Непрерывные системы автоматики (1088871), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отсюда вытекает правило, называемое принципом аргумента: зпменение арюу~юпв Яез) нри измсн~~ии встоты от О до с будет равно умности между числом левых и правых корней, умноженному на Ы2. Если порядок полинома ЩпИ' ранен и и полипом имеет К правых корней ((и — К) — левых), то можно представить математическое выражение для принципа аргумента в виде' Лая()()а)~, =я/2(п-2К) (4.6) Как известно, у устойчивой системы все корни находятся в левой полуллоскости комплексного переменного, т.е.
К О, позтому для устойчивой системы имеем: Ьмй0()ы)~, = па/2. 4.$. Критерий Михайлова Этот критерий, разработанный в 1938 г. советским ученым А.В.Михайловым, является, по существу, геометрической интерпретацией принципа аргумента Он позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения годографа характеристического полинома замкнутой системы Щв), называемого кривой Михайлова. Полипом РДв) в общем виде может быль записан 0 ()в) = с, ()в) ' + с, (~в) ' ' + ... + с„= Х (в) + (у (в), (4 7) где Х(в)= с, — с, в~ + с„,в4 — ..„ У(в)= с,,в — с, в' — ...
А'(в) н У(в) — вещественная и мнимая функции Михайлова. При изменении частоты от О до с вектор РДв) будет описывать своим концом в комплексной плоскости с координатами А(в) и уу(в) годограф. Начинается он при в = О на положительной части действительной оси в точке с„. Угол поворота Р(/в) вокруг начала координат при изменении частоты от О до со, согласно принципу аргумента, равен: а я в Пв) ~, =' яраг (я — гк).
Если правых корней нет. то есть если К = О. то ьагя В Пв)( = а я/2,. (4.8) Устойчивая система не должна иметь и мнимых корней, обрацаюпщх Щв) в 6. Следовательно, должно выполняться еще одиоусловие: Рфо) ФО (4.9) Условия (4.8) и (4.9) представляют математическое выражение критерия устойчивости Михайлова, который формулируется сведующим образом: необходимым и достаточным условием устойчивосци замкиугой системы является требовацие, чтобы вектор кривой Михайлова Щв) при изменении чтоты от О до с повернулся, нигде не обращаясь в. О, вокруг начала координат на угол я я уг, где и — порядок характеристического уравнения. Если этв требования будут соблюдаться.
кривая Михайлова обойдет против часовой стрелки п квадрантов координатной плоскости. Конец ее уходит в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку характеристического уравнения (рис. 4.7). в )у(ьз) Если годограф Ще) проходит через О, это означает, что система находится на границе устойчивости. При этом какие-то корни функций Х(в) и У(ге) будут равны между собой.
Если кривая Михайлова проходит последовательно и квадратов, то корни функций Х(в) и Г(еу) будут правильно чередоваться. Точка еу = О есп первый корень функции Г(гв) — в,у Первая точка пересечения годографа с оеью Щв) есть первый корень функции Х(ау) — оуг,, следутоп(ая'точка пересечения годографа с осью Х(ф) есть второй корень функции У(ге) — азу, и т.д. Для устойчивой системы соблюдается неравенство." еу!у~ау!х~тзу~сйх~ "° ° Методика исследования устойчивости с использованием критерия Михайлова 1. Записать выражение для ЧПФ разомкнутой системы: ( Ь ( е) +Ь ( ю)"-'+...+Ь„Нов) а,()в) +а,0ау)" '+...
+а. 0()со) 2. Найти выражение для ЧПФ замкнутой системы: Ч . Ь ()т) + Ь1()ез)" '+... +Ь КЦе) с ()в)" + с, (дм)' ' + ... + с„п ()в) 3. разложить на действительную н мнимую части функцию Михайлова." Пот) = Х(а) +)Х(в). 4. Найти корни действительной в1„, вх,, ... и мнимой в,„, вот.... функций Михайлова, приравняв их к О.
5. Для проверки факта устойчивости системы проверить правильность чередования корней в~„<в,„<вы<ее,< .... Для определения параметров системы, при которых она находится на границе устойчивости, приравнять друг к другу корни действительной и мнимой функций Михайлова, например: во = вгг нли вхз = аь и т д. 4.б. Критерий Найквиста Этот краткий был разработан в 1Я32г. американским ученым Найквистом для исследования устойчивости усилителей с обратной связью.
Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду годографа ЧПФ разомкнутой системы. Годограф может быть построен на основании аналитических расчетов, а также снят экспериментально. Это обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий от всех других. Рассмотрцм его применительно к статическим системам, устойчивым в разомкнутом состоянии. Критерий формулируется следующим образом. 'если в системе, устойчивой в разомкнутом состоянии, годограф частотной передаточной функции не охватывает точку с координатами (-1; )3), то эта система будет устойчива и в замкнутом состоянии. ЧПФ разомкнутой системы, как известно, записывается % 01о) = = в(а) + )ч (а). к Оа) О Оа) а ЧПФ замкнутой системы )ь'Оа) кОе) нО ) 1+ В Ое) й Оа) + 420а) В Оа) Характеристический полипом замкнутой системы есть | ()в), а разомкнутой — Щ(в).
Рассмотрим функцию )К, Ое) = 1+ % Ое) = — —. Аргу- В (1а) Ч Оа) мент этой функции агути~()в) равен разности аргументов замкнутой и разомкнутой систем. Если система устойчива. то, согласно принципу аргумента, приращение аргумента ее харак- теристическаго палннома при изменении частоты от 0 до о равно ил/2 (и — степень характеристического полинома).
т.е. Лащ'~((а) = нх/2. так как система устойчива в разомкнутом состоянии. Если н замкнутая система устойчива, то аналогично имеем: нагл .О ( уе) ~ = я к/2, так как степень полинома.0(да) также равна и Поэтому для системы, )'стойчнвой в разомююугом и замкнутом состояниях, будем иметь а ли",(1м)~," =о. (4.8) Годограф функции 5®в) в координатах и(в) и у (га) изо- бражен иа рис.
4.8. Каждой точке этого годографа соответствует вектор 6' Да), проведенный из начала координат и вектор И"~ Дв), проведенный из т. (-1; 10). Следовательно, годограф функции И®а) будет соответствовать годографу функции 8'(до). /т(га) ' ' в- со ге=0 / У У:1 1~".. 'ь,„/'; ц'' ур')'~, 1 ч' "М$6)) Рис. 4.8 Сформулированное условие устойчивости замкнутой системы (4.8) эквивалентно требованию, чтобы годограф ЧПФ разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1;,уО). Если же зто требование не будет льпюлняться и годограф 5' (да) пройдет левее точки (-1; )О), го результирующее приращение аргумента функции 6®гв) при изменении частоты от 0 до со не будет равно О.
По годографу ЧПФ могут быть определены частота среза оз и критическая частота еь (рис. 4.9). Рне. 4,9 Для системы, устойчивой в разомкнутом и замкнутом состояниях. соблюдается условие езфр< ез„р. (4.9) Если ез,р — — езч, (годограф проходит через т. (-1,)())), система в замкнутом состоянии находится на границе устойчивости. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе также могут быть определены по годографу ЧПФ. Запас устойчивости по фазе Ь<р определяется как угол между отрицательным направлением действительной оси и направлением на частоту среза Запас устойчивости по амплитуде ЛА определяется как величина отрезка по оси абсцисс между точкой (-1;)()) и значением модуля ЧПФ на критической частоте. Методика исследования усзпойчивосрпи с использованием «)зипзьузия Ной«виста 1.
Заплыть выражение для ЧПФ разомкнутой системы и (де) (1 ()рз) 2. Разложить зто выражение на действйтельную и мнимую % ((ез) = а (зр) + ДУ (ез). 3. Приравнивая О мнимую часть. найти выражение для ез к Подставляя выражение для ез в и (ез) и приуввнивая и(ез ) к -1, найти условия, при которых система находится на границе устойчивости. 63 4.7.
Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ тесно связан с критерием Найквиста. Чтобы определить, устойчива ли система в замкнутом состоянии, строят ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Далее по ЛАЧХ находят частоту срем ге, а по ЛФЧХ— критическую частоту гее, (рис.
4.10) Цез) 1 ог АХ..= 201кМ ийге) га ( ) Если гл, < в система устойчива. По ЛАЧХ и ЛФЧХ можно найти запасы устойчивости по амплитуде н фазе. Для зтого на ЛАЧХ сносят значение егч„а на ЛФЧХ вЂ” значение гв . Запас устойчивости по фазе Агр определяется как разность между 160 и гр(в ): Агр= 180 -гр(в ). Запас устойчивости по амплитуде Ар определяется как не° ~(,).
