VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 3

Для каждой точки М;, 1 = 1, и, построим квадрат Р; с центром в этой точке и стороной а = 21/и (рис. 1.2). Любая точка на дуге М; 1М; кривой Г удалена от точки М; на расстояние не более чем 1/и, поскольку 1/и — длина этой дуги. Значит, все точки дуги М; 1М, попадают в квадрат Р;, так как этот квадрат включает в себя круг с центром в точке М; Р Р„ 1 Рис. 1.2 19 1.2.

Определение двойного явтеграва в радиуса а/2 = 1/и. Объединение О Р; всех квадратов Р, пред1=1 ставляет собой многоугольную фигуру, целиком содержащую кривую Г. При этом площадь фигуры не превосходит суммы площадей составляющих ее квадратов, равной Так как количество и дуг, на которые разделена кривая Г, может быть сколь угодно большим, заключаем, что кривую Г можно целиком включить в плоскую фигуру сколь угодно малой площади. Поэтому площадь кривой Г равна нулю. ~ь Из доказанной леммы и теоремы 1.1 следует, что всякая плоская замкнутая область, ограниченны одной или несколькими спрямляемыми кривыми, квадрируема. В частности, если замкнутая область ограничена, а ее граница состоит из конечного числа кривых, которые в заданной системе координат Оху описываются уравнениями вида у = /(х) или х = д(д) с помощью непрерывно дифференцируемых функций, то эта область квадрируема.

Отметим без доказательства основные свойства площади. 1. Неотприиатпельностпь площади. Площадь Я любой квадрируемой замкнутой области Р неотрицательна, т.е. Я ) 0; 2. Монотпонностпь площади. Если Р1 и Рз — две квадрируемые замкнутые области (рис. 1.3, а) с площадями Я1 и Я2 соответственно и Р1 С .Рз, то 81 < Яз. 3. Аддитпивностпь площади. Пусть Р1 и Рз — две квадрируемые замкнутые области без общих внутренних точек (рис. 1.3,б) с площадями Я1 и Яз соответственно. Тогда их объединение Р = Рт 0 Рз квадрируемо и имеет площадь Я = = о1+ ~2 4. Инвариантпностпь площади. Если замкнутые области Р1 и Рз конгруэнтны (рис.

1.3, е), т.е. могут быть полностью совмещены движением в плоскости, то их площади равны. 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 20 Рис. 1.3 5. Общая часть Р = Р1 П Рэ двух квадрируемых замкнутых областей Р1 и Рз (рис. 1.3, г) является квадрируемой. В дальнейшем мы будем рассматривать только квадрируемые замкнутые области, которые, как правило, будем обозначать символом Р. Условие квадрируемости предполагает, что рассматриваемая замкнутая область ограничена, так как площадь определена только для ограниченных областей.

Разбиением Т квадрируемой замкнутой области Р называют конечное множество Т = (Р1, ..., Р„) квадрируемых замкнутых областей Р; (часп1ичмыж обласшей разбиения), которые обладают следующими свойствами: 1) никакие две частичные области не имеют общих внутренних точек, т.е. !п$ Р; МпС Р = Я, 1 ф 1; 2) объединение частичных областей составляет замкнутую и область Р, т.е. Р = 0 11;. и=1 Наибольший из диаметров частичных областей разбиения Т называют диаметпром д(Т) этого разбиения. Таким образом, если Т = (Р1, ..., Р„), то Й(Т) = шах с4, где 4 — диаметр частичной области Р,.

21 К2. Определение двойного интеграла В силу свойства аддитивности площадь Я квадрируемой замкнутой области Р равна сумме площадей ЬБ; частичных областей любого разбиения Р, т.е. Пусть в некоторой квадрируемой замкнутой области Р на плоскости хОу определена ограниченная действительная функция 1(х,у). Выберем некоторое разбиение Т = (Рм ..., Ро1 замкнутой области Р и составим сумму Б(Т) =Ят,у)1аБ, (1.5) Хее Цх у) ахну= 1(х у) МБ, а Р называют областью интегрированил. где ф;ц;) — выбранная произвольным образом точка в частичной области Р;, а ЬБ; — площадь .Р,.

Сумму Б(Т) вида (1.5) назовем интегральной суммой функции 1(х,у) в замкнутой области Р. Эта сумма определена разбиением Т и выбором точек (6'%) у( ) ывают интегрируелаоо Фу~ ~ Р, если существует конечный предел 1 ее интегральных сумм Б(Т), не зависящий от выбора разбиения и точек ф;щ) в частичных областях, т.е. для любого числа е > О существует такое число о = о(е) > О, что для любого разбиения Т = (Р1, ..., Р„1 замкнутой области Р с диаметром Ы(Т) < о(е) и любого выбора точек ф;у,) Е Р; для соответствующей интегральной суммы Я(Т) выполняется неравенство ф(Т) — 1~ < е.

