XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 10

В Ьримере 2.5 плоскость л1 — — О, разделяющая слои двухслойной пластины, неподвижна. Поэтому при отсутствии в этой плоскости источников тепловой энергии равенство (2.66) в случае установившегося процесса теплопроводности и второе равенство при л1 —— 0 в (2.68) в случае нестационарного процесса соответствуют условию (2.72) при 1 ~~ = О. Если же в нестационарном процессе теплопроводности пренебречь термическим сопротивлением второго слоя пластины и учитывать лишь его теплоемкость, то это равносильно появлению в плоскости х1 — — 0 источника тепловой энергии с поверхностной интенсивностью = — Ьэсэ —. В этом случае граничное условие (2.69) также (ч) д7) де соответствует (2.72), если учесть, что д„= — а(Т, — Т1) перед переходом через плоскость х1 = 0 в направлении, противоположном положительному направлению оси Ох1.

Пусть плоскость х1 — — х" фазового перехода, в которой при фиксированной температуре Т' = сопя), происходит изменение агрегатного состояния среды, имеет в момент времени 1 скорость и (см. пример 2.6). В этой плоскости при и') 0 происходит скачок [ет) = рг объемной плотности тепловой энергии ег, что в соответствии с (2.71) при 1 = 0 связано со скачком И)— [д„) плотности теплового потока, учитываемым условием (2.70). В сопуглсгпвующей системе координат, движущейся вместе с плоскостью фазового перехода, трактовка условия (2.71) будет иной.

Теперь относительно системы координат, движущейся г. злконы сохрлниния физических суьстлнций вместе с этой плоскостью, не происходит затрат тепловой энер- гии на изменение значения ст, но в этой плоскости действует источник тепловой энергии с поверхностной интенсивностью — ргс', что также приводит к (2.70). 2.4. Закон сохранения количества движения Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения количества движения любого тела равна сумме всех сил, действующих на это тело.

Для сплоюиой среды, находящейся в объеме У, ее количество движения в соответствии с (1.5) равно .У = рв~(У, (2.73) где р и е — плотпосгпь и вектор скорости среды. Действующие на среду силы распределены по ее объему и ограничивающей его поверхности, Такие силы называют соответственно объемными и поверхностными. Примером объемной силы является сила тяжести, а поверхностной — сила давления. Объемные силы будем характеризовать вектором объемной плотности Я Ь= ))щ —, я.

аЛУ' (2,74) где Я вЂ” вектор равнодействующей сил, распределенных по объему ЬУ среды, а в' — диаметр области, занятый этим объемом. Аналогично вектором плотности поверхностных сил будет предел Р р=!!щ —, и-~о ЬЯ' (2.75) где Р— вектор равнодействующей сил, распределенных по участку с!.э' поверхности о', ограничивающей рассматриваемый объем У среды, а в' — диаметр области, соответствующий этому участку поверхности.

Модули векторов Ь и р измеряют в Н/мз и Н/м~ (или в Па — паскалях) соответственно. 73 НА. Закон сохранение количества движение Пример 2.7. Если среда находится в однородном поле тяготения, характеризуемом вектором д ускорения свободного падения,то на массу Ьти в объеме ЬУ будет действовать сила тяжести И = дат. Тогда, согласно (1.1) и (2.74), найдем дат . Ьт 6 = 11ш — = д 1пп — = од. а -+о ЬУ аи-+о ЬУ При действии на плоский участок поверхности ЬЯ внешнего давления р равнодействующая будет равна Р = — рЬЯта, где та — единичный вектор нормали к участку Ь:э', внешней по отношению к объему, занятому средой.

В этом случае из (2.75) следует, что — рЬЯта р= 1~и ал-+о Ьо Можно показать, что и в случае произвольной криволинейной поверхности при действии внешнего давления вектор плотности поверхностных сил в точке поверхности с единичным вектором внешней нормали те будет равен — реа. 41 Равнодействующие сил, распределенных по объему У и ограничивающей его поверхности о, будут соответственно 6п'У и рп5, поскольку силы, действующие между отдельными частями среды внутри объема У, взаимно уравновешены.

