Непрерывные системы автоматики (1088871), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Более подробно рассмотрим метод анализа НС, называемый методом фазовой плоскости. 7З. Метод фазовой плоскости Метод графоаналнтическай. он позволяет получить полное представление об общих свойствах системы и ее поведении при различных начальных условиях. Используется для исследования устойчивости и качества работы НС. Основан на использовании понатия фазового пространства— пространства, характеризуемого некоторым количеством переменных или фазовых координат )уь уь..., у„). В качестве фазовых координат обычно используются выходной сигнал и его производные. Он может попользоваться для систем, описываемых дифференпиальным уравнением не выше 2-го порядка.
В этом случае фазоваа траекп рия графически кпбражает дифференциальное уравнение системы, и по ее виду можно определить, например. границы устойчивых и неустойчивых соспжннй равномсия, величину динамической ошибки в установившемся режиме, характер переходного процессов в зависимости от начальных условий.
Для объяснения существа метода воспользуемся методом аналогии. Вначале рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка: а — +а — +азу=О. Й'у ду Ф вй 1 Обозначим — = у, тогда от уравнения 2-го порядка можем 4' а перейти к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка: =у Оу й а,— +ау,+а,у=О Оу й Второе уравнение системы можно представать в виде: ~' = е(у,. у), гле Ф(т~ И вЂ” линейная функция. Получим: у~ Оу Ф вЂ”,'=е(у у) В качестве фазовых кеординат здесь используется выходной сигналу(г) и его производнаяу,(т). Точно так же можно представить нелинейное лифференциальное уравнение 2-го лорядкю =у Оу Ф лу, — '= Р(у,.у) ' Й где т(р„) — нелинейная функция.
Для исключения зависимости от времени, которая нас в данном случае не интересует. разделим второе уравнение на первое: ф, '1'(у * у) ау у~ Чтобы изобразить фазовую траекторию, необходимо получить зависимость у1=Яу.С), где С вЂ” постоянная интегрирования, характеризующая начальные условия. Искомую зависимость можно получить, проинтегрировав (*), В общем случае зта задача не является тривиальной, однако при использовании методов численного интегрирования оиа может быль решена Из (*) можно получить однозначную зависимость везде, кроме так называемых особых точек.
где одновременно и Ч'(уь у) и у1 обращаются в О. Онн характеризуют состояния равновесия системы, устойчивые или неустойчивые, в них производная й1 ф' может иметь любое значение. Некоторые виды особых точек изображены ва рис. 7.4. у а) центр устойчивое состояние равновесия б) фокус неустойчивое состояние равновесия Рис. 7.4 в) фокус устойчивое состояние равновесия у(г) уИ а) центр б) фокус неустойчивый Рис. 7.5 в) фокус устойчивый По виду фазовой траектории можно изобразить внд выходного сигнала, как представлено на рис. 7.5. 7.4.
Пример использовании метода фазовой плоскости дли анализа нелинейной следящей системы первого порядка Как отмечалось выше. анализ нелинейных систем возможен только тогда, когда возможно ее разбиение на нелинейную безинерционную часть и линениую инерционную (рис. 7.6) Линейная часть системы, представляющая собой последовательное соединение фильтра и обьекта управления, описывается передато пюй функцией первого порядка: х,з к % (р) = %,(р)% (р) = †'-я- = рт, +( (+рт, . Разомкнем следящую систему и запишем ее дифференциальное уравнение: Л(с) = ли — дл(~) = х(лцьу (р) = (7. () Из (7.
Ц получаем: т рЛ(~) — т раЛ(с)+ Щ) — лЛ(с) = яс (аЛ) (7.2) В качестве фазовых координат выберем ошибку сопровождения бЛ(4 н ее производную риф). Считаем, что задающее воздействие Л(г) постоянно. В этом случае рЛ(г)=0. Нас интересует зависимость рЬЛ(г) от ЬХ(г). Преобразовав (72), получим: Х вЂ” ' ЬХ(й $сх (ЬХ) (7.З) т, т, Поскольку это уравнение 1-го порядка, для изображения фазовой траектории интегрирование не требуется. ее можно изображать сразу. Для этого дискриминационную характеристику У(~й) необходимо умножить в й Л;ь раз, изменить знак на обратный и сложить с функцией ~~~'", которая представляет собой уравт, пенне прямой (рис.
