VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 9

Если Р С Р* — квадрируемая замкнутая область и у(х,у) — функция, непрерывная в Р или же ограниченная в Р и непрерывная в Р всюду, кроме некоторого множества площади нуль, то верна следующая формула замены переменных в двойном интеграле: 71 19. Звмевь перемепвьос в дзойпон пптшрвле точку ф;0;) и составим интеграпьную сумму (1.59) для функции 7 (х,у), отвечающую двойному интегралу в левой части (1.58). Для каждой из частичных областей в соответствии с (1.52) имеем 1Я; = ~,У(и,о)~диде, 1=7,п. Согласно теореме 1.8 о среднем значении длл двойного интеграла, в частичной области С; найдется точка (и,';е,'.) Е 0;, для которой справедливо равенство ЬЯ; = ~,7(и,*., е,*) ~Ьо;.

Так как в (1.59) выбор точек ф;бч) ЕЮ,, 1=1,н, произволен, то можно положить с, = х(и,', е,') и ц, = у(и,*.,и,'). Тогда (1.59) примет вид ",) ~®,ид)ЬЯ; = ) У(х(и,',о,'), у(й,и;')) ~Я(й,и;*)~Ьо;, (1.60) а это есть интегральная сумма, отвечающая двойному интегралу в правой части (1.58). Этот интеграл существует, поскольку подынтегральнвя функция ограничена в 0 и непрерывна всюду, кроме, быть может, множества площади нуль. Если теперь диаметр разбиения замкнутой области С устремить к нулю, то в силу равномерной непрерывности отображения х = х(и, е), у = у(и,и) в С диаметр разбиения замкнутой области Ю также будет стремиться к нулю. При этом (1.60) перейдет в (1.58). ~ Замечание 1.14.

Замену переменных в двойном интеграле (как и в определенном интеграле) применяют для приведения его к виду, более удобному для вычисления. Однако в случае двойного интеграла, используя замену переменных, стремятся упростить не только подынтегрельную функцию, но и вид Е ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ области интегрирования, причем вторая цель зачастую более важна, чем первая.

Упрощение вида области интегрирования облегчает расстановку пределов в двойном интеграле и вычисление повторного интеграла. В результате замены переменных область интегрирования двойного интеграла изменяется. В общем случае необходимо построить новую область интегрирования и в ней провести расстановку пределов интегрирования. В простейших ситуациях расстановку пределов можно выполнять на эскизе исходной области интегрирования, используя координатные линии криволинейной системы координат. Пример 1.13. В следующих интегралах перейдем к полярным координатам и расставим в этих координатах пределы интегрирования: г г а) Их у(х, у) йу; б) сЬ у(х,у) йу; в) Ях, у) Мха, О О О О В где область интегрирования Р— часть полуплоскости х > О, ограниченная лемнискатой (х + уг) = аг(хг — уг).

Рис. 1.20 а. Область интегрирования в данном случае описывается неравенствами 0 < х ( (1, 0 ( (у ( (1 — х (рис. 1.20, а). Уравнение линии у = 1 — х, или х+ у = 1, в полярных координатах имеет вид г(сов~р+Ош~р) = 1. Поэтому область интегрирования в 1.9. Замена переменных в двойном интеграле полярных координатах т, Гр задается неравенствами 7Г 1 - 'Р 2 сов,р+ ншу о«-, о« Исходный интеграл в новых координатах имеет вид сое у+з~п м | ГЬ Дх,у) Г11Г = Йр ЯтсозГр, т81пГр) тг1т. О О О О б. В полярных координатах линии х = 2 и у = 2 (рис. 1.20, б) описываются уравнениями Г совГр = 2 и таГпГр = 2. Поскольку область интегрирования в данном случае находится в первом квадранте, полярный угол изменяется от 0 до н/2. Но при этом лУч ГР ОГ = д выходящий иэ начала координат, пересекает грани- 2 н 2 пу области в точке т = —, если 0 < Где < —, и в точке т =, 4 УО 2' н « —. Поэтому при расстановке пределов в полярных координатах область интегрирования следует разделить на две части.

