XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 6

(26) У Пример 2.1. Пусть скорость среды, заполняюшей внешность Й С Кз сферы радиуса го с центром в начале прямоугольной системы координат Ох!хзхз, задана векторной функциеи г х о = оо(!)— ~з (2.7) Итак, в любой точке области функция о = оо(!)г„х/)х! удовлетя з воряет (2.4), т.е., согласно (2.3), среда является несжимаемой (но не обязательно однородной). Нетрудно убедиться, что ротор этого поля скорости равен времени ! и радиус-вектора х точки М Е Й области Й, причем оо(1) имеет смысл модуля вектора скорости на поверхности этой сферы, Так как вектор о скорости среды в любой точке М Е Й сонаправлен радиус-вектору х этой точки, а модуль ~о1 зависит лишь от расстояния точки М Е Й от начала координат.

то векторное поле скорости среды является центральным [Ъ'11). С учетом того, что проекция вектора скорости на ось Ох„ ~=~,2,З,р !=,!ьг1*;Л ~ ~ ~=„ГЛ+Б1+Я, ад дивергенцию этого поля: з д з д( ~~ ~з) ~о = г, — = оо(г) го ~ дх, дх; 1=1 1=1 Зоо(1) го Зио Я го ~ ~х~з 2~ ~з 42 г. ЗЛИОНЫ СОХРЛНЯНИЯ ФИЗИЧЯСНИХ СУНСтЛНЦИй т.е.

векторное поле является не только соленоидальным (в силу ~го = 0), но и безвихревым, а так как область П поверхностно односвязна, то и потенциальным (Ъ'1Ц. По определению потенциального поля существует такая действительная функция у(~,х), что в(~,х) = ~гр(~,х). Эту функцию называю~ скаллрнььи потенциалон векшорного полл скорости, или коротко иопзекцкалом скороспзи. В зтом случае (2.4) переходит в уравнение Лапласа (2.8) где ~~г =,л — дифференциальный оператор Лапласа. Граничное условие для (2.8) на поверхности сферы ~х) = го с учетом (2.7) имеет вид ('7р)к=ип=соЯ( е — ) =со(~), (2.9) )з ~х( где к = х/)х~ — единичный вектор внешней нормали к сфере. Таким образом, (2.8) и (2.9) в сочетании с условием ограниченности у при (х~ -~ со составляют вытекающую из закона сохранения массы математическую формулировку краевой задачи для нахождения потенциала скорости.

Несложно проверить, что задаче (2.8), (2.9) удовлетворяет функция ~о = = -по(С) гог/ф + Со, где Со = сопвС. Если несжимаемая среда неоднородна, то зависимость ее плотности р(1,х) от времени 1 в точке пространства с радиус-вектором х описывается уравнением неразрывности (2.2), которое можно записать в виде — = — ~(РЧу). При установивар дя шемся движении такой среды, т.е. при — = О, векторное поле ар плотности р~7~Р = ро потока массы является соленоидальным. Если же поле скорости потенциально, но среда сжимаема, то потенциал ~Р поля скорости не удовлетворяет (2.8), а (2.2) и (2.3) переходят в равенство — +т/(Рт/р)= — +рт р=0.

у пР пР дг Й 43 2.П Закон сохранения массы Закон сохранения массы можно применить не только к однородной среде, но и к смеси и разнородных веществ, заполняющих некоторый объем Р. Для каждого й-го вещества, й = 1, п, можно ввести плотность р1 "1, характеризующую его объемную концентрацию в смеси, а при помощи векторной функции е1"1 = = н1'1(1,ж) задать векторное поле его скорости. Тогда для плотности смеси получим н ~-р1л1 /=1 (2. 10) (2.11) Пусть в смеси не происходит превращения веществ. Тогда для каждого Й-го вещества справедлив закон сохранения массы в виде (2.1): — '= Г~ е +с(~е',еЧ)ее=о. (23е е1с / 'х д1 Рассуждения, аналогичные проведенным при получении (2,2) и (2.3), в случае непрерывности в (2.12) подынтегрального выражения позволяют записать при Й = 1, и др'"1 М"' дс + х7(р1 1п1 1) = О, или + р1 1~Уп1 1 = О.

(2.13) й Ясно, что, суммируя по й первые равенства в (2.13) и учитывая (2.10) и (2.11), получаем уравнение неразрывности смеси в виде (2. 2) . а из условия, что вектор рп плотности потока смеси при конвективном переносе равен сумме векторов р1~)п1 1, й = 1,и, плотностей потоков отдельных веществ, найдем вектор средней скорости смеси 44 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНИИЙ Если же в смеси происходит превращение веществ за счет химических реакций или ионизацни, то для каждого й-го вещества этот процесс характеризуется скоростью тс, изменения . 1ь) массы этого вещества в единицу времени в единице объема, причем из условия сохранения массы смеси следует, что а тг —— О.

я=1 (2.14) В этом случае вместо (2.12) получим выражение, соответству- ющее закону сохранения массы )с-го вещества: — / 1 — +ХГ(р1 1е11)) Л'= / т Л'. деы, Г l др1ь1 „„'1 Г д1 /1,01 ) — / Отсюда приходим к локальной форме закона сохранения массы к-го вещества: д + 17(р1 "1е1 1) = т11 1, й = 1, о. д1 (2.15) д — + 1ур1 1е = т„, — '7.Г1 "1, /с = 1, и. (2.16) д1 Принимая во внимание (2.10) н (2.11), нетрудно установить, что сумма по й всех векторов Г1~1 равна нулевому вектору О.

Скорости отдельных веществ в смеси обычно неизвестны. По для описания диффузионного переноса )с-го вещества н Суммирование (2.15) по lс с учетом (2.10), (2.11) и (2.14) снова приведет к (2.2). Величина р1~)е является вектором плотности потока и-го вещества при конвективном переносе, определяемом движением смеси в целом, а величину Г1ь) = р00(еь — е) можно рассматривать как вектор плотности потока этого вещества при диффузионном переносе, вызванном отличием скорости к-го вещества от средней скорости смеси. Тогда (2.15) можно представить в виде 45 2.1.

Закон сохранении массы смеси можно использовать эмпирический закон Фика (см. 1.3). Обозначим объемную концентрацию )с-го вещества через С, т.е. С = р("). Тогда с учетом (1.11) вместо (2.16) получим + 17(Сц) = 1(7(К(~) ь7С) + Тг( ). (2.17) — — К(с)тузС + 7(с) а (2.18) Для нахождения объемной плотности С = С((,ж) в объеме Ув, ограниченном неподвижной поверхностью Яо, необходимо решить (2.18) при заданных краевых условиях. В эти условия должны войти функция Со(ж) = С(О,ж), задающая в У распределение С в момент времени, принимаемый за начальный, т.е. начальные условия, и граничные условия на Я. Если 7г не зависит от С или же зависит линейно, то (2.18) (с) является линейным уравнением параболического типа.

При — = О и линейной зависимости 7 от С из (2.18) следуют дС (с) д1 урцвнемме Гельлееольца", а если — = О и 7 не зависит дС (С) д1 от С, то — уравнение Пуассона"*, относящиеся к уравнениям эллиптического типа. Наконец при — = О и 7 = О имеем дС (с) де уравнение Лапласа. Подчеркнем, что все эти варианты уравнений следуют из локальной формы закона сохранения массы некоторого вещества в смеси. 'Г.Л.Ф. Гельмгбльц (1821 — 1894) — немецкий физик, математик, физиолог н психолог. "С.Д.

Пуассбн (1781 — 1840) — французский механик, физик н математик. Здесь К(~) — коэффициент диффузии данного вещества в смеси, который в общем случае может зависеть от С, времени и пространственных координат, а 71, — — тг . Если средняя (с) . (ь) скорость смеси равна нулю, т.е. ц = О, а К(С) не зависит от С и пространственных координат, то из (2.17) следует, что 40 г. злиоиы сохрлнкния а изичбсиих суистлнций 2.2. Дивергентнан форма уравнения неразрывности ~7(ре) = 0 (2.19) уравнения нервзрывноспаи. Используя выражение (1.9) для дифференциального оператора Гамильтона и представление в = в1е1+ вгег+ взез вектора скорости среды в координатной форме, где в; — проекция вектора в на ось Ох;, 1 = 1, 2, 3, а е;— единичный вектор, задающий направление этой оси, запишем (2.19) в координатной форме: д(Рв1) д(Риг) д(Рез) 0 (2,20) + + дх1 дхг дхз Рассмотрим произвольный объем $' Е Кз, ограниченный поверхностью 5 (рис.