7.7) Рис. 7.7 Ось ординат - это прямая пересекает в точке )Л~. а ось абсцисс — в точке ЬХ=З Второе слагаемое уравнения (7.3) изображено на рис. 7.8. На рис. 78 пунктирной линией изображена зависимосп ЯЬХ), сплоппюй — зависимость — —. ьх сгю т, Сложив функции графиков рис. 7.7 и рис. 7.8, получим график рис. 7.9.
! ~ -----87ч --- ' Рис.7.9 Из графика рис. 7.9 видим, что фазовая траектория пересекает ось абсцисс в трех точках: 1, 2, 3. Эти точки являются состояниями равновесия системы, так как в них АМ, то есть не происходит изменения величины Ы. Чтобы понять„устойчивы ли зти состояния равновесия, на фазовой траектории поставим стрелки, указывающие направление движения изображающей точки. Там„где производная положительна (рЫ~О), Ы может изменяться только в сторону увеличения Ы, а там, где рЮ<0 — только в сторону уменьшения Ы. Из графика рис. 7.9 становится ясно, что точки 1 и 3 — точки устойчивого равновесия, так как при любых случайных изменениях величины Ьх изображающая точка вернется в состояние равновесия„а точка 2 — точка неустойчивого состояния равновесия.
Если изменять отношение )Л;р, то прямые ~ бУ"Уг т перемешаться параллельно друг другу, и в результате при раз- личных )Л'е будет получено семейспю кривых, аналогичных изображенной на рис. 7.9 (фазовый портрет системы) (рис. 7.10). Из фазового портрета можно увидеть. что при некоторых значениях отношения )Л'е будет существовать всего одна точка устойчивого равновесия 1, когда ось абсцисс будет являться касательной и фазовой траектории (кривая 1). Это отношение ЬТ» для данной системы будет являться предельным, где возможна ее работа, и дно характеризует ее полосу удержания.
При дааьнейшем увеличении )Ле рассматриваемая статическая система выйдет из режима сопровождения, так как не будет сущеспювать ни одного состояния равновесия. Из графика рис. 7.9 можно определить величину ошибки сопровождения Ю для каждого значения 1Лф и для каждого состояния равновесия (Ыь Ь$ь Ыа), Видим, что в точках 2 и 3 величина ошибки слишком велика, то есть подстраивающее действие системы здесь отсутствует. Рис. 7,10 Итак, из графиков рис. 7,9 и 7.10 можно извлечь довольно много информации: определшь допустимые пределы изменения отслеживаемого параметра Х, при которых система мажет работать ((-3ч+ )~1] на рис. 7.9), определить какие соспишия равновесия системы являются устойчивыми, а какие нет, и определить величину Ошибки сопровождсниЯ В каждОм из сОстОЯний равновесна.
Кроме того, пользуясь фазовой траекторией рис. 7.9, можно изобразить вид переходной характеристики системы, т.е. зависимость ОЦТ) при различных начальных условиях, т.е. при различных начальных Ы. Прн изображении этих кривых необходимо учитывать знак и величину первой производной ЬХ (рЫ), а также иметь в виду, что точки максимума первой производной соответствуют точкам перегиба кривой переходного процесса На рис. 7.9 буквами А-Е обозначим различные начальные условия. Изобразим вид переходных характеристик в каждом из этих случаев (рис. 7.11). ЬХ Рис.
7.11 7.5. Полосы удержании н схватывания Дадим определение этим понятиям и найдем нх зависимость от структуры и параметров системы. Полосой удержания Ы 1 называются допустимые пределы изменения параметра входного сигнала Цг). при которых ошибка сопровождения ЬХ не выходит за пределы линейного участка характеристики дискриминатора (Х~ Хз на рнс. 7.10).
Полосой схватывания Ы называют диапазон изменения параметра входного сигнала 34), при котором система входит в режим сопровождения, если ее начальное состояние было нерабочим. Определим, от чего зависят значения полос удержания и схватывания для простейшего случая — статической системы 1- го порядка, как в примере предыдузцего подраздела. Используем полученное в указанном примере дифференциальное уравнение системы (7.2) ." т рь -т рак+ Х вЂ” аь = ях(аА1 Как и выше, считаем, что Х=сопз$. Рассмотрим устаиовивпшйся режим, когда закончилось изменение величины Ы„т.е.
когда рЫ=0. В результате оговоренных условий АМ и рЮ-0, поэтому 7.2 упрощается: (7.4) Нам необходимо найти зависимость ошибки сопровождения Ы от значения параметра входного сигнала Х. Чтобы получить зту зависимость. необходимо решить уравнение (7.4), которое является трансцендентным и нелинейным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
