Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 28

9.4.2. мля полозкительной обратимости матрицы А необходимо и достаточно выполнение двух условий: А является К-матрицей, уравнение Ах = у имеет положительное решение хотя бы при одном у > О. Элементарные следствия: ° Пусть С -В ) О, матрица С поло»кительна обратима и Ви > О дчя некоторого и>О. ТогдаВ ')О. ° Пусть С ) В ) Р, причем матрицы С и Р положитыьно обратимы. Тогда В '>О. 9.5. Оператор сдвига и устойчивость Рассмотрим задачу Коши х = А(ь)х, х(0) = хо, решением которой является х(с) = Х(с)х(0), где Х(ь) — так называемый матрицант (см. )4, т.

2)), представляющий собой решение задачи Х = А($)Х, Х(0) = Е. Другими словами, матрица Х(ь) — зто оператор сдвига (Его по траекториям х = А(1)х. 9.5.1. Линейнал система х = Ах асимнтотически устойчивам), если (и только если) действительные части всех собственных значений матрицы А строго отрицательны. < Сходимость всех решений х(1) ь О при 1 -+ оо очевидна из предсшвления х(1) = ~~ с»е .

Если все Л» различны, то с» константы. При равных Л» »»г коэффициенты с» могут полиномиально расти, но зго не может перевесить зкспоненпиальное убывание множителей е"". Матрица А, у которой все собственные значения Лй находятся строго в левой полуплоскости, гче Ль < О, — называетсяустойчивой, или гурвицевой. ~ »см. 14, т.2). 9.5. Оператор сдвига и устойчивость 173 Утверждение 9.5.1 гарантирует асимптотическую устойчивость нулевого равновесия линейной системы х = Ах с устойчивой матрицей.

Полиномы Р(Л), все корни Ль которых удовлетворяют условию йе Ль ( О, также называют устойчивыми, либо гурвицевыми, а задачу об устойчивости Р(Л) — проблемой Реуса — Гурвица (см. (4, 15]). При подстановке Л = йо в Р(Л) = Л" + о|Л" ' +... + о„|Л + о„ многочлен Р записываетсл в форме )Р(гто))е"ч Гыг, либо (9.7) Р(гто) = у(ш) + гlг(ы), где у и Ь вЂ” многочлены от и.

Например, в случае Р(Л) = Л + о1Л + ом у(ш) = -и'+ он Л(ы) = о,ы. Кривая (9.7) в комплексной плоскости, задаваемая параметром ы, называется омллотудно-фозовой характеристикой полинома, либо юдогрофом Михайлово. 9.5.2. Если аргумент Р(тьз) при изменении из от О до +ос меняется на величину и —, та многочлен Р(Л) устойчив.

Это так называемый критерий Михайлова [4, 15) — один из простых и эффективных методов проверки устойчивости полинома. Теория устойчивых многочленов достаточно популярна, ибо в миниатюре востребована практикой, а в общем виде служит удобным источником задач. В силу общих причин, однако, — см. главу 10— об устойчивости надежнее судить непосредственно по матрице А, минуя запись характеристического полинома (конечно, если это возможно).

9.$.3. Лемма. Если матрица А($) внедиагонально положительна при любом У, та Х(8) > О. Траектории вспомогательной системы х = А(!)х+ е (9. 8) со строго положительным вектором е > Π— не могут выйти из неотрицательного ортанта, так как в граничных точках направлены строго внутрь Я+. Поэтому Глава 9.

Положительные матрицы 174 решение х(С) осшется в И+ при условии, что х(0) б СС+, т.е. Х,(С)х(0) > О, если х(0) > О. при е -+ 0 траекгорни (9.3) переходят в траекюрии х = А(с)х. и Ограничимся далее рассмотрением автономного случая. Решением х = Ах служит х(С) = елгх(0).

