Е'Йг„ )/р — м Итак, спектральная плотность гауссова импульса вещественна и описывается гауссовой функцией частоты. Спектральная плотность дельтамрункпнн.

Пусть сигнал в(г) представляет собой короткий импульс, сосредоточенный в точке с =0 и имеющий площадь А. Такой сигнал имеет. Такую математическуюю модель часто используют в тех случаях, когда исследуемьуй импульс обладает большой степенью «гладиости» Глава 2. Спе«трельные лреаставленвя сигналов математическую модель л(с) = Аб (е). Спектральная плотность этого сигнала. 5(ез) = А ) ехр( — )ек)б(с)й.