Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 33

Г Если Р невырожаенная матрица, то гап>гРО = сап>г>2, гап>гБР = гапхЯ. Г Оире>тлнтелн. Детерминантам, или определителем, квадратной матрицы А называется скалярная функция д(А), обладаюшая тремя саойствами: (1) лри умногкении строки матрицы на скаяяр Л величина д(А) умнолгается на Л: (й) нрибавяенис одной строки к другой нс меняет детерминанта; (1и) детерминант едини»ной матрицы д(Г) = 1.

Г Альтернативное определение: и(А) = дег А = (А( = ) (-!) г >а»>п> ° - о»<»>» где а обозначает перестановку индексов (1,....н) в (а(1),...,а(н)), а Ж(а)— число транснозицнй (перестановок двух элементов) в а. Суммирование идет по всем возможным перестановкам.

г' Детерминант представляет собой алгебраическую сумму всевозможных произведений ат,>, " а»<»>», знак которых определяется четностью нли нечетностью перестановки а (четностью или нечетностью числа транспозицнй в а). 204 Глава 11. Сводка основных определений и результатов г' Свойства определителей; 1. Если матрица А имеет нулевую строку, та бег(А) = О. 2. Прибавление одной строки, умноженной на любой скаляр, к другой строке— не меняет детерминанта. 3.

Прибавление к строке линейной комбинации других строк — не меняет детерминанта. 4. Детерминант аырагкденнай матрицы равен нулю. 5. При перестановке двух строк знак определителя меняется на противоположный. 6. дегА = дегА'. 7. дег АВ = дег А дег В. 8. дегА ' = (дегА) '. г' Базис из упорядоченного набора векторов (а,...) ориентирован так же, ~а1 как исходный, если дег . > О, и — противоположно, если дег, < О.

г' Единичный куб, построенный на векторах (ребрах) станлартного базиса, под действием оператора А = [аь[ переходит в параллелепипед, построенный на вектор-столбцах ап,..., о „. Объем этого параллелепипеда, равный по модулю [дег А[, называют коэффициентам искалсения абьема линейного оператора А.

/ Система линейных уравнений Ах = Ь с квадратной неаыражденнаи матрицей А всегда имеет единственное решение х = А 'Ь, вычисляемое по правилу Крамера: дег Ам« хэ = 7=!,...,п десА ' где Агш обозначает матрицу, полученную из А заменой З-го столбца вектором 6 г' У системы уравнений Ах = Ь с прямоугольной матрицей А Е опх1+ а~газ + ... + а|»х» — 6п о»их! + Оызхз + ° ° . + о ««х» — Ьм величины х, могут определяться неолнозначно либо вообще не определяться. Решение существует, когда ранг А совпадает с рангам расширенной матрицы [А, Ь[, полученной приписыванием к А справа столбца Ь. Если эке ранг [А, 6[ больше ранга А, решение невозможна (теорема Кронекера — Капелли).

11.3. Линейные преобразования 205 11.3. Линейные преобразования А' = Т ' АТ. Г Аналогично преобразуется любой полинам от матрицы ч' Операции взятия обратной матрицы и перехода к новой системе координат — перестановочны: (А') ' = (А ')'. г' У диагональной матрицы :Д = сбаа (Лн..., Л„) ненулевые элементы могут стоять только на главной диагонали. ч' Матрица А диаганализируема, если сушествует такая невырожденная матрица Т, что Т 'АТ = Л. и' Матрицы А' и А в соотношении А' = Т 'АТ называют надабными. Это различные матрицы, но они описывают один и тот же оператор (в разных системах координат).

Г Уравнение Ах = Лх может иметь ненулевое решение х лишь в случае, когда матрица А — Л1 вырождена, т. е. бег(А — Л1) = О, что называют характеристическим уравнением матрицы А, его решения Л вЂ” соб- ственными значениями, а соответствующие ненулевые решения х = уг уравнения (А — Л1)х = Π— собственными векторами матрицы А.

Г Полинам р„(Л) = бег(А — Л1) = Л" +у„,Л" '+... + у,Л+'уо называют нар актер ионическим. / При переходе к новой системе координат с помощью невмразкденнай матрицы, х = Тх', матрица А преобразуется по правилу: 206 Глава 11. Сводка основных определений и результатов ,Г Если матрнна А имеет сабстаенные значения Л, которым отвечают сабстленнме векторы ту, то матричный полинам р(А) = А" + у„,А» '+... + у»Х имеет собственные значения р(Л.) и те же сабстленнме аекюрм т.. Сабстаенными значениями обратной матрицы А ' яюгяются Л. ' и те же сабстаеннме векторы. / В фокус внимания часто попааают дав коэффициента: у„,, равный сумме корней (сабстаенных значений) Л~(А)+...+Л„(А), и у», рваный произаелению Л,(А)" Л„(А). По теореме Виста и» вЂ” — Л,(А) - " Л„(А) = бег А, а» ~ — — Л~(А)+...