М =го)рм. Если в, = а,г, система находится на границе устойчивости. Цйимей Найти критическое значение козффициента передачи систе- мы, передаточная функция которой при разомкнутой цепи обрат- ной связи имеет вид: %(р) = К р(рТ, + 1КрТ, + 1) решим задачу с использованием рассмотренных критериев.
!. $~ритефй) трвнйа 1, Передаточная функция разомкнутой системы: %(р) = К р'Т,Т, + р'(Т, + Т,) + р ' 2. Передаточная функция замкнутой системы: %, (р)— р ТТ,+р (Т,+Т,)+в+К 3. Характеристическое уравнение замкнутой системы: 1) щ = т,т,к'+ (т, + т,) к'+ к + к. где Сз = Т1Тз. "С~ = Т~+Тз, Сз = 1; Сз = К. 4. Из выражения С1 Сз — Са Сз 0 находим выражение для (Т1+ТД = Т1Тз К,; К (Т1+ТД/Т1Тз 1Мс) . П. 1. ЧПФ разомкнутой системы: и' (1е ) 1е (/е 1', + 1)( 149 гг + 1) 2.
ЧПФ замкнутой системы: %, ()е)— К ()е)зТ,Т, + фв)*(Т, +Т )+ )е+ К ' 3. Действительная и мнимая функпии Михайлова: Т1(1е) = (К вЂ” ез(Т +Тз)1 + Ле — е~Т~Тз) Х(е) = К вЂ” е'(Т, + Т,): У (а) = в(1.— вйТ,Т,) . 4. Корни действительной и мнимой функций Михайлова: Х(е)=К-е (т,+т,) =О;е,* = 3 й у (е) = е(1 — е'т,тй); е, = О; е' й й 5. Приравнивая азы и а в„находим выражение для К: Т + Тй т,т, Ш.
К ите иййайкви 1. Действительная и мнимая части ЧПФ разомкнутой сис- й йй-вййй-нтйй> )вОвт, +1)()ат, +1) а(1+в'Т,')(1+а'Т,') Ке(Т, + Тй) к(опт,Т, -1) а..й1й. е'й'жйй+ й 2. Из равенства а(в) = О. находим в,р 1 К(а'тт -1)=О; а =— й й 1 й. 3. из равенства в(в ) = -1 находим выражение для к„1 (,.т„„т*,' ' т, т, 5. КАЧКСтВО СИСТКМ РАДИОАВТОМАТИКИ бд. Показатели качества переходного процесса Любая следящая система должна удовлетворить требованиям точности и быстродействия, которые относятся к показателям качества ее работы. Различают две группы показателей качества: показатели качества переходного процесса и точность системы в установившемся режиме.
Показатели качества переходного процесса, в свою очередь, подразделяют иа прямые и косвенные показатели качества, Прямые показатели качества определяются непосредственно по переходной характеристике (рнс. 5.1). Различают три вила переходных процессов: монотонные, апернодические и колебательные. При монотонной переходной характеристике первая производная выходного сигнала не меняет знак, при апериодической — меняет его не более одного раза, при колебательной — меняет знак периодически. К показателям качества, определяемым нз рис, 5.1, относятсл: 1) время установления 㠄— это минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будит оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью, которая задается в процентах от установившегося значения (величина 25 на рис.
5. 1).. Ь 2) перерегулирование о = — ' — апшо%; Ь 3) частота колебаний м= ~, где Т вЂ” период колебаний; т' 4) время достижения 1-го максимума г 5) время нарастания г; б) число колебаний и, которое имеет переходная характеристика за время г ~Ь,— Ь 7) декреме т затухания х = ~ й в 2 уи 8) ошибка переходного процесса в „= ь — ь В). В тех случаях, когда кривая переходного процесса не может быть снята экспериментально или рассчитана, используют косвенныв показатели качества переходного процесса: корневые и частотные. При использовании корневых показателей качества на комплексной плоскости выделяют ту область, где находятся все корни характеристического уравнения ~, =а, +я3,.
Как известно, значения корней влияют не только на устойчивость системы. но и иа вид переходного процесса. Для устойчивости системы необходимо только, чтобы все корни Располагались в левой полуплоскости комплексного переменного, то есть имели отрицательную действительную часть а,. Для определения характера переходного процесса важно. в какой части левой полуплоскости располагаются корни. Величина действительной части определяет скорость затухания переходного процесса — чем больше ~о,~, тем выше эта скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
