XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 4

В изотропной среде, свойства которой одинаковы во всех направлениях, диффузионный перенос физической субстанции, вызванный неравномерным пространственным распределением скалярной величины С, происходит в направлении убывания объемной плотности, т.е. в направлении, противоположном направлению градиента %~С скалярного поля, задаваемого в пространстве в текущий момент времени 1 функцией С = С(1,М). При построении математических моделей в математической физике широко используют эмпирический закон диффузионного переноса 1 ) = -К)с) 7С, где у ) — вектор плотности потока физической субстанции )с прн диффузионном переносе; К)с) — эмпирический коэффициент диффузионного переноса этой субстанции. Функцию С = = С(1, ж) обычно предполагают непрерывно дифференцируемой необходимое число раз по всем ее аргументам. Она выполняет роль понзенциальиой функции по отношению к векторному полю плотности потока этой субстанции при ее диффузионном переносе.

Например, функция С = С(1, М) может задавать распределение в среде объемной плотности некоторого вещества (примеси в жидкости или газе, ионов в плазме, легирующего элемента в сплаве). В этом случае К)с) называют коэффициентом диффузии данного вещества в этой среде, а (1.11) выражает известный в физике закон Фика .

Интенсивность диффузионного переноса физической субстанции не всегда связывают с градиентом скалярного поля объемной плотности этой субстанции. Так, в математических 'А.Э. Фик (1829-1901) — немецкий физик. 28 1. ОСНОВНЫЕ ФИЭИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ моделях процесса распространения в среде теплоты как одной из форм энергии в качестве потенциальной функции вместо с используют функцию Т = Т(1,М) распределения в пространстве в текущий момент времени 1 температуры, характеризующей при определенных условиях объемную плотность тепловой энергии среды. Это приводит к установленному французским математиком и физиком Ж.Б.Ж.

Фурье (1768-1830) эмпирическому закону теплопроводности 1ХП1 (1.12) где д — вектор плотности теплового потока, Л вЂ” теплопроводность среды. Линейную связь вектора плотности потока физической субстанции с градиентом некоторой потенциальной функции используют и в тех случаях, когда нервно~ этой субстанции происходит путем движения микрочастиц под действием внешнего поля, Так, под действием электростатического поля, описываемого потенциальной функцией Г = ЦМ) электрического напряжения, в электропроводящей среде возникает электрический ток, вектор плотности которого равен уце) = — от, (1.13) где а — электрическая проводимость среды.

Если ввести вектор Е = — 170 напряженности электростатического поля, то из (1.13) получим уравнение уце) =аЕ, (1.14) обобщающее закон Ома на случай сплошной среды (модули векторов у1'1 и Е измеряют в А/мз и В/м соответственно). При неравномерном распределении давления, заданном функцией р = р(1,М), через пористую среду может просачиваться 'Г.С. Ом (1787- 1854) — немецкий физик. 1.3. Перенос физических субстанций жидкость нлн газ. Тогда вектор скорости частиц жидкости нлн газа подчиняется закону Дарсн' (1.15) в = -хсх7р, (1.16) где К( ) — коэффициент пропорциональности.

Если среда аннф) зотропна, т.е. ее свойства раэлнчны в различных направленнях, то вместо (1.16) нспользуют соотношения з у =-~К" —, г=1,2,3, .(с) ч — ~ .(Ф) дФ дх ги1 1 (1.17) 'А. Дарси (1803-1858) — французский инженер. где хс — козффнцнент фильтрации. Потенциальная функция в соотношении (1.11) может завнсеть от пространственных распределений нескольких фнзнческнх величин. Например, для многокомпонентной смеси хнмнчески реагирующих веществ диффузионный перенос фнзнческнх субстанций связан с выравниванием неравномерного пространственного распределення так называемого химического потенциала, который зависит от концентрации зтнх веществ, температуры и давления.

В этом случае вектор плотностн потока конкретной субстанции будет линейной комбинацией векторов, коллннеарных градиентам концентрации, температуры и давления соответственно. Тогда говорят о концентрационной диффузии субстанции, ее термо- и бароднффузнн. Не эатрагнвзл особенностей различных процессов днффузнонного переноса, ограничимся лишь констатацией того, что в большинстве случаев вектор у(С) плотности потока конкретной физической субстанции можно считать линейно завнсящнм от градиента некоторой потенциальной функции Ф(1,М), которая не всегда совпадает с объемной плотностью С этой субстанции.

