Непрерывные системы автоматики (Учебное пособие - Непрерывные системы автоматики), страница 7

Пусть в момент времени га на систему подейспювала возмущающая сила, под действием которой рассматриваемый параметр Х изменил свое значение от $с до )ч. После исчезновения возмущения изменение параметра может происходить, например, так, как показано пунктирными кривыми 1 или 2. Если система устойчива, то возмущенная траектория изменения параметра с течением времени будет сколь угодно мало отличаться от невозмущенной (кривая 1). Кривая 2 соответствует неустойчивой системе. Известно, что поведение системы при наличии внешнего воздействия описывается неоднородным линейным дифференци- альным уравнением (2.1).

(4.2) Решение этого неоднородного дифференциального уравнения в общем случае состоит из 2-х слагаемых: общего решения однородного дифференциального уравнения (аар"~+ пал ' у+.;.+ а"у=О), которое характеризует свободные колебания системы после исчезновения возмущающих сил и которое обозначается через у (г), и частного решения неоднородного дифференциального уравнения у, (г), которое характеризует вынужденные колебания системы цод действием возмущюощих сил. При исследовании устойчивости систем нас интересуют только свободные колебания у„(г), так как вся теория устойчивости основана на использовании понятия кратковременных возмущающих сил типа Ь вЂ” функции. Основываясь на вышеприведенных рассуждениях, можно сформулировать условие устойчивости некоторой системы: чтобы она была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: Пшу„(г) = О (4.1) 4.2. Корневой критерий устойчивости Известно, что у (С) имеет следующий вид: У„(~) = 2,С,е~', где н — порядок характеристического уравнения системы; С1— ююстояниые, определяемые из дифференциального уравнения; ~арф, — корни характеристического уравнения ОХ).

Известно. что характеристическое уравнение Д(Х) может быть получено из собственного оператора системы Ор) путем замены оператора системы р на комплексную переменную А. Определим, каким условиям должны удовлетворять корни характеристического уравнения, чтобы выполнялось 4.1. Корни, как известно, могут быть действительные, комплексно-сопряженные н мнимые. Рассмотрим вид свободных колебаний у 9) для всех зтнх 3- х случаев. 1.

Корни действительные. Если характеристическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень, т.е. если Х,=аь то одно из слагаемых суммы в 4.2 будет иметь внл: у й) =С,ем „ На рис. 4.2 изображена эта зависимость. тъ11) Рве 42 Из графика рис.

42 можно сделать вывод, что уравнение 4.1 будет выполняться, если а < О. 2, Корни комплексно-сопряженные. Если характеристическое уравнение имеет хотя бы одну пару комплексно - сопряженных корней, т.е. Х;=а~ф,, то одно из слагаемых суммы в 42 будет имать внд: у (!) = С,еьн т" + С,е~ч+в'" = = С,е""(ела+ езгв) = 2С,е"'см б,!.

Эта зависимость изображена на рис. 4.3. геФ Из графика рис. 4.3 можно сделать вывод, что 4.1 будет выполняться, если а < О. При этом значение действительной части корня а определяет скорость затухания колебаний, а мнимая часть корня р определяет частоту колебаний.

3. Мнимые корни. Если характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, т.е. ~ явь то одно из слагаемых суммы в 4.2 будет иметь вид: у = С,ен" + С,езгв = 2С, соз р,1. Данное выражение характеризует незатухающие гармонические колебании частотой ~~. В этом случае считают, что система находится на границе устойчивости. На комплексной плоскости каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат в точку )ч (рис.

4.4). Длина этого вектора равна модулю )ч, 'а угол, образованный им с положительным направлением действительной оси, его аргументу. Таким образом, можно сформулировать корневой критерий устойчивости. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы действительная часть корней характеристического уравнения была отрицательной, или, другими словами. необходимо и достаточно„чтобы корни характеристического уравнения располагались в левой полуллоскости комплексного переменного (рис 4.5). В%с, 45 Чем дальше от мнимой оси располагаются корни, тем быстрее затухают свободные колебания, обусловленные этими корнями, а чем дальше от действительной оси располагаются корни, тем выше частота свободных колебаний, обусловленных этими корнями. Чтобы судить об устойчивости системы, не обязательно находить корни характеристического уравнения.

Для этого можно воспользоваться алгебраическими критериями устойчивости, когда решение принимается на основании анализа коэффициентов характеристического уравнения, или час- 54 тотными критериями устойчивости, когда решение принимается на основании анализа частотных характеристик системы. 4З. Критерии устойчивости Гурвица Данный критерий был разработан в конце века швейцарским математиком Гурвицем. Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости. Согласно этому критерию исследуются коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы Ю (Х). Чтобы найти это уравнение, вначале необходимо найти выражение для передаточной функции замкнутой системы И',(р). ( в(й) н( )Л( ) н(в) 1 + % (р) 1 д др) В (р) + <2(р) О(р) К(р) Ь р" +Ь,р" '+...+Ь В(р) с,р'+с,р" '+...

+с„ где с; — коэффипненты собственного оператора замкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы: 0(Х) =с,э.'+с)," '+... +с,,А+с„. Из коэффициентов этого уравнения вначале составляется главный определитель Гурвица. Для этого по главной диагонали сверху вниз и слева направо записываются коэффициенты от с1 до с„. Затем столбцы вверх заполняются коэффициентами с возрастающими индексами. а столбцы вниз — коэффициентами с убывакацими индексами. На место коэффициентов с индексами больше н н меньше О проставляются нули. Таким образом получим: сг . О О с с~: О 55 Затем в главном определителе отчеркиваются диагональные миноры и по лучанпся определители Гурвиц» низших порядков от 1 дои. с, сг сг со сг сг и т.

д. О с, сг Критерий формулируется следующим образом: Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно. чтобы все определители от 1-го до и-го порядков имели знак, одинаковый со знаком первого коэффициента характеристического уравнения, то есть са. Так как обычно са > О, то это требование сводится к тому„ чтобы все определители были положительны. Раскрывая определители, можно получить условия устойчивости для систем различных порядков. Системы 1-го и 2-го порядков устойчивы всегда, так как условия устойчивости для ннх сводатся к требованию са > О, сг > О, сг>0.

Для системы 3-го порядка условие устойчивости находят, раскрывая опрелегнпель Лгг сг сг — са сз >О (4.3) Для системы 4-го порядка аналогично имеем: С1сгсз сас3 сгс г>0 (4.4) и т.д. Если выражения 4.3. 4.4 приравнять к нулю, получим условия, при которых система будет находится на границе устойчивости. Методика исследования устойчивости с испаяьзоваиием критерия Гурвииа 1. Записывается выражение для передаточной функции разомкнутой системы Й(р) Ь +Ьр '+...+Ь Я(р) агр" +а~р'-'+... +а. 2.

Находится выражение для передаточной функции замк- путай системы. д, ( ) ~(р) й(р) (+ьу(р) н(р)+0(р) Н(р) Ь,р" + Ь,р" '+ ... + Ь Р(р) с,р" +с,р' '+... +с„ 3. Записывается выражение для характеристического уравнения замкнутой системы П(Л) путем замены оператора р в выражении для т)(р) на комплексную переменную Л.

П(Л)=гсЛ" +с~ Л '+ ... +с 1Л+с,, 4. Составляется главный определитель Гурвица и определители низших порядков. 5. Проверяется знак всех определителей или, если необходимо определить параметры системы, при которых она находится на границе устойчивости, определители приравниваются к О. 4.4. Принцип аргумента В основе частотных критериев лежит известный в теории функпий комплексного переменного принцип аргумента Кал известно, любой комплексный полипом и-ой степени вида Д(Ц асЛ" + а|Л" + ... + а |Л+ а„(Л вЂ” комплексное число) можно представить в виде произведения сомножителей Д(Л)=св(Л-Л1) (Л-Лз) ... (Л-Л„), где )ч=аЩ); — корни уравнения Д(Л) =О. ' Разложить на множители можно и характеристический полипом системы О(/со) (знаменатель ЧПФ, вид которого определяется только структурой системы) Д(Л)=аякса) "+ афсс) '+ ...

+ а„= аз((в-Л1) ... ()са- Л), (4 5) где Лг=пЩсЬ вЂ” корни уравнения Д(Ц О. Каяслый сомножитель выражения (4.5)~можно представить на комплексной плоскости в виде вектора-разности, соединяющего концы векторов Л; и уса. Начало этою вектора будет находиться в точке Л,, а конец — на мнимой оси в точке текущего значения частоты ез (рис. 4.6). Модуль вектора Д()сс) равен произведению модулей сомножителей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей. яя Если направление вращения векторов против часовой стрелки принять положительным„тогда при изменении часппы от -4ю до се кажд~й ве«тор-сомиожитель повернется на угол к. если корень левый (находится в левой полуплоскости комплексного неременного), и на угол -я, если корень — правьпь При изменении частоты от О до х вектора повернутся соответственно на углы яй и -Ы2.