Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 29

Вероятность попадания А= [ 0101 0010 000! 1000 01001 00100 000! 0 00001 10000 01! 00 00100 000! 0 00001 10000 42314 2111! 12113 3! 2! 2 23124 41246 3 1! 1 3 3341! 13641 11464 Глава 9. Положигвльныв матрицы 178 этого «нечто«в (Ь+ !)-й момент в з-е состояние определяется суммой ") »+) ч « » Р) = А сч)Р) г т.

е. р»+' = Ар». Чтобы сумма вероятностей г р; была равна единице, необ».)-) кодимо как раз ~ о» = !. 1 Естественный вопрос, конечно, предельное поведение итераций рл. Относительно прост случай примитивной матрицы А, в котором следующее по модулю собственное значение строго меньше ЛА, т.е. !Лз! < ЛА — — 1. Тогда итерации р сходятся к собственному вектору р матрицы А, причем !!р' — р[! - !Л,!", а итерации А» -+ Асс, где у Ао, все столбцы одинаковы и равны р.

Если матрица ле стокастическпя, форма аналогичного результата обрастает деталями, но суть та же. 9.7.1. Пусть А > 0 и Ах«яр(А)х, А'у=р(А)р, х>0, р>0, х'р= !. Тогда лри й -) со [р '(А)А] -) А = хр'. ь » В случае импримитивной неотрицательной матрицы предел у [р '(А)А] может не существовать.

Но предел имеют средневзвешенные суммы я — [р '(А)А] -+ хр'. »=) Если обе матрицы, А и транспонированная А', стохастические, то матрицу А называют двонкостохаетической. Классическая теорема Ьиркго4а утверждает, что любая двоякостохастическая матрица есть выпуклая комбинация конечного числа матриц перестановок. 20 Величина е» интерпретируется как вероятность попааания из у-го состоянии в»-с. 9.8. Конус положительно определенных матриц 179 9.8. Конус положительно определенных матриц Легко проверить, что множество К неотрицательно определенных матриц — конус.

Полуупорядочим с помощью К пространство Е симметричных матриц. Неравенства А ~ О, А ~ В, таким образом, означают, что матрицы А, А — В неотрицательно определены. Рассмотрим оператор Н(х) = хх, действующий из Ни в Е. Его производная вдоль траекторий линейной системы дифференциальных уравнений х = Ах равна — (хх*) = хх*А*+ Ахх', т.е Н = НА*+ АН (9.10) Уравнение (9.10) — частный случай (7.10), Его решением служит Н(1) = е Н(0)е Из Н,(0) ~ Нз(0) следует Н,(1) — Нз(1) = е '[Н,(0) — Нз(0)]е" ' ~ О, что означает монотонность оператора сдвига по траекториям матричного дифференциального уравнения (9.10).

Неравенство егнВел ' ~ 0 для любой неотрицательно определенной матрицы В вытекает из (е ~Ве ~х,х) = (Ве х, е х) >О при любом х. Для асимптотической устойчивости нулевого равновесия системы с монотонным оператором сдвига достаточно, чтобы нашлась точка Х б 1пгК, идущая под действием оператора сдвига назад, и точка У е — 1пг К, идущая вперед ~~1. Наличие таких точек в данном случае гарантирует разрешимосп в 1пг К уравнения (9.1 1) Но 4 +АНо = — бо пРи Со б 1пГК.

Обоснование лого факга почти не отличается от схемы рассуждений в ситуации к =л". 180 Глава 9. Положительные матрицы В случае гурвицевой матрицы А интеграл сходится и является решением (9.11). В результате оказалось, что самый общий случай устойчивости линейной системы укладывается а рамки идеологии полуупорядоченности. Это в какой-то степени свидетельствует, что последняя не так узка, как иногда кажется. Упражнения (см. [18[) й1атриггы А, В считаются симметричными (эрмитовыми). ° Если А «О,то А«В«О еь р(ВА ')<1. ° Для любой матрицы Т, в том числе прямоугольной, А «В =.ь Т'АТ «» Т'ВТ. А«»В«О еь В '«»А '«О. ° Если А «В «О и собственные значения А и В упорядочены по возрастанию, то Л (А) ) Л.(В).

9.9. Задачи и дополнения ° Функционал р(х, у) =1п шгп ~ —: ох < у < фх) (В (а представляет собой метрику на множестве лучей, лежащих во внутренности неотрицательного ортанта. (?) Легко проверяется, что р(х,у) =!п пап —. е!ух тл хьу! Линейный оператор, описываемый строго положительной матрицей А, сжимает по этой метрике (?) р(Ах, Ау) < рр(х, у), р < 1. См. о фокусируюших операторах в [10[. 9.9.

Задачи и дополнения 181 ° Матрицу А называют внолне лераэлоэкимой, если не существует таких матриц перестановок Р и Г'„1, что РАГ) = ~ ГДЕ Ап И Азз КааДРатиЫЕ МатРИЦЫ З'1. Матрица А вполне неразложима тогда и только тогда, когда существует такая матрица перестановки Р, что главная диагональ РА строго поло:кительна н РА неразложима. Если А вполне неразложима, то существует й, при котором Ае > О, ° Неразложимая матрица А > 0 примитивна, если хотя бы один диагональный элемент ая > О. ° Любая симметричная матрица с положительной доминирующей диагональю положительно определена.

