VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 4

Б(т) < я(т) < Б(т). (1.9) 2. Если разбиение Т' в Р является измельчением разбиения Т, то суммы Дарбу двух разбиений связаны неравенствами я(т) < я(т') < Б(т') < я(т), (1.10) т.е. при измельчении разбиения верхняя сумма Дарбу не возрастает, а нижняя не убывает. 3. Для любых двух разбиений Т' и Тв в Р верны неравенства я(тв) <Б(т'), Б(т') <я(тв), (1.11) т.е. для данной функции 1'(х,у) любая верхняя сумма Дарбу не меньше любой нижней суммы Дарбу.

Из последнего свойства сумм Дарбу следует, что множество всех нижних сумм для данной функции ограничено сверху (например, любой верхней суммой), а множество всех верхних сумм ограничено снизу (например, любой нижней суммой). Поэтому множество всех верхних сумм Дарбу данной функции имеет точную нижнюю грань 1*, а множество всех нижних сумм Дарбу — точную верхнюю грань 1,. Обозначив через В частности, для любого разбиения Т интегральная сумма Б(Т) при любом выборе точек ф;0;) в частичных областях удовлетворяет неравенствам 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 26 Т множество всех разбиений в Р, можем записать 1, = епр Я(Т), 1" = тп1 Я(Т).

тет гет (1.12) Отметим, что для любого разбиения Т Я(Т) < 1„< 1* < 3(Т). Как и в случае действительной функции одного действительного переменного, числа 1, и 1* называют соответственно нижним и верхним интпеералами Дарбу от функции 1(х,у) в Р. Рассмотренные свойства сумм Дарбу позволяют установить необходимые и достаточные условия интегрируемости функции 1(х,у) в замкнутой области Р, аналогичные условиям существования определенного интеграла, т.е. справедливы следующие теоремы. Теорема 1.3.

Для того чтобы ограниченная в квадрируемой замкнутой области Р функция 1(х,у) была интегрируема в .Р, необходимо и достаточно, чтобы в Р совпадали ее нижний 1, и верхний 1* интегралы Дарбу, т.е. (1.13) 1пп ~) щЬЯт = О, а(т). 0 1 (1.14) где ат; = Мт — тп;, т = 1, и, — колебания 4ункнии У(х, у) в частич- ных областях Р; разбиения Т, а ЬЯт — площади частичных областей. Теорема 1.4 (критперий сутцестпвования двойного интпеграяо).

Для того чтобы ограниченная в квадрируемой замкнутой области Р функция 1(х,у) была интегрируема в Р, Следствие 1.1. Для того чтобы ограниченная в квадрируемой замкнутой области Р функция У(х,у) была интегрируема в Р, необходимо и достаточно, чтобы 27 1.4. Классъг ллтегрируемых функций необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось та- кое разбиение Т в Р, что Я(Т) — Я(Т) < е. (1.15) Следствие 1.2. Для того чтобы ограниченная в квадрируемой замкнутой области Р функция 1 (х, у) была интегрируема в Р, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось такое разбиение Т в Р, что ~ю;ЬЯ; < е.

(1.16) 1.4. Классы интегрируемых функций При помощи сформулированных выше условий существования двойного интеграла (см. 1.3) можно выделить некоторые классы интаеерируемых функииб, имеющие важное значение в прикладных задачах. Теорема 1,5. Всякая непрерывная в кеадрирусмой замкнутвоб областаи Р С Жз функция 1(х,у) интегрируема в Р.