Положительность экспоненты елс, при условии А > О, очевидна из обыкновенною разложения в ряд (6.7). Лемма 9.5.3 показывает, что для е'сс > 0 достаточно внедиагональной положительности матрицы А. 9.9.4. Лемма. Если траектория линейной системы х = Ах с внедиагональио полозкительной матрицей А начинает двигаться вперед (назад), то она все время будет двигаться вперед (назад). Умножал неравенство х(0) = Ах(0) ( 0 слева на поло:кительную матрнпу ем, получаем еилх(0) < О, н далее, поскольку А и е коммугнруют, Ае х(0) <0 ю х(С) = Ах(С) <О, т.е.

из х(0) < 0 следует х(С) < 0 при любом С > О. Аналогнчно, х(0)>0 ~ х(С)>0 (С>0). 9.9.6. Лемма. Траектории и(С), о(С) системы х = Ах с внедиагонально положительной матрицей А, находящиеся в начальный момент в положении и(0) < п(0), остаются в том же отношении и(С) < е(С) при любом С > О. В силу положительности (а значит — монотонности) е М п(0) <е(0) ю е в(0) <е е(0). и Следуювсие шаги. Если А внедиагонально положительна, причем А =  — 1, В > 0 и р(В) < 1, то матрица А гурвицева, поскольку ее собственные значения Л (А) = Л.(В) — 1.

Поэтому все Ке Л (А) < О. В более общем случае внедиагонально положительной матрицы А с отрицательной доминирующей диагональю вывод о гурвицевости А сделать уже не так легко. Запишем А в виде А =  — Г, где В > 0 — внедиагональная часть А (на диагонали у В стоят нули), а Г = сйаВ (уп,..., 7„„), все уц > О. (9.9) Умножение А слева на Г ' вроде бы сводит задачу к предыдушей, поскольку в Г 'А = Г ' — 1 исходное предположение 9.5.

Оператор сдвига и устойчивость 175 о доминирующей диагонали дает р(Г 'В) < 1, что обеспечивает устойчивость А' = Г 'А. Но из устойчивости А', вообще говоря, не следует устойчивость А = ГА', ибо о спектре произведения не- коммутирующих матриц трудно судить в общем случае. Тем не менее в данной ситуации матрица А = ГА' гурвицева. В силу р(Г 'В) < 1 матрица Г 'В имеет собственный вектор хе В О, г-'в, = р(г-'в),.

° Метод шевеления» позволяет утверждать сушествоввние такого хе > 0 (лля про- стоты обозначение оставляем тем же), что Г 'Вхе < хе, т. е. В <Г ю А <О. Таким образом, траектория х(г) уравнения и = Ах, начинаюшаяся в точке хе, все время убывает (лемма 9.5.4) при сохранении неравенства и(Г) ) 0 (лемма 9.5.3), что влечет за собой х(г) -ь 0 (г -г оо). Наконец, лемма 9.5.5 гарантирует, что любая траектория н(Г), удовлетворяющая в начальный момент неравенству -х(0) <н(0) < х(0), остается при любом г >О в пределах -х(г) <н($) (х($), и потому н(г) -г О. А поскольку система линейна, то сходимость всех траекторий к нулю влечет за собой асимптотнческую устойчивость, что и означает гурвицевость матрицы А. Устойчивость нри доминировании. Рассмотрим две матрицы с оди- наковой отрицательной диагональю, А= — Г, С=Н вЂ” Г, где В и Х имеют нулевые диагонали, Г определяется как (9.9).

При этом В > О, а знаковая структура Н произвольна. 9.5.5. Лемма. Пусшь ~Н~ < В, и = Аи, е = Сс. Тогда и(0) >ц(0) =~ и($) >е($) лри любом 8 > О. Это весьма примечательный и полезный результат из разряда дифференциальных неравенств. М Векторное неравенство н(г) > е(з) не может нарушиться. Как только нг(Ге) = е (ге), так пРоизводнаЯ н (ге) — ез(ге) В О, в силУ В >!В!. Гь Лемма 9.5.6 легко позволяет сделать вывод об устойчивости матрицы б = Н вЂ” Г с отрицательной доминирующей диагональю. Достаточно взять В = ~Х~ и применить лемму 9.5.6 в совокупности с установленной выше гурвицевостью  — Г.

Глава 9. Положительные матрицы 176 9.6. Имприьтитивиость ~О ! О1 Примеры. У матрицы циклической перестановки 0 0 1 все три собственных 100 значения равны корням кубическим из единицы. Ничего но существу не меня 10 01 ется в ситуации 0 0 Ь соо с произвольными о, Ь, с > Он!. Замена любого нуля единицеи превращает матрицу в примитивную. Рассмот им аналогичный вон ос для д р ругих ц. Виденью результатов здесь помогает следующая модель. Напомним предварительно, что если у А ) 0 и В > 0 ненулевые элементы стоят на одинаковых местах, то А > О еь В > О, равно как и А уг 0 ео В ф О. Поэтому, изучая вопрос о строгой положительности А" (ноложительной матрицы), можно всегда рассматривать матрицу из нулей и единиц как бы определяющей тин изучаемой матрицы.

Представим далее модель, в которой имеется и ячеек, расположенных по кругу, и заполненных, скажем, шариками в соответствии с расположением единиц в векторе (1, О, О, 1,..., 0) . Действие матрицы «0-1» (из нулей и единиц) на «0-1»- векторы можно ассоциировать с движением шариков, включая их размножение. Например, циклическая матрица один шарик будет просто гонять но кругу.

)О 1 О1 Но если у циклической перестановки, скажем 0 0 1 , какой-либо нуль 10 ! !1 1 0 0 заменить на 1, например 0 0 1 , то количество шариков со временем будет 100 возрастать. Если в какой-то момент х, = 1, то в следующий момент окажутся заполнены 2-я и 3-я ячейки. В итоге заполнятся все ячейки, что будет означать А" >О. 1т) В отличие от — примитивных, имеющих только одно собственное значение с !л! = р(А). Необходимое и достаточное условие примитивности — строгая положительность некоторой степени А". Собственные значения здесь равны трем корням ъ'аЬс.

3 Неразложимая матрица А >0 может иметь несколько периферических собственных значений (Л,,..., Ль), равных по модулю р(А). Такие матрицы называют импримитивными1У). Здесь возникает в некотором роде неожиданность. Оказывается, что все периферические Л обязаны иметь вид ы р(А), где иг комплексные корни зс-й степени из ! . Вопрос подробно излагается в (14, 18].

9.7. Стохастические матрицы 177 В четырехмерном пространстве ситуация меняется. Матрица имеет собственные значения Л,л = ~1,272, Лз « = Л0,786!'. Направления двух периферических Л~ з определяются корнями чти, а Лз «в корнями ч'-!. Процесс увеличения числа строго положительных координат у положительного вектора при воздействии матрицы А здесь зацикливается. Но в случае, когда к той же циклической перестановке одна единица добавляется иначе, ап = 1, — снова А" > 0 при некотором й. Для и = 5 ситуация вновь упрощается.

Достаточным оказывается добавление единицы вместо любого нуля. Например, Ан = Ам еше имеет один нулевой элемент. В другом варианте первая строго положительная степень только 17, =,» Ан= Естественная гипотеза; если и простое, то для А" > 0 при некотором й достаточно (в указанном выше смысле) у циклической матрицы перестановки именить один нуль (любой) на единицу. (?) 9.7. Стохастические матрицы Положительная матрица А > О, у которой все столбцовые суммы Е а = 1, называется стохастической. !7 « Термин побухшает думать, что речь идет о случайных матрицах, но все детерминированно. Просто источником интереса к таким матрицам первоначально была вероятностная задача. Имеется и состояний, и «нечто» находится в й-й момент времени в 7'-м состоянии с вероятностью р',;.