Тогда, согласно второму закону Ньютона и равенству (2.73), получим интегральную форму закона сохранения количества движения — „и (У= 6а + ры. (2.76) Ясно, что если в некоторых точках объема У и поверхности 5 приложены сосредоточенные силы, то в правую часть (2.76) должна войти также и равнодействующая таких сил.

74 г, ЗЛКОНЫ СОХРлНННИЯ ОИЗИЧНСКИХ СУНСтЛНЦИй Заменяя в (2.6) С на проекцию гн вектора в на ось Ох;, 1 = 1, 2, 3, прямоугольной системы координат Ох1 хгхз с ортами е;, имеем — ре ИУ= р — ИК У У Поскольку е = сче1+ егег+ езез, то так что вместо (2.76) для произвольного объема $', ограничен- ного поверхностью э', можно написать (2.77) Понятие плотности поверхностных сил применимо к любой точке М Е Г объема Ъ' среды, если в этой точке задать единичный вектор п, и провести через нее перпендикулярно этому вектору элементарную площадку ЬЯ. В этом случае вектор р, определяемый согласно (2.75), принято называть вектором «варлаееми,в.

При этом сила рсъэ' будет действовать со стороны части среды на ту ее часть, для которой вектор п является внешней нормалью к площадке Ь5. Ясно, что вектор р в фиксированной точке среды зависит от ориентации площадки ЬЯ, задаваемой единичным вектором и = п1е1+ пгег+ пзез с направляющими косинусами пы пг, вз относительно координатных осей Охм Охг, Охз соответственно (рис. 2.11). Рассмотрим пирамиду с треугольным основанием съ.э', боковые грани которой параллельны координатным плоскостям. Объем такой пирамиды равен ЬЪ' = Ьсх5/3, где Ь вЂ” высота, опущенная из вершины пирамиды на основание Ь5 в точку М Е Ьо, а площади боковых граней, перпендикулярных координатным осям, равны соответственно б 5г = Ь~пг, Ь$з = Ь~вз. Ь51 — — Лавы 75 2.4.

Закон сохранения количества движения х1 Рис. 2.11 Применяя теоремы о среднем значении для тройного и двойного интегралов к интегралам по объему ЬЪ' и ограничивающей его поверхности 1УП)„в соответствии с (2.77) имеем до ЬЬо 6Ь5 р — — — Ь вЂ” = РЬ5+ Р1 ЬЯн1 + Р2Ь5нз+ РзЬ~нз, Й 3 3 Р+Р1н1+Рзнз+Рзнз = О. (2.78) Равенство 12.78) должно быть выполнено для любой площадки, проходящей через любую точку в объеме Ь' или на ограничивающей его поверхности о'. Рассмотрим квадратную матрицу (о; ) третьего порядка с такими ее злементами о;,, 1,,2 = 1,2,3, что — Р1 — — о11е1+ о12е2+ о1зез, Р2 о21е1+ о22е2+ оззез — рз = оз1е1+ оззе2+ оззез (2.79) где Р1, р2, рз — векторы напряжений на боковых гранях пирамиды, перпендикулярных соответствующим координатным осям (чертой сверху обозначены средние значения параметров в объеме и на соответствующих участках поверхности). Сокращая это равенство на Ьо' и затем стягивая объем пирамиды в точку М так, что при 6-+ О пирамида, сохраняя ориентацию относительно координатных осей, остается подобной сама себе, получаем 78 г.