Тем самым двойной интеграл будет представлен как сумма двух повторных. Учитывая уравнения ограничивающих область линий в полярных координатах, получаем 2 2 4 соВУ | Гак |(х,ф)Г1р = ГЩ~ |(тсоаГр, Г 81пГр)тс1т+ О О О О 2 е!пу + Гйр 1(тсояу, т81пр)тГ1 . О 4 в. Лемниската (рис. 1.20, е) в полярных координатах имеет уравнение Г = а~/соя 2Гр.

Пределы изменения переменного Гр на- 1, ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 74 ходим из условия неотрицательности подкоренного выражения. Это дает неравенство соя 2гр > О, откуда получаем два отрезка изменения гр: — — < гр < — и — < р < —. В соответствии с гг гг Згг зл 4 4 4 4 условиями задачи выбираем первый из них. При этом двойной интеграл преобразуется в повторный: 4 'ггl~~т Г у(х,у)йхггу = Йр Ятсозгр, тегпгр) тат.

в о Пример 1.14. Вычислим массу ггг полукруглой пластины диаметра а с центром в точке С(а/2;0), плотность которой в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до начала координат (рис. 1.21). Пластина занимает замкнутую область В, ограниченную снизу осью Ох, а сверху окружа а х 2 ностью х~+у~ = ах. Плотность Рис. 1.21 пластины определяется функци- ей р(х,у) = Й /хз+уз, где Й— коэффициент пропорциональности. Масса пластины может быть выражена двойным интегралом Форма области интегрирования .0 и вид подынтегральной функции подсказывают, что в данном случае удобно вычислять двойной интеграл в полярных координатах т и гр.

Полярныи угол при движении луча гр = гре по области интегрирования пробегает отрезок (О, я'/2], а полярный радиус т при фиксиро- 1.9. Замена переменных в днойном ннтегреле ванном значении <р е [О, я'/2] — отрезок [О, асоз~р]. Поэтому 2 е пеев .2 1 О О йоз Г = — / соз фдад= з / О г коз à — / (1 — зшг~р) Наш~о = з / О Ьоз Г ьозГ Зз~[ 2 1 Г 1!' = — / (1 — з )<Й= — ~$ — — )~ =-йа . О Пример 1.15.

Найдем площадь замкнутой области В, ограниченной окружностями хг+ рг = 2х, хг+ уг = 4х и прямыми х =д, у= О (рис. 1.22). Рис. 1.22 Согласно свойствам двойного интеграла, площадь 11 равна двойному интегралу от единичной функции с областью интегрирования 11. На рис. 1.22 видно, что область изменения полярного угла у есть отрезок [О, х/4], а изменение полярного радиуса описывается неравенствами 2соз~р ~ ~т < 4соз~р. Действительно, произвольный луч <р = уО, выходящий из начала координат, пересекает границу области при г = 2созуО (точка входа) и при г = 4соз ~ре (точка выхода). Найденные соотношения позволяют расставить пределы интегрирования в двойном 1.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 76 интеграле в полярной системе координат, и в результате мы получаем 4' 4совГ Я = Охи = вйр тат вв В О зсовг $ г — тв сйр = 6 сов усйр = — (я+ 2). 2 ~всов р,/ 4 О О Если область интегрирования ограничена эллипсом — + — "=1, (1.61) ав Ьз то для вычисления двойного интеграла удобно испольэовать замену переменных х = агеевич, у = Ьт в1пу, т > О, у Е (О, 2я). Эта замена переменных соответствует переходу к криволинейным координатам, называемым обобп4еннььни ноллрнььнн ноординагпалвн.

В этих координатах уравнение эллипса имеет вид г = 1, а якобиан замены переменных равен а сов ов — агвшсо ~ .7(т,р1 = =аОус ЬО1пу Ьтсовсо ~ Пример 1.16. Вычислим объем вт тела, ограниченного трехосным эллипсоидом (рис. 1.23) г „2 г — + — + — =1. аз Ьв св Рис. 1.23 77 1.9. Замена переменных в двойном интеграле Из соображений симметрии вытекает, что искомый объем равен удвоенному значению интеграла от функции 2 2 «(х у) = с 1- — —— ) а2 Ь2 по замкнутой области Р, ограниченной эллипсом (1.61).

В обобщенных полярных координатах функция «(х,у) преобразуется к виду «(г,)р) = сЯ вЂ” г2, а области интегрирования .Р соответствует прямоугольник С= ((г))р) ЕК: г Е )0) 1]) )р 6 (О, 21гД. Таким образом, $' = 2 «(х,у) г1хг1у = 2 «(гсоо)рго1п~р)аЬгг1ггйр= 12 С 2л 1 =2)/)л/)))- ' ы = — ее — ° ) ~ =- ). е 4гг 2 з/2~1 4 3 ]о 3 о о Отметим, что обобщенные полярные координаты можно ввести в более общем виде с помощью отображения < г > О, )р Е )О, 2гг), т Е Я.

(1.62) у = Ьго1п~)р, В этом случае .7(г,)р) =таЬг(о1п)рсоо)р) 1. При вычислении площади области Р'= ((х;у) Е)а' (х/а) / +(у/Ь)"г =1, х Е(О,а], уб(О,Ь)/ ) целесообразно в (1.62) выбрать т = 8. Тогда прообразом Р при отображении (1.62) будет прямоугольник С = ),(г;)р) Е И: г' Е (О, 1)) )р Е [О, и/2) ) .

В ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 78 Используя (1.52), находим Я'= 41хг19=8аЬ г(31пгрсовгр) г1ггйр= Вг ггг гг/2 1 гг/2 = 8аЬ (вш р совгр) г1гр гг1г = 4аЬ (1 — вшзгр) вш~грг1(вшгр) = О О О 1 =4аЬ (1 — ЗФ +Зс — Ф )Ф гН=4аЬ|- — — + — — — ) = —. 4321331аЬ ~,8 10 12 14) 70 О Пример 1.17. Найдем площадь области .О, ограниченной кривыми ху = 1, ху = 2, у = хз и у = 2хз (рис. 1.24). Положим ху =и и у/х = о. Отсюда х = (и/о)~/3 и у = аз/~о~/~, и в соответствии с (1.47) дх дх д дс дв ду дс дс 1„-2/з„-1/з 3 -1/3 1/3 3 1/3 -4/3 3 1„2/з -г/з 3" ./(и,о) = 1 9 = — (э 1+2о 1) = —.

Зо Рис. 1.24 Криволинейному четырехугольнику в плоскости хОу (см. рис. 1.24) в криволинейных координатах и, о соответствует 1.10. Плоиияь поверхности квадрат 0 = ] (и; о) Е И: и Е [1, 2]) о Е [1, 2] ~ . Поэтому при помощи (1.52) находим 2 2 2 Я = саду = = — Ии — = — 1пе Ю С 1 1 1.10. Площадь поверхности Одно из приложений двойного интеграла — вычисление площадей поверхностей.

Остановимся на том, чтб следует понимать под площадью поверхности. Пусть Š— некоторая гладкая поверхность в пространстве, ограниченная кусочно гладким контуром Г. Возьмем разбиение Т поверхности Е на частпичные области Е1, ..., Е проведя на поверхности Е кусочно гладкие кривые.

В каждои частичной области Е; произвольным образом выберем точку М построим в этой точке касательную плоскость к повери- е носта Е и проекцию о1 частичной области Е; на эту плоскость. Получим плоскую замкнутую область о;, ограниченную некоторым кусочно гладким контуром (рис. 1.25). Значит, эта замкнутая область квадрнруелса. Обозначим через Ьо1 площадь о;. Из этих площадей составим сумму и о(Т) = ~~) Ьо;-. Рис. 1.25 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 80 Диаметпролт д(Т) разбиения Т поверхности Е, как и ранее, назовем максимальный из диаметров 4 частичных областей Е;.

Пусть существует конечный предел о сумм а(Т) при й(Т) -+ О, т.е. для любого числа г > 0 можно указать такое число о = й(г) > О, что для каждого разбиения Т = (Ем ..., Е„) поверхности Е, имеющего диаметр й(Т) < о(в), при любом выборе точек М; е Е; верно неравенство ~о(Т) — о~ < г. В этом случае поверхность Е называют ивадрируелтой поверхностью, а число о — пяои4адью этой поеерхностпи. В этом параграфе ограничимся частным (но важным) случаем, когда поверхность Е является графиком некоторой функции у(х,у), определенной в замкнутой области Р с кусочно гладкой границей дР.