~~т ы;ЬЯ; < — ~ЛЯ; =е, 1=1 1=1 где ЬЯ1 — площадь частичной области В;. Согласно следствию 1.2, функция 1(х,у) интегрируема в Р. ~ ~ Поскольку замкнутая ограниченная область Р является компактном, а функция 1 (х, у) непрерывна в Р, то она ограничена и равномерно непрерывна в .В (1-5.9). Поэтому для любого числа е > О существует такое число б(е) > О, что для любого разбиения Т = (Р1, ..., Р„) с диаметром д(Т) < б(е) колебание ш,. функции У(х, у) в каждой частичной области В; удовлетворяет неравенству ин < е/Я, ь'= 1, н, где Я вЂ” площадь Р. Для каждого такого разбиения имеем 2.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Приведем без доказательства две теоремы, имеющие важное значение при решении задач. Теорема 1.6. Если функция ~(х,р) ограничена в квадрируемой замкнутой области Р и непрерывна в .0 всюду, кроме точек некоторого множесшва площади куль, то эта функция интегрируема в .О. Теорема 1.7. Если ограниченные в квадрируемой замкнутой области .0 функции ~(х,у) и д(х,у) отличаются друг от друга только на некотором множестве площади нуль, то интегрируемость в Р одной из них равносильна интегрируемости другой, причем ~(х, у) о,Б = д(х, у) ЙБ.;ф Последняя теорема утверждает, что существование и значение двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией на множестве площади нуль.

Таким множеством может быть, например, конечное множество спрямляемых кривых. Поскольку граница квадрируемой замкнутой области имеет площадь нуль (см. теорему 1.1), то существование и значение интеграла не зависят от значений функции на границе области интегрирования. Интегрируемые функции двух переменных, как и интегрируемые функции одного переменного, обладают следующими СВОИС'.РВЬМИ. 1. Если функции ~(х,у) и д(х,р) интегрируемы в Р, то их произведение Дх,у) д(х,у) также интегрируемо в Р. 2.

Если функция д(х,у) интегрируема в .0 и удовлетворяет в Р неравенству ~д(х,у) ~ > с > О, то функция 1/д(х, у) также интегрируемав .О. 3. Если функции ~(х,у) и д(х,р) интегрируемы в Р и ~д(х,у)~ > с > О в Р, то функция ' интегрируема в Р. Л~ Р) дх,у 1.5. С~О~с~~~й ~~ОЙя0~0 ~~~~~'Р~~й 1.5. Свойства двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Через Р обозначим плоскую квадрируемую замкнутую область. 1'.

Если Р имеет площадь Б, то существует двойной инте- ~ Действительно, в данном случае подынтегральная функция постоянна в Р: ~(х,у) = 1. Поэтому при любом разбиении Т = замкн тои о ласти на частичные о ласти с площадями ЬБ; и произвольном выборе точек ®;щ) ~= Р; в силу определения двойного интеграла имеем ~ЬИу= 1пп 1 ЬБ,=Б, и(т)-+о ., где о,(Т) — диаметр разбиения Т.

ь 2'. Если функции ~(х, у) и д(х, у) интегрируемы в Р, то их линейная комбинация аДх,у) +,Вд(х,у), где а,,В Е К вЂ” произвольные константы, также интегрируема в Р, причем (а1(х,у)+й(х,у)) дБ= = а Дх,у) ЙБ+ ~3 д(х, у) сБ. (1.17) ~ Если Т вЂ” произвольное разбиение замкнутой области Р на частичные области Р;, з = 1, в, с площадями ЛБ; при произвольном выборе точек ©ц;) Е Р;, то интегральная сумма для ЗО 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ рассматриваемой линейной комбинации функций имеет вид В силу интегрируемости функций у(х,у) и д(х,у) в Р интегральные суммы в правой части этого равенства имеют конечные пределы при стремлении к нулю диаметра Й(Т) разбиения Т.

Но тогда существует конечный предел при а(Т) -+ О и левой части этого равенства, что означает интегрируемость рассматриваемой линейной комбинации функций. Переходя в обеих частях этого равенства к пределу при й(Т) -+ О, приходим к (1.17). > Свойство 2' называют ламейноспзью двойного июиеграда. Ясно, что это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций в линейной комбинации. 3'. Если функция 1 (х, у) интегрируема в Р, то она интегрируема и в любой квадрируемой замкнутой подобласти Р' С Р, а также в замкнутой области Р" = Р 1 Р', причем Г у(х,у)оо = 1(х,у)аБ+ 1(х,у)аЯ.

(1.18) В 1У Вю ~ Рассмотрим произвольные разбиения Т' и Т" замкнутых областей Р' и Р". Частичные области разбиения Т' обозначим л через Р1, Рз, ..., Ры а частичные области разбиения Т через Рь.~1, Рь+з, ..., Р„, й ( и. Объединяя разбиения Т' и Т", получим разбиение Т = (Р1, ..., Р„) замкнутой области Р. При этом диаметры д(Т'), д(Т") и й(Т) трех разбиений связаны соотношением а(Т) = шах1о(Т"), а(Т') ). 1.о. Свойства двойного интеграла Так как функция Дх,у) интегрируема в Р, то, согласно следствию 1.1, для произвольного числа е > 0 существует такое число о > О, что для любого разбиения Т = (Р1, ..., Р,Д замкнутой области Р, имеющего диаметр с1(Т) < б, верно нера- венство вовЬБ1 < е, в=1 (1.19) где все — колебание функции в частичной области Р,, а ЬБ1— площадь Р,.

Выберем в Р' и Рн произвольные разбиения Т' и Тв с диаметрами меньше о и построим, как описано выше, объединенное разбиение Т. Тогда в1(Т) < й, и поэтому для данного разбиения верно неравенство (1.19). Но так как во;ЬБ;+ ~ во; авБ1 = ~~в вовЬБвз в=1 ~У(6,в11)ЬБ1 = ~~) У®,ц,)ЬБ;+ ~~в ~(6,ц;)ЬБв. (1.20) в=а+1 в=1 Мы видим, что интегральная сумма Б(Т) распадается на две интегральные суммы Б(Т') и Б(Тв). Если диаметры разбиений Т' и Т" стремятся к нулю, то и диаметр разбиения Т стремится к нулю. При этом интегральные суммы в равенстве (1.20) стремятся к соответствующим двойным интегралам, и мы приходим к равенству (1.18).

~ а две суммы в левой части равенства неотрицательвы, то каждая из них будет меньше е. Согласно следствию 1.2, функция Дх,у) интегрируема в Рв и Р". Тем самым доказана первая часть утверждения. Выберем произвольные разбиения Т'= (Р1, ..., Рь) и Тв = = (Рье1, ..., Р„) замкнутых областей Р' и Рвв. Тогда интегральную сумму функции ~(х, у) в соответствующую разбиению Т = Т' в вТ", можно представить в виде 1.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 32 Свойство 3' называют аддитпиеноспзью деобноио иитиеграла. Из него, в частности, следует, что если область интегрирования Р разделена на конечное число квадрируемых замкнутых подобластей Р1, ..., Ры не имеющих общих внутренних точек, то из интегрируемости функции в Р вытекает ее интегрируемость в каждой частичной области Р . При этом двойной интеграл по замкнутой области Р равен сумме двойных интегралов по всем частичным областям Р .

Замечание 1.2. Свойство интегрируемости функции сохраняется не только при переходе от области интегрирования к ее подобласти, но и при объединении областей интегрирования. Другими словами, если функция 1 (х, у) интегрируема в замкнутых областях Р1 и Рз, то она интегрируема и в их объединении Р = Р1 0 Рг. В самом деле, пересечение Р1 П Р2 является квадрируемой замкнутой областью. Поэтому, согласно свойству 3', функция 1(х,у), интегрируемая в Р1, интегрируема и в замкнутой области Р1 '1 Рз. Мы можем считать, что замкнутые области Р1 и Рз не имеют общих внутренних точек, так как иначе в представлении Р = Р1 0 Рз мы можем Р1 заменить на Р1 ~ Рз.

Но если Р1 и Р2 не имеют общих внутренних точек, то разбиение замкнутой области Р = Р1 0 Рз можно строить так же, как и в доказательстве свойства 3', т.е. объединением разбиений замкнутых областей Р1 и Р1. Используя следствия 1.1 и 1.2, нетрудно показать, что из интегрируемости в Р1 и Рг следует интегрируемость в Р. 4'.