ЗЛКОНЫ СОХРЛНИНИЯ ОИЗИЧНСКИХ СУВСтЛНЦИй Тогда для проекций вектора р = р1е1+Ргег + рзез на коорди- натные оси, согласно (2.78), имеем Р1 п1оы + пгог1 + Йз(731 Ра = н1огг+ кгогг+ нзозг, Рз = п1 о13 + пгогз + пзозз. (2.80) Эти соотношения, устанавливающие линейную зависимость проекций вектора напряжения в площадке от проекций вектора нормали к этой площадке, составляют содержание фукдамекгпалькоб леммы Хоши. Матрица (о,ч) = (о; ) преобразует проекции и,, г = 1, 2,3, вектора и в проекции р,, 1= 1, 2, 3, вектора р в соответствии с соотношениями (2.80), которые можно записать в виде з р;=~~ к о";, 1=1,2,3, или, используя правило суммирования слагаемых по повторяю- щимся индексам (здесь по индексу З), в виде р, = аз о,;, 1, г = 1, 2, 3. (2.81) Известно (1Ч], что такая матрица соответствует гнензору второго ранга.

В данном случае его называют гпекзором капрлжекиб. Иэ (2.81) видно, что элемент о;; матрицы (о;;)— компонента тензора напряжений — является проекцией на координатную ось Ох, вектора р напряжения в площадке, единичный вектор внешней нормали к которой совпадает с ортом ег, т.е. аз = 1. Диагональные элементы оы, огг, озз этой матрицы называют корлмьяькыми капрлэмекклми, а внедиагональные — кнснтпелькььми к площадке, причем первый индекс элемента и; указывает на отмеченную выше ориентацию площадки. Если и, > О, то считают, что соответствующее напряжение действует в положительном направлении оси Ох,, 2.4.

Закон сохранения количества движения 77 1= 1,2,3, а при о1ч ( Π— в противоположном. На рис. 2.12 показаны направления действия нормальных и касательных напряжений для случая и; > О, е, 4 = 1, 2, 3. Рис. 2.12 Из (2.80) следует, что р; = (оыел + озез+ азез)п = р81ла, 1 = 1, 2, 3, (282) т.е. р; является проекцией вектора р1'1 = оме1+ оз;ел+ озлез (2.83) на направление единичного вектора лл нормали. Поскольку (2.82) верно и для точек на поверхности Я, ограничивающей объем Ъ', занятый средой, то (2.77) можно записать в проекциях на координатные оси в виде л пп, ~р — ' — Ь;) й~ = ~ р; лБ = ~ рб1 и ейБ, л' = 1, 2, 3, о1 где гп и Ь; — проекции векторов о и Ь на координатные оси Ох;, л = 1, 2,3.

Отсюда, используя формулу Ослпроградского— Гаусса, находим (р — ' — Ь; — ~7р1О) ИР' = О, л = 1, 2, 3. (2.84) ну~ 78 а элкОны сОхРАНЕНИЯ Фиэических суБстАНцИЙ В прямоугольной системе координат с учетом правила суммирования по повторяющимся яндексам ~рб1= — '+ — '+ — '= —, .у =1,2,3. дом доз; доз' до„ дх1 дхз дхз дх1 р — — Ь; — — з' = О, г,у =1,2,3, (2.85) Й>, до;; дх,. называемую уравкеннл.нн двнженил.

В векторной форме (2.84) и (2.85) с учетом правила суммирования по повторяющимся индексам г', 1 = 1, 2, 3 примут вид Г х Н~ дад ч Но до;; (р — — Ь вЂ” — "е;| Н'= О, р — — Ь вЂ” — з*е; = О. (2.86) й дх; '| ' й дх, Если среда неподвижна, то (2.85) переходят в уравнена,в равновесна — "е, + Ь = О, в', у = 1, 2, 3. (2.87) дх1 да; — з+Ь;=О, или дх; При этом (2.84) принимает вид (2.88) Отметим, что (2.88) сохраняет силу и в случае, если множество точек в Ъ" е якз, в которых векторная функция рбй не имеет непрерывных производных по координатам радиус-вектора х или даже не является непрерывной, имеет меру Лебееа, равную нулю. Если множество таких точек образует некоторую Тогда в случае непрерывности подынтегральной функции в (2.84), учитывая произвольность рассматриваемого объема У, получаем локальную форму закона сохранения количества дви- жения в проекциях на координатные оси 2.4.