V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 9

Точки разрыва могут образовывать подмножества в В", „оторые в зависимости от их вида называют линиями или ввврхностпями разрыва фрикции. Мы не будем определять различные типы точек разрыва, как это делают в случае действительных функций действительного переменного 111, а ограничимся разбором типичных ситуаций на примерах.

Пример 1.18. а. Исследуем на непрерывность функцию двух переменных Цх, у) = 1/(1 — ху). Эта функция представляет собой частное двух непрерывных в К» функций двух переменных (числитель — - постоянная функция, а знаменатель— функция х(х,у) = 1 — ху). Поэтому, согласно свойству 2' непрерывных функций ~см. 1.4), она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при ! — ху ф- О.

Множество точек в И, которое описывается уравнением 1 — ху = О, » является линией разрыва этой функции. В точках этой линии, Являющейся равно6очной гиоер6олой, функция не определена. б Функция Дх,у) =ядп(ху) определена всюду в й2, причем п м принимает всего лишь три значения: значение 1 в точках пе во Рвого и третьего квадрантов плоскости, значение О на осях коо ' Рдинат и значение — 1 в точках второго и четвертого квадРантов. Р тов.

Точками разрыва этой функции являются точки на осях коо координат, а оси координат в данном случае являются линиям Ями Разрыва функции. ® Функция трех переменных и— х2 у2 22 60 1* ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИ» определена вне единичной сферы х~+ ух+ гя = 1 и в точи <ка» области определения эта функция непрерывна как частное ля~„ непрерывных функций. О единичной сфере в этом слу.,~ говорят как о поверхности разрыва функции и.

г. У функции трех переменных область определения описывается неравенством х~+ у~+ =" ~ < 1. В этой области функция непрерывна как частное двух непрерывных функций. В точках единичной сферы и вне е~ функция и не определена. Точек разрыва нет. д. Функция двух переменных и =!пху определена в области ху > О, т.е. в первой и третьей четвертях без осей координат.

К точкам разрыва этой функции можно отнести точки осей координат. Пример 1.19. Исследуем на непрерывность функцию Дх,у) = ~'+У'' О, х =у=О. При х~+уя ф-0 функция ~(х,у) является непрерывной кяк частное двух непрерывных функций. В точке (О, О) и ее окру тности функция определена, но не является непрерывной в этой точке, так как она в ней не имеет предела (см. пример 1.12).

1.6. Непрерывность по части переменных Предположим, что функция иногих переменных ~: В" -+ К'" определена в некоторой окрестпностпи точки а = (а~, ..., а„) Если функция д(х, ) = У(х1, а2„аз,..., а„), 1.6. Непрерывность по части переменных представляет собой функцию одного действительного кот ор"" переме енного х1, непрерывна в точке х1 — — а1, то функцию ~ пазы ва ют непрерывной по переменному х1 е точке а. Непрерывность функции ~ = ~(х~, х2,..., х„) по переменному в точке а по определению означает, что существует предел Ив Их~,ат,...,а„) = ~(а1,а~,...,а„), „торый можно рассматривать как предел в точке а по множе- ству А1=((Х1 ". Хя) б Ж": хг — — ая,...,х„=а„). Аналогично вводят понятие непрерывности функции Дх) в точке а по остальным переменным: по хг, по хз и т.д., а.

также по произвольному набору ее аргументов. Например, если функция двух переменных д(х1,х~) = ~(х1,хя,аз,".,аи) непрерывна, в точке х1 — — а1, х~ — — а2, то функцию Дх) п переменных называют непрерывной в точке а по части пе« ременных (по совокупности переменныа) х1, х~. НепреРывность по части переменных можно рассматривать как существован ание предела функции в точке а по соответствующему множеству. Например, непрерывность функции ~(х1,х~,...,х„) по совок пно : упности переменных х~, х~ означает существование предела где Аи= ((Х1, ..., х„) Е И": хз —— аз "'х =а ).

Отметим м, что из непрерывности функции многих переменб' ных в точк ке а следует ее непрерывность в этой точке по люОму Набо Ру переменных, поскольку если выполнено равенство 62 ~. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОЬРАЖЕНЦ~ 11т Дх) = ~(а), то, согласно следствию 1.1, для любого мно,„ х-+а ства А С В'", для которого точка а предельная, 11п1 У(х) = Да). В то же время, даже если функция непрерывна в точке ц по любому неполному набору переменных, это вовсе не значит 1 что функция непрерывна в этой точке. Так, функция Дх,у) из примера 1.12 не является непрерывной в начале координат, но она непрерывна в этой точке по каждому из переменных, т,е по х и по у, поскольку ДО,у) = Дх,О) = О. Если функция многих переменных непрерывна по части сво. их переменных во всех точках некоторой области, то ее называ.