2.1) и заполненный сплоткой средой. В окрестности каждой точки этого объема справедливо равенство (2.19). Интегрируя это равенство по объему к' и используя Пусть в каждой точке трехмерного пространства, определяемой радиус-вектором х в прямоугольной системе координат Ох|каха (см. рис. 1.1), плотность р(х) среды и вектор о(х) ее скорости не зависят от времени 1, т.е. процесс переноса массы является установившимся. Тогда — = 0 и из (2.2) получим так ве д1 называемую див ереентпную форму 47 2.2. Диваргентная форма уравнения неразрывности формулу Остпроградсиого — Гаусса, запишем (2.21) где и — единичный вектор внешней нормали к поверхности Я. Если в области У существуют такие точки, в которых функции р(х) и в(х) не имеют непрерывных производных по пространственным координатам или не являются непрерывными.

то в этих точках (2.19) не имеет смысла, а формула Остроградского — Гаусса не применима к области У в целом и первое равенство в (2.21) в общем случае теряет силу. Вместе с тем следует отметить, что если множество таких точек в У б К имеет меру Лсбега, равную нулю, в частности образует в У линию или поверхность, то значение интеграла по У в (2.21), равное нулю, остается неизменным. Пусть поверхность 5*, в точках которой функция ри не является непрерывной и которую называют поверхноспзь2о разрывп, делит область У на две подобласти У1 и 1"2 так, что У1 О У20 Я' = У и У1 О У2Г15' = И (см. рис.

2.1). Выясним, при каких условиях на поверхности Ь' сохраняет силу (2.21). Обозначим через 52 и 52 части поверхности 5 = 51 052, ограничивающие вместе с 5* объемы У1 и У2 соответственно. Предположим, что в У1 и У2 функция рн, которую обозначим р1н2 и рзе2 соответственно, непрерывно дифференцируема по пространственным координатам. Тогда к каждой из областей У1 и У2 можно применить формулу Остроградского — Гаусса и написать У1 48 г. 3АЕОны сОхРАнения Физических суБстАнций где и' — единичный вектор нормали к поверхности 5*, направленный в сторону области Уг.

Складывая почленно эти равенства и учитывая, что 5" является в У,инозиестеои точек объеме нуль, получаем р1 и1ппо+ ргигпб5+ р1 и1п' во + ргиг( — и*) п5 = 5~ н2 я 5' рипг1Б+ (р1и1 — ргиг)п' с15 = — ~7(р1и1) с5'+ ~7(ргиг) бК = ту(ри) бУ = О. Ъ'! Уг Следовательно, (2.21) как интегральная форма закона сохране- ния массы остается в силе при условии (р|и1 — ргиг)п' ~Б = О. (2.22) Р|и1п = Ргигп на о*, (2.23) где р„и" и р', и' — пределы функций р(ж) и и(и) при стремлении к точке М б 5* точек М1 б 1'1 и Мг б Уг соответственно. Следовательно, (2.23) устанавливает условия в точках на поверхности разрыва, не противоречащие закону сохранения массы.

Таким образом, векторная функция ри может не быть непрерывной в точках поверхности 5*, но должна сохранять непрерывность проекции на нормаль и при переходе через эту поверхность. При этом допустйм разрыв проекции этой функции на плоскость, касательную к 5* в точках разрыва. Пусть У является окрестностью некоторой точки М 6 5' с радиус-вектором и(М') (см. рис. 2.1). Стягивая У к точке М', из (2.22) получаем, что 2.2.

Дивергеитнав форма уравнения неразрывности 49 др д(рн1) д(роз) д(роз) д1 дх1 дхз дхз (2.24) Наличие в левой части (2.24) четырех частных производных позволяет придать ей компактную форму, которую удобно использовать в дальнейшем при рассмотрении ряда вопросов. В четырехмерном евклидовом арифметическом пространстве Еа с ортонормированным базисом е = (е„ем ею ез) определим вектор т = р(ивес+ н1е1+ нзез+ изез) = р(иое, +н), (225) где во — произвольная константа, имеющая размерность скорости (эту константу можно принять равной 1 м/с), и введем Отметим, что это свойство любого соленоидального векторного поля, дивергенция которого равна нулю.