Непрерывные системы автоматики (Учебное пособие - Непрерывные системы автоматики), страница 2

и необходимо учитывать нелинейность характеристики Д, система РА считается нелинейной и описывается нелинейным Ду„что существенно усложняет ее анализ. 6) непрерывные и Дискретные. В тех случаях, когда на входе системы РА действуют непрерывные радиосигналы н контур регулирования постоянно замкнут, система считается непрерывной. Если же она входит, например, в состав импульсной РЛС, т.е. на входе ее присутствуют импульсные радиосигналы, нли если контур регулирования периодически размьпсаегся, система РА называется системой прерывистого регулирования.

Работа такой системы описывается не обычным ДУ, а так называемым уравнением в конечных разностях, н для анализа ее работы требуются специальные математические методы. в) стационарные и нестационауные. Если структура и параметры системы РА в процессе работы не меняются, она называется стационарной.

Если же она каким-то образом приспосабливается, адаптируется к изменяющимся условиям работы, в основном к изменяющимся характеристикам помех, то такая система называется нестацнонарной. Анализ нестационарных систем РА чрезвычайно сложен математически и а нашем курсе не изучается. Возможна классификация систем РА и по другим признакам, но они уже не так важны.

2. АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙННЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ РА 2.1. Постановка задачи Под анализом системы (рассматриваемой как 4-х полюсник) понимается отыскание сигнала у(Г) на ее выходе, если известен входной сигнал х(8) и структура системы. Поскольку система считается линейной, прохождение детерминированной и(Ь 2) и случайной и„(г) компонент входного сигнала можно рассматривать раздельно.

В данном разделе изучакпся основные мжематические методы анализа детерминированных сигналов. Структура системы может быть задана дифференциальными уравнениями частотной или временной функциями. В зависимости от этого задачу анализа можно решить сыпим вз трех способов: - путем решения линейного дифференциального уравнении; - путем использования преобразований Фурье и Лапласа; - путем использования временных функций н интеграла Дюамеля. 2.2. Метод анализа с помощью дефференцнальных уравнений Данный метод является наиболее общим методом анализа линейных непрерывных систем радноавтоматнки.

Линейное дифференциальное уравнение л-го порядка в опе- раторной форме, как известно, имеет следующий внл: а,р'у[1)+ а,р' 'у(~)+ ... + а,,ру(Ф)+ а„у(1) = (2.1) = Ь,р х (С) + Ь,р ' х (Ф) + ... + Ь ,рх (() + Ь х (й), где а„н ܄— постоянные коэффициенты, а т всегда меньше л. Оператор у = — формально можно рассматривать как со- с» множитель, поэтому справедлива запись: (а,р'+а,р" '+... +а„)у(~) — (Ь,р +Ь,р" '+... +Ь„)хЩ (22) Сомножитель переду обозначается через Д(р) и носит название собсвмвиного операвюра системы, а сомнсюкитель перепл обозначается через Я(р) н носит наюание оператора воздействия. 11 Отношение оператора воздействия к собственному называется передаточной функцией в операторной форме: 2(а) й(Р) Ьай +Ь,Р +...

+Ь. х(~) 0(р) а,р'+а,р" '+... +а, (2.3) Используя передаточную фун)щию )а'(р), формально можно записать: (2.4) 2.3. Метод анализа с использованием частотных функции систем и преобразований Фурье и Лапласа Для описания линейных стационарных систем в установившемся режиме широко используются частотные передаточные функции (ЧПФ), которые обозначим через )а'((в), По определению )У((ьз) равна отношению спектральной функции выходного сигнала у((в) к спектральной фуиклни вход- ного Х(ув): Щв) = У((а)/Хога). ЧПФ используют для анализа систем в установившемся режиме при подаче на вход гармонических сигналов и сигналов которые могут быть разложены в ряд Фурье. Общее выражение для ЧПФ можно найти, формально заменяя в выражении (2.3) оператор р на)в: Ьа( в) + Ь,( в) '+...

+Ь„(23) а,()в)'+ а,()в)" '+ ... + а„ у(() — Ы( (р) х((). Это выражение представляет собой сокращенную операторную форму записи уравнения (2. 1) и является нестрогим. Дифференциальное уравнение является исчерпывающей характеристикой системы; решая его, можно определить выходной сигнал как в переходном, так и в установившемся режимах. Методы решения неоднородных дифференциальных уравнений хорошо разработаны, однако они довольно громоздки и потому неудобны для использования.

Гораздо чаще используются другие методы анализа. Смысл замены оператора р на уа заключается в том, что при наличии гармонических сигналов вида хй= ахея дифференци- рованию сигнала соответствует его умножение на улк —,= )еа е дх м! о Заменив оператор р на рв, мы перешли от динамических процессов, описываемых передаточной функцией в операторной форме, к установившимся процессам.

Получить выражение (2.5) без использования (2.3) можно, применяя преобразование Фурье к левой и правой частям урав- нения (2.!) и находя отношение спектральной функции выходнЬ- го сигнала к спектральной функции входного. Позтому, в отли- чие от (2.3), оно уже не является формальным. Проделаем эти операции.

р(а,р "у(1)+ а,р" 'у(г)+ ... + а„у($)) = Р(Ьхр х(1)+ Ь,р 'х(й)+ ... + Ь х(1)). а, Р(р'у(з)) + а, Р(р" 'у(й)) + ... + а „Р(уО)) = = Ьхр(р х(зЦ+ Ь,Р(р 'х(Ф)) +...+ Ь Р(х(Ф)). где Г( ) — символичное обозначение прямого преобразования Фурье. УЧИтЫВая, ЧтО Хичи Е~"' И Р(ХИ)=ХОЮ), РЬ(гИ = у(уе>), а г'(р "х (г)) = (Рв) "А Оез), имеем (а, ()гс)" + а, ()ге) ' ' + ... + а,) У Цге) = = (Ь,Цсз) + Ь,Цез) .

'+ ... + Ь )Х()в). Находя отношение у()сз) и ХДв), получаем (2.5). ЧПФ можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей В' (усз) = х(а)+ р (в) = А (в)е~~~ ~ и лг( )= / '77 '( ) — ~се НЧМ р (м) = агсщ — — аргумент Ифез); х(а) хМ) (2.Б) и(в)- — действительная часть, «(со) — мнимая часть |фю). А(а) называется амплитудно-часппной функцией системы (АЧФ), а ее график — амплитудно-частотной характерисппсой (АЧХ). Экспериментально АЧФ определяется как отношение амплитуд выходного н входного сигналов на каждой гармонике входного сигнала. ф(ю) — называется фазочастотной функцией системы (ФЧФ), а ее график — фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

ФЧФ определяет фазовый сдвиг, приобретаемый каждой гармоникой входного сигнала при прохождении через систему. На комплексной плоскости (в координатах и(ге) и «(а)) функцию гг(де) часто изображают в виде годографа, который является геометрическим местом точек конца вектора Щв) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис.2. 1). Иногда годограф изображают в виде симметричной фигуры относительно действительной осн, Такпм он псаучается, если формально изменять частоту в диацазоие от -Ос до сс.

В этом диапазоне функция ф(ю) является нечетной, а так как положительный фазовый сдвиг отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления действительной осн, а отрицательный — по часовой стрелке, годограф получается симметричным.

Мы при изображении годографа будем использовать диапазон частот от О до ео. Этот годограф иногда называют амплитудно-фазовой харак- теристикой (АФЧ), так как он содержит информацию как об АЧХ, так и о ФЧХ. Для графического изображения АЧХ и ФЧХ широко используются логарифмические характеристики — ЛАЧХ и ЛФЧХ. ЛАЧХ называется функция Т,(ге), равная 201яА(ге). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — значение Т,(оз) ' в дБ. При построении ЛФЧХ по оси абсцисс также откладывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — зшь чение ~р(ге) в градусах. Единицей измерения частоты является Гп, Интервал, на котором частота изменяепж в 2 раза, называется окглавой, а на котором она изменяется в 1О раз, называется декадой. Ось ординат при построении характеристик проводят через произвольную точку, а не через точку ез = О, так как частоте го = О в логарифмическом масштабе соответствует бесконечно удаленная точка.

Метод построения ЛАЧХ и ЛФЧХ очень удобен потому, что при определении ЛАЧХ и ЛФЧХ системы из нескольких последовательно соединенных звеньев складывают ординаты характеристик этих звеньев. Частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза в, . На частоте срезаА(в, ) = 1, аЬ(га, ) = О. Частота, при которой ФЧХ пересекает уровень -к, называется критической частотой ще. При построении ЛАЧХ широко пользуются приближенным методом, соспвпцем в замене реальных характеристик отрезками прямых, называемых аснмптотами. Частоты, на которых происходит изменение наклона аснмптот„называются частотами сопряжения г» МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЛАЧХ 1. Разбить частотный диапазон на подлиапазоны, внутри которых наклон асимптот постоянен.