+ Л„(А) = ггА, где гг А = о~ ~ +... + о„— след матрицы (олератора) в' Под скалярным произнелением а случае хомллекслых векторов понимается (х у) = ~' *,у; т что при дейстлнтельнмх координатах переходит а станаартное определение г Аналогом «транспонироаания» а комплексном случае служит операпия сопряжения матрицы: т'* получается из У трвлслонировввием с лвследуюаГей заменой всех элемеитвв лв коми»весло соврязкевлые — и называется свлрлзкенной К ,Г В йивиневных формам (Ух, у) переброска матринм на другой сомножитеаь происходит по правилу: (тх,у) =(х, у у). / Форлгулы (АВ)' = В'А' и (А') ' = (А ')' сохраняются а комплексном случае. 11.3. Линейные преобразования 207 г' Множество а(А) собственных значений Л матрицы А называют спектром, а максимальное значение модуля ~Лз ) — спектральным радиусом, и обозначают р(А) Спектр в значительной мере характеризует свойства матрицы.

Например, из Ве Л, < О длн всех з — следует аснмптотическая устойчивость равновесия системы х = Ах + Ь. Из г(А) < 1 вытекает сходимость послеловательных приближений хл+' = Ах" + Ь к решению х = Ах+ Ь. Спектр не меняется при переходе к другому базису, т.е. характеризует сам линейный оператор, а не его конкретную запись в той или иной системе координат. г' Если у п х и матриц А и В спектры состоят из и попарно различных точек н совпадают, то матрицы надобны — переходят одна в другую при замене системы координат, В = Т 'АТ, — н представляют собой запись одного и того же оператора в различных базисах. г' В обшем случае это не так. Мешают кратные собственные значения. Кратность Л как корня характеристического многочлена рл(Л) называется алгебраической кратностью собственного значения Л. Число линейно независимых решений х уравнения Ах = Лх называют геометрическая кратностью собственного значения Л.

Если бы геометрическая кратность всегда совпадала с алгебраической,— у любой матрицы А было бы и линейно независимых собственных векторов (Г,,...,Гп) и преобразование Т = (Гн,... Г„) приводило бы А к диагональному виду. Матрица, у которой геометрическая кратность какого-либо собственного значения меньше алгебраической, называется дефектной.

Таковой является, ГО Л например, ~ ~. Собственное значение Л = О здесь имеет кратность 2, но ему Ы соответствует лишь один собственный вектор ~ ~ . г' Множество значений Ах называют образам и обозначают как цпА, а множество решений Ах = О называют ядрам и пишут МегА. имея в виду множество векторов х, которые оператором отображаются в нуль. И то и другое является линейным пространством. Подпространстео Х С В" называется ннвариантным относительно А, если х Е Х =.> Ах Е Х, т.

е. АХ С Х. Оператор А, рассматриваемый на инвариантном подпространстве Х, т. е, сумггниг А,х оператора А на Х, нвляется, очевидно, линейным оператором. 208 Глава 11. Сводка основных определений и результатов ч' При работе с полпространствами возникает необхолимость рассматривать их комбинации. Суммой Х + У надпространств Х, У С ГГ" называется множество линейных комбинаций ах+ )Гр элементов х Е Х н у Е У.

Гтересечением надпространств называют Х П У, где подразумевается обычное теоретико- множественное пересечение. т. е. н Е Х П У, когда и и Е Х, и и Е У. Наконен, Х определяют как ортогональное дополнение, при условии что Х+ Хз т Яч и хЕХ, х ЕХ ю (х,х~)=О. чс Если Х плоскость, а У прямая. не лежащая в этой плоскости, Х+ У даст трехмерное пространство, а Х П У вЂ” ~очку.

Если же У С Х (прямая лежит в плоскости), то Х+ У = Х, Х П У = У В случае йш(Х ч-У) = йшХ+ йшУ сумму Х+ У называют прямой. 11.4. Квадратичные формы е' Квадратичная форма (Ух,х) = ~ ~обх,х; ьз зааается и х и матриней У. которая обычно предполагается симметричной. ч' При переходе к лругой (штрихованной) системе координат с помощью нсвырожденной матрицы. х = Ях', матрица У преобразуется по правилу е' Преобразование Я называют ортогональным, если оно не меняет дюну векторов, что влечет за собой чс Множество векторов (Гн ..,, Г„) ортоюнально, если (Äà ) = 0 при з Ф Г. Если, дополнительно, все векторы нормированы, (ГнГг) = 1, то их множество считается ортонормированнмм.

,/ Все собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны, и им соответствуют вещественные собственные векторы. Теорема. Вещественная симметричная и х и матрица А всегда миеет и различных собственныт векгпоров (Гн..., Г„), которые образуют ортонормированное множество. а ортоюназьное преобразование Т = (Гн ..,, Гч) приводит А к диагональному виду Т'АТ. 209 11.4. Квадратичные формы г' (х, Ггх) всегда может быть приведена ар>паганальнай зименай переменных х=Тв канду (х, Ух) = ~ ~Л вг, > где Л, — собственные значения У (при условии У = У*), и — к виду (х, Ух) = ~ г,' — ~~ г', >=гь> если требование ортогональности на Т не наклааывается.

У Число >Г(п называют рангом кпадратичнай >)юрмы, р и >Г-р — индексаии инерции (положительным и отрипательныь>), а разность инлексов — сигнатурай, которая не зависит от способа преобразований, ведущего к указанной форме (закан инерции). г' Матрипу У, равно как и квалратичную форму (х, Ух), назынают палахситгльнп определенной, если (х, Ух) > 0 при любом ненулевом х. Если одна из матрип А, В положительна апргде>ена, то аде >Г>ирмы (х, Ах) и (х, Вх) при валятся к лиагональной форме однопременна (олним и тем же преобразованием). Если упорядочить собственные значения матрины У в порядке убывания Л, »... Л„, то г' Эрмип>ааа матрица. или самасапрнлгеннал (комплексный вариант симметричной), определяется условием А = А', гле звездочка обозначает уже транспонирование плюс комплексное сопряжение всех элементов, У Если матрица А зрмнтова, то: ° Все собственные значения А действительны.

° Квадратичная форма (х, Ах) принимаетдействительные значения при любых комплексных х. ° Матрила Я'АЯ тоже зрмитова. ° Сушествует представление А = ГГ*ЛГГ. где Гà — унитарная матрипа. а Л— вешественная диагональная. Обратное тоже верно. Сингулярные числа. Ортонормированная система собственных векторов (Г,,..., Г„) преобразования А'А переводится матрипей А в ортогональную; (АГ>,..., АГ„). 210 Глава 11. Сводка основнык определений и реэультвтов Величины а, = тlйы где Л, — собственные значенив А'А, называют сингуллрлыми числами маглрииы А.

Максимальное а, представляет собой евклидову норму А. Любая матрица А может быль разложена в произведение А = ТВ ортогональной матрицы Т и симметричной неотрнцательно определенной мат- рицы о. г' Биортогоивльиые базисы. У матрицы А общею вида, имеющей попарно различные собственные значения (Л,,..., Л„), существует базис из собственных векторов (еи..., е„), не обязательно ортогональный. Транспонироваиная матрица А' имеет те же собственные значения, но другие СОбСтВЕННЫЕ ВЕКтОрЫ (уи..., тч). Базисы (е ) и (б) биартагаиальлы: (ептг) =О пРн (~У. С помощью биортогональных базисов (е,) и (С) — при условии нормировки (е„Г;) = 1 — матрица А с попарно различными собственными значениями (Л н ..,, Л„) может быть представлена как А = Л, е, 1,' +... + Л„е„у„'. 11.6.

Канонические представления Р Унитарные матрицы — зто комплексный вариант ортогональных. Матрица й' улимариа, если (т'(Г = 1 . Форма определения такая же, но теперь гт" — не просто транспонированная, а сопряженная. / Источник интереса к унитарным матрицам — тот же самый, что и к ортогональным. Те и другие возникают обычно как инструмент исследования. Ортогональные матрицы, как матрицы преобразований, удобны благодаря ортогональности столбцов. В общем случае ортогональных преобразований уже нелостаточно, и унитарные матрицы — следующий шаг. Выгоды, по сути, те же: ° (цч ц, ) = О при ( ф у, и и.'; = 1 (аналогично для строк ць); ° евклидова длина преобразованного вектора л = (ту (у = (г'л) сохраняется, (х,и) = (у, у); ° 1т (г ° все собственные значения по модулю равны единице, Л„= е'т'.