Эту зависимость можно записать в общей форме зо Е ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ где), — проекции вектора у( ) на координатные оси Ох; пря- .(С) (С) моугольной системы координат Ох1хзхз, Кн — конпонентпы (в) тензора второго ранга коэффициентов переноса конкретной субстанции. Представленные соотношения характерны для диффузионного переноса субстанций, объемная плотность которых является скалярной величиной.

Объемные плотности количества движения и момента количества движения являются векторными величинами, что усложняет выражения для плотностей потоков этих субстанций при диффузионном переносе. Дополнение 1.1. Некоторые формулы векторного анализа При постановке задач математической физики и преобразовании описывающих их уравнений часто приходится использовать формулы векторного анализа, в том числе формулу Остроградского — Гаусса. Напомним, что она связывает между собой интеграл по пространственной области $' С К~ от дивергенция векторного поля, задаваемого векторной функцией и(М), М Е 1", и интеграл по ограничивающей Ъ' кусочно гладкой поверхности Я от проекции н„(Р) = м(Р)п.(Р) вектора и(Р) на направление единичного вектора п.(Р) внешней нормали к о' в точке Р б 5: 17ид$'= н„д5= ип~Б.

(1.18) Прн этом полагают, что векторная функция и(х) непрерывно дифференцируема на замыкании Р' = 'г'05 области Р' по всем координатам х;, 1 = 1, 2, 3, радиус-вектора ж б Из, определяющего положение точки пространства относительно прямоугольной системы координат Ох1хзхз (см. рис. 1.1). Отметим, что поверхностный интеграл в (1.18) берется по всем участкам поверхности Н, ограничивающей область Р'. Ясно, что в Д.1.1. Некоторые формулы векторного анвлнэо З1 ТЛ= где ~7 — дифференциальный оператор Ф = ~ме; —.

д дх; (1.19) Здесь е; — ор~вы ортонормированного базиса в К . Позтому в любой точке Р Е дй границы дй существует единичный вектор ТЛ (1.20) внешней нормали к дй, если знак функции 1 выбрать так, что- бы было 1 ( О для точек, принадлежащих области Й. Поскольку частные производные функции ~ непрерывны, то направляю- щие косинусы 1 ду — — 1= 1>™, ~~7у~ дх; вектора й(Р) относительно ортов е; также непрерывно зависят от координат х;(Р), г'= 1, тв, точки Р Е дй.

двумерном случае Ъ' соответствует плоской области (не обязательно одиосвяэной), ограниченной замкнутыми плоскими кривыми (контурами), составляющими ее границу 5. М.В, Остроградский в 1834 году получил формулу (1.18) для произвольного многомерного случал. Пусть ограниченная область Й С К имеет границу дй, заданную уравнением г'(М) = О, М Е Й, причем функция г' непрерывно дифференцируема по координатам х;(М), 1= 1,т, точки М. При зтом частные производные — не обращаются одновременно в нуль ду дх, ни в одной точке на дй, т.е.

32 Ь ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ Представим интеграл по области й от непрерывнои на ее замыкании й = й1Здй действительной функции ю(М), М б Й, в виде т-кратного интеграла: юпй = юпх1пхэ...йх (1.21) Если область й в К™ является прямоугольным параллелепипедом, т.е.

х, Е (а;, 6;), 1= 1, т, то интеграл в (1.21) можно найти последовательным вычислением определенных интегралов: ь, ь, 6, Г юНЙ= Ых1 Нхз ... ю(хмхз,".,х~~)их~. и ~1 ~2 йп В более общем случае предположим, что точки, принадлежащие области й С К, образуют в линейном пространстве К"' выпуклое подмколеество, т.е. при произвольно выбранных двух точках М', М" Е Й с координатами х;(М") и х;(М"), 1= = 1, т, соответственно точка М с координатами х;(М) = ох;(М')+ (1 — а)х;(Мо), 1= 1, т, о Е [0,1), также принадлежит замыканию Й области Й и для этой точки ~(М) < О при любых о Е [О, 1).

Геометрически это означает, что прямая, параллельная, например, орту е,„ и проходящая через любую точку М Е й, пересечет границу дй не более чем в двух точках М, М Е дй (рис. 1.3). Инымн словами, если координаты х1, хз, ..., х 1 фиксированы, то при движении точки М Е Й по этой прямой координата х,„пробегает интервал (х'„„х" ), где х',„= ~„(хмхз,...,х 1) и х'„', = У*(хыхл,...|х„, 1). Ясно, что подстановка х',„и х" вместо х в уравнение 1(х) = О границы дй обращает его в 33 Д.