Все главные миноры любой внедиагонально отрицательной матрицы с положительной доминирующей диагональю — строго положительны (результат известен как условие Хокинса — Саймона [14)). ° Положительно обратимая внедиагонально отрицательная матрица является Р-матрицей. ° В случае гурвицевой матрицы А спектральный радиус р(е") < 1. Это означает, что оператор сдвига е"' (Г = 1) по траекториям й = Ах сжимающий (в некоторой норме). ° Спектральный радиус р(А) < 1 в том и только том случае, когда существует положительно определенная матрица г такая, что А'!ГА — !г отрипательно определена.

° Если положительная матрица (в,т) неразложима, то система уравнений Лхз = щах а «яь. у. й = 1,..., и, е имеет единственное положительное решение (я > О, Л > О) т'1. 1 В отличие ст обыкновенной неразвожнмоств перестановки строк н етолбнов не обязаны быть одинаковыми, т.е. Я может быть не равно Р'. 241 См. Верее я. В. А мах тегнон ог Гйе Ренан — РгоЬео!ов Гйеомт // Гэаеаг я!денга аод!ц дрр!маиовк 1993. 275-276. Р. 3-1В. Глава 10 Численные методы Облик «вычислительной математики» в значительной мере определяется причинами, которые давно перестали дейспювать.

Сведение к минимуму обьема арифметических операций, требуемой памяти, времени счета — все эти факторы совсем недавно были определяющими. А уж если говорить о временах ручного счета, откуда численные методы берут начало, то многие заиленные ныне акценты становятся понятны. Сепздня системы уравнений тысяча-на-тысячу» легко решает обыкновенный ноутбук, а удобный интерфейс превращает вычисления в закачу, не требующую понимания внутренних механизмов. И тогда возникает естественный вопрос «а кому эта внутренняя кухня нужна?» Разумеется, — тем, кто будет заниматься этим профессионально. И тем, как ни странно, кто заниматься этим» профессионально не будет.

Неосведомленность о подводных течениях рано или поздно дает о себе знать. Поэтому необходимосп понимания, что там за кадром, всегда «висит на стене» вЂ” как ружье Станиславского — и время от времени стреляет. 10.1. Предмет изучения Интуитивные ожидания и мнения опираются, как правило, на примитивные примеры — вплоть до уравнений, которые приходилось решать в седьмом классе.

От этой коллекции уже не избавиться, но к ней неплохо добавить что-нибудь еше. Например, прн решении уравнений в частных производных пространство переменных разбивается на клетки (кубики), в узлах (вершинах кубиков) записываются приближенные связи переменных — получаются тысячи и даже миллионы линейных уравнений. Для решения таких систем, оказывается, нужна совсем другая философия. Издалека иногда кажется, что практические задачи линейной алгебры сводятся к решению систем уравнений. А спектры, базисы и другие премудрости в большей степени проистекают из любопытства в Здесь полезно вспомнить а(Г) = с~е ' + ...

+ с„е, дающее решение линейной йг Л„! системы й = Аа, где Уч — собственные значения, а с — собственные векторы матривы А. 183 10.1. Предмет изучения Доля правды здесь есть, но в этом нет ничего предосудительНого. Математика, как и все остальное, развивается на основе определенной игры. Одни придумывают задачи, другие — решают, третьи — учат, четвертые — втирают очки и греют руки у того же огня. Самое удивительное, что процесс не замыкается внутри себя, питает другие игры (вплоть до космических перелетов), — и потому оказывается фундаментально связан с жизнью всей цивилизации, как бы высокопарно это ни звучало.

Численные методы в линейной алгебре несут на себе отпечаток общей ситуации. В сектор прицела попадает многое, что с вычислениями связано лишь опосредованно. В первую очередь, вто изучение линейной алгебры под другим углом зрения — конструктивным. То есть изучение всего, что потенциально может пригодиться. КПД здесь очень низок, зато широта охвата решает проблему занятости 21, совершенствует понимание предмета и раз° навет чутье. Вторая мишень утилитарная — решение практических задач. При этом важно понимать, что собой представляют реальные задачи, откуда они берутся и в каком виде являются.

Возьмем простой пример. Модель межотраслевого баланова; На выпуск единицы т-го продукта, выпускаемого з-й отраслью в количестве х;, В системе затрачивается а» > 0 единиц т'-го продукта. При изучении жизни только по книгам фантазия в постановке задачи не простирается дальше решения системы уравнений х — Ах = р относительно х. Ре° льность шире. С матрицей затрат А, описыааюшей модель, приходится иметь дело из года в год, — что означает необходимость многоразового решения задачи. Сегодня надо обеспечить один набор чистых выпусков р, «завтр໠— другой. йехие-то коэффициенты а» известны приближенно. зто порождает свой круг проблем.

От оценок точности решения до попыток организации децентрализованного решения задачи на базе итерационного обмена данными, хечч — — Ах» + р, исходя из предположения, что «на местах» информация точнее. «Вниз» спускается вариант плана хв, там прикидывают необходимые затраты, отсылают «наверх», далее вычисляется новый вариант хе+1 — и так несколько раз. Сходится ли процедура? Как быстро? Как бы издевательски зто нв звучало, поддерживать творческия процесс без топлива невозможно. У См.