При этом конечный предел 1 интегрэльньпс сумм называют двойныла интегралом от функции 1(х,у) по замкнутой области Р и обозначают Е ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 22 Итак, можно записать ~3(кй~~ М= и Кукл)ьг (16) ь л~т)-~е В в=1 Задачи, рассмотренные вьппе (см. 1.1), позволяют придать двойному интегралу геометрическую или физическую интерпретацию. Интегрируемая в замкнутой области Р функция Дх,у), удовлетворяющая условию ~(х,у) > О, (х;р) Е Р, определяет в пространстве х-цилиндрическое юело, ограниченное снизу областью интегрирования Р, сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оз, и сверху поверхностью з = Дх, р) (см.

рис. 1.1). Двойной интеграл определяет объем этого тела. Интегрируемую в Р функцию Дх, у), не принимающую отрицательных значений, можно трактовать как поверхностную плотность распределения массы пластины Р. В этом случае двойной интеграл выражает массу этой пластины. Следующую теорему можно рассматривать как необходимое условие интегрируемости функции. Теорема 1.2.

Если функция Х(х, у) интегрируема в замкнутой области Р, то она ограничена в Р. ~ Предположим противное: пусть функция Х(х,у) интегрируема, но не ограничена в Р. Согласно определению интегрируемости, для произвольно выбранного числа л > О существует такое число б(л) > О, что для любого разбиения Т замкнутой области Р с диаметром разбиения й(Т) < 6(л) при любом выборе точек ф;О;) Е Р; выполнено неравенство ф(Т) — Х~ < е, где Х вЂ” значение двойного интеграла функции Х(х,у) по области интегрирования Р. Выберем одно из разбиений Т = 1Рм ..., Р„) с диаметром й(Т) < 6(е) и рассмотрим соответствующую этому разбиению интегральную сумму с некоторым набором точек ©О1) Е РХ. 23 1.2.

Определение двойного интеграла Так как по предположению функция у (х, у) не ограничена в замкнутой области .О, то она не ограничена и по крайней мере в одной из частичных областей Р . Площадь ДБ частичной области Р положительна, поэтому за счет выбора точки ((", и ) Е Р слагаемое ~((~, Оу)ДБ можно сделать сколь угодно большим по абсолютной величине. Тогда и всю интегральную сумму Б(Т) можно сделать по модулю сколь угодно большой, но это противоречит неравенству ф(Т) — 1~ < е.

Полученное противоречие опровергает предположение о неограниченности функции у и доказывает утверждение теоремы. ~ Замечание 1.1. Ограниченность функции в замкнутой области является лишь необходимым условием ее интегрируемости в этой области, но не достаточным. Покажем это на примере. Рассмотрим двумерный аналог т(х,у) 4ункцпв Дприхле, определенный на квадрате Р = ((х; у) Е К~: О < я ( (1, О < у < 1) следующим образом: Х(х,у) = 1, если я и у являются рациональными числами, и Х(х, у) = О в противном случае. Для такой функции не существует предела интегральных сумм.

Действительно, если для любого разбиения Т = (Р~, ..., Р„) квадрата Р выбирать в частичных областях Р, точки ®; ц,) с рациональными значениями координат, то любая интегральная сумма примет вид и п Б(Т) ='ЕхалдДБ,=Е,.1 ДБа=Бр, где Бр — площадь квадрата Р. Но тогда и при стремлении диаметра разбиения к нулю предельное значение таких интегральных сумм равно Бр. Если же в частичных областях Р; выбирать точки ф; ц;) с иррациональными значениями координат, то любая интегральная сумма будет равна нулю, поэтому и предельное значение таких интегральных сумм равно нулю.

1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 24 Это говорит о том, что множество всех интегральных сумм не имеет предела при стремлении диаметра разбиения к нулю, а функция )ь(х, у) не является интегрируемой в квадрате Р. 1.3. 'Условия существования двойного интеграла Для того чтобы установить условия, при которых уьункиил у(х,у) интпеерируема в квадрируемой замкнутой областпи Р С К', введем (как и в случае действительной функции одного действительного переменного) низкнюю и верхнюю суммы Дарбу'". Если Т = (Рь, ..., Х)п) — некоторое разбиение Р на частпичньье обласоьи Рь с площадями ЬБь, ь = 1, и, а тп; и М;— точные нижняя и верхняя грани функции у(х,у) в Рь, то нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции 7(х,у), соответствующие разбиению Т, определяются равенствами и п Б(Т) = ~ тпьь."ьБь и Б(Т) = ьь МьЬБь.

(1.7) ь=1 1=1 Определение 1.1. Назовем разбиение Т' в Р измемьчением разбиения Т в Р, если каждая частичная область разбиения Т является либо частичной областью разбиения Т', либо объединением нескольких частичных областей разбиения Т'. Для сумм Дарбу, как и в случае действительной функции одного действительного переменного, можно установить следующие свойства. 1. Для заданного разбиения Т в Р верхняя Б(Т) и нижняя Б(Т) суммы Дарбу являются соответственно точной верхней и точной нижней гранями множества интегральных сумм, отвечающих разбиению Т и всевозможным совокупностям точек *Ж.Г. Дарбу (1842 — 1917) — фракиуэский математик. КЗ. условие сущестеовввив двойвого иитесраев 25 фщ), выбираемых в частичных областях, т.е. Я(Т) = шГ ~ У(5,ц;)Ья,, Цож)еР; (1.8) Б(т) = зпр ',~,'ИотН)ЬЯь Я~и)еР; .