ют непрерывной в областпи по (этой) частпи переменных (сов окупноспъи переменных ). 1.7. Свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах Приведем без доказательства свойства функций многих переменных, непрерывных на ко.ипактах'. Теорема 1.10.

Пусть скалярная функция ~: К С Е" -~ Й непрерывна на компакте К. Тогда: 1) функция ~ ограничена на К, т.е. существует такое число М > О, что ~~(х)~ < М, х б К; 2) функция ~ достигает на компакте К своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки х., х" б Е К, что Дх.) < У(х) < ~(х'), х Е К; 3) если компакт К вЂ” линейно связное множество, то для любого числа ~и из отрезка [~(х,),~(х')1 существует точка х„~ Ь, для которои ~(х„) =,ы. ф 'В (1) рассмотрен как более общий случай отображений, непрерывны» на компактах в метрическом пространстве, так и более частный случай функций действительного переменного, непрерывных на отрезке. Вопросы и задачи иная теорема может быть обобщена на векторный При учай ©риффа 1 ] 1 Пусть функция многих переменных ~: А С р непрерывна на К.

Если К вЂ” компакт в Ж", то и С тв м компакт в И . Если К вЂ” линеино связное множество, у(К) — линейно связное множество. 4 Получить теорему 1.10 иэ теоремы 1.1 1 несложно, если что компакт на числовой оси — это замкнутое огра- „„„нное множество, а линейно связное множество на числовой и промежуток. Действительно, если К вЂ” компакт, то и у(К) является компактом, т.е. ограниченным замкнутым множеством.

Ограниченность множества ДК) равносильна ограничеиности функции на множестве К. Замкнутость множества ДК) на числовой оси означает, что это множество содержит все свои предельные точки, в том числе точную верхнюю и тпочную нилснюю грани. Другими словами, точная верхняя и точная нижняя грани множества ~(Ь ) являются значениями функции, а это равносильно второму утверждению теоремы 1.10. Наконец, если К вЂ” компакт, являющийся линейно связным множеством, то и ДК) — линейно связный компакт, которым на числовой оси может быть только отрезок.

Но если ДК)— отрезок, то его концами являются минимальное ~(х,) и макьное Цх ) значения функции, а все точки отрезка также являются тся значениями функции. Следовательно, верно третье Утверждение теоремы 1.10. Вопросы и задачи 1.1. Д ° ° Докажите, что расстояние р(х,у) в Е" удовлетворяет сле дУЮМим аксиомам метрики [1-5.1~: а) (х ) а Р(,у) > О, причем р(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда РФ б ) р ( х 9 ) р ( 9 ~ ) в) р(х „) < ,(х ,) + ,( 64 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИн 1.2.

Для множества Х = [а,Ь) на числовой оси докажи 1 что: а) множество Х не является о-окрестностью точки =(а+0)/2 ни при каком б>0; б) множество Х ограничено; в) множество Х не является открытым; г) множество Х не является окрестностью ни для какой точки; д) 1пйХ = (а, Ь); е) множество Х не является замкнутым; ж) граница дХ множества Х состоит из точек а и 6; з) множество Х не является компактом; и) точка 6+1 не является предельной точкой множества Х, но является внешней точкой этого множества (принадлежит внешности множества Х). 1.3. Докажите, что следующие множества открыты: а) ((х1, х2) б Ж~: х~~ < х~ ~; б) проколотая о-окрестность точки а Е Ж"; в) ((х~, х2) е И~: а1 < х1 < 01, а2 < х2 < Ьг ~; г) ((х~, х~) б Е~: х1+ х~ < 1~.

1.4. Докажите, что следующие множества являются замкнутыми: а) отрезок ~а, 6) С Ж; б) пересечение любого числа замкнутых множеств; в) объединение конечного числа замкнутых множеств. 1.5. Докажите, что граница любого множества является замкнутым множеством. 1.8. Докажите, что дополнение замкнутого (открытого) множества в И" является открытым (замкнутым) множеством 1.7. Приведите пример множества на плоскости (на прямой в пространстве), совпадающего со своей границей.

Вопросы и эадачи п кажите, что если а — предельная точка множества А 1.о. Д 8 то а также является предельной точкой множества В. и,4 С 9 П введите пример такого непустого множества, кото- имеет предельных точек. ое не 1 1р На плоскости найдите все множества Х, для которых в ио заданное соотношение: а) !п1Х = Х; б) дХ = Х' 1 3 ,)"1в$Х =дХ 1 11.

Докажите, что следующие множества являются компактами: а) Й 6 И": р(х, а) < ~) ' ~(~'~) = г) — сфеРа в Ип р точке а. 1,12. Докажите, что следующие множества на плоскости являются областями: а) ((ж, у) ЕИ'. х>1); б) ((ж, у) ~ И2: х2+у2фО); В) ((й у) ~ И2. ] < у2+у2 < ° 1.13.