V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 6

Ь с 40 !. Ф1'НЕПШ! МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕЛЕ ОТОЬРЛй~ЕННи предельной точкой Л, существенно. Действительно, если т«. ка а не является предельной точкой Л, то в достаточно ма1« проколотой окрестности этой точки нет точек множества ..~ условие определения 1.10, хотя формально и остается коррек1 ным. теряет содержательный смысл. В дальнейшем, говор» пределе функции ~ в точке а по множеству Л, будем всегл предполагать, что точка а является предельной для Л. Замечание 1.7. Данное определение является частным с.ц чаем общего определения предела отображения ~: Х -+ 1 точке а по множестьу А, где Х и Ъ' —..метрические простут> стьа. В нашем случае Х и 1' — аффинмые арнфметнческ» пространства, в которых введено расстояние между точи; ми (см.

1.1). Можно дать определение предела. в котором и используется понятие окрестности и которое базируется лиш на понятии расстояния в аффинном арифметическом простра~ стве. Например, так: точка Ь есть предел функции ~ в точке по множеству Л С 0(~), если для любого числа е > О существ~ ет такое число 6 > О, что для любой точки ю Е Л, для которо 0 с ~х — а~ < б, верно неравенство ~Д(е) — Ь| < е. 4~ Если зафиксировать некоторую Бо-окрестность точки и, т точки множества А, не попавшие в эту окрестность.

не буду влиять на существование предела в точке а и его значение, ти как в этом случае мы можем считать. что число Б в определ~ нии 1.10 не превосходит 00. Действительно, если для заданно~ о г > О выбрано некоторое о так, что при з. Е Л П Г(а,о) выпо.1 няется соотношение Дю) б 11(Ь,е), то, положив У = пип(б,о«), о о за кл ючаем, что 1'(а. 0') С 1Г (а. б) и. следовательно, (Лй Г(к,8')) С (Лй Г(и.0)). 11оэтому соотношение ~(т) 6 Г(Ь, ) будет выполнено для любо о точки к б Л П'с1(а,6'). Множество Л в определении 1.10 играет роль ограничители учитываются значения функции только в точках этого множе !.3. Предел функиии ииогих нереиенных ~ ли а является внутренней точкой множества А. Нли по ггва "ирй мрре множества А 0 (а), то А перестает играть огракрайнеи (акающую роль* В этом с'.лучае можно выбрать проколотук) ничи крестность точки а, целиком попадающую в А.

Выбирая в 6о-окр о о опредррдрлении 1.1О число 6 ~~ бо, будем иметь А(1 Г(а,д) = с((а,о), гаким образом, если некоторая проколотая окрестность чки а содержится в множестве А (в частности, если точка а внутренняя для А), мы можем считать, что А = К". В этом случае мы будем говорить просто о иределе Фумкцяи в що~1яе а и обозначать его, опуская упоминание множества А: 6 =!(п1 ~(,т). г-+о При этом определение предела упрощается: точка.6 есть предел функции в точке а, если для любой -окрестности Г(6.

) точки о 6 существует такая проколотая 6-окрестность с1(а,о) точки а. о что Дю) б ЩЬ,с) при ю б Г(а,б). Пример 1.12. Рассмотрим функцию двух переменных ~(~.у) = ( !. 3) О, ю =у=О, и исследуем ее на существование предела в точке а = (О. О) и зависимости от множества А. Пусть множество А есть прямая у = (.с. Вогпользуемся тем. что в точках этой прямой функцию ~ можно рассматривать как функцию одного действительного переменного д(х) = Д:г,(;г). которая при ~ ф О принимает постоянное значение: ь й д(х) = ~(г,('л')— г+Р.Ь 1+Р' Позто тому при (с, у) -~ (О, О) по множеству А существует пред(л. равный этому погтоянному значению: й !(п1 ~(х,У) = —.

(х. и1-.+(о. 01 ! Ф И 42 !. ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Прямую г = О (огь ординат) нельзя описать уравнением с угловым коэффициентом. Этот случай необходимо раггмотреть отдельно. Так как ДО,у) = О, приходим к выводу, что по множеству х = О также существует предел, равный нулю. ф~ Связь между пределами по различным множегтвам и, в частногти. между пределом и пределом по множеству аналогична тому, как для дейгтвительных функций действительного переменного связаны понятия предела функции в точке и одног~иороннгго нредгла функции в точкг. Например, право- сторонний предел функции в точке а Е Й можно рассматривать как предел этой функции по множеству «х б В: т > а). Теорема 1.3. Пугть а — предельная точка множеств А, В С Й" и А С В. Если суще!.твует предел функции ~ в точке а по множегтву В, равный 6, то гущегтвует и предел этой функции в точке а по множе«тву А, который также равен 6.

~ Пус'ть существует предел функции ~ при к~а, равный Ь. Это значит, что для произвольного чигла г > О существует такая о проколотая б-окрестность Г(а,б) точки а, что ~(к) Е Г(Ь,е) при о о о .с Е В П(1(а,б). Так как А С В, то и (А й с1(а,б)) С (ВО(1(а,б)). Значит, соотношение ~(г) б Г(Ь,е) верно для любой точки ю б о 6 Л О Г(а,б). Тем самым мы показали, что, каково бы ни было чигло > О, можно указать такое число б > О, для которого ~[г) Е 1~(6,=-) при г.

6 А О !>(а,б).:)то, соглагно определению 1.10, и означает, что функция / имеет предел 6 в точке а по множеству А. > Следствие 1.1, Если функция ~: В" — ~ В'" определена в о некоторой проколотой б0-окрестногти с!(а.б0) точки а и существует ее предел в этой точке, равный 6, то для любого множества А С И". для которого точка а предельная, существует предел функции ~ при х-~а, равный 6.

4 Доказательство следует из теоремы !.3 при В = В". ~ !.3. Предел функшш многим леременнык Следствие 1.1 удобно использовать для доказательства точто функция не имеет предела в заданной точке. Идея его использования сводится к следующему. Подбирают два множества А~ и А~ так. чтобы пределы функции в точке а по этим множествам были различны. Тогда на основании следствия можно утверждать, что функция не имеет предела в точке а. действительно, если функция ~ имеет предел в точке а, равный 6„то тот же предел она имеет в точке а и по каждому из множеств А~ и Аг, а зто противоречит условию. Пример 1.13. Функция 3'(»,у).

рассмотренная в примере 1.12, не имеет предела в точке (О, 0), так как эта функция имеет разные пределы по множествам А~ = ((», у) Е И~: у = Й.г). 41 Исследование предела векторнои функции многих переменных можно свести к исследованию пределов ее координатных функций, Теорема 1.4. Векторная функция многих переменных ~: А С В" -+ Е'"' имеет предел при х-„-ьп, равный 6 тогда и только тогда, когда существуют пределы ее координатных функций Л(») при»~~п, равные Ь,. с = 1. п~.

где Ь! ,/иь (») ~ Предположим, что су~цествует предел 11ш ~(») = 6. Выбе- .г-+л Рем произвольное число е > О. Согласно определению 1.10, для выбранного числа ~ существует такое число б > О, что при Ф » Е АОГ(а.6) выполнено неравенство )~(») — Ь| < - (это неравенство равносильно соотношению ~(») Е Г(6. ) ).

Так как н соответствии с введенным рассп~ояниа.и в И"' 1Л(х) — Ь,~ = 44 !, ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ЕАЕ ОТОБРАЖЕН!!>! о то для тех же х ~ А й1!(а,8) верно и неравенство ~~,(ю) — Ь,! ' или !;(ю) Е Г(Ь„г), где 11(6;, ) — я-окрестность точки Ь, и;, числовой прямой. Но это и означает существование вреде.~;, координатной функции ~,(х) при к~~а, равного 6,.

Перейдем к доказательству обратного утверждения и п1п.!. положим, что при ю А~а существует предел каждой координат. ной функции Д(х), равный 6,, ! = 1, т. Выберем произвольно ° число . > О. Для .' = е/1/и и каждого ! т 1, !и существует т,« о кое число 8; > О, что при х != А !1 Ща,Ц выполнено неравенств [Л,(ю) — 6,! < я/~(ю. Пусть о = п11п(8!,...,б„,). Тогда 1'(а,д) с о С 1.!(с,А) для каждого г = 1,!и. Поэтому при л. != А!1 Г(п.и! одновременно выполняются неравенства ~Д(х) — Ь;| < /~~ш, О ! = 1, !и.

Следовательно, при л != А!1Г(а,д) имеем — Д2 — с что означает существование предела векторной функции !(х~ при хуа, равного 6. ь Доказанная теорема фактически утверждает, что в случа~ векторной функции переход к пределу можно выполнять пок« ординатно (т.е. отдельно для каждой координатной функции). Если хотя бы для одной координатной функции предел не суше ствует, то не существует предел и самой векторной функции. Папомним, что векторные функции можно трактовать как ма. пцэнчньи ф1!ищпц, и и этом контексте теорема !.-1 Ириоб1н та(! несколько иную окраску: в функцпома;!ьнаг .ипиирцц!и. такж< допустим поэлементый переход к пределу, тл*.

1.3. Предел 4унниии мннгиь переменных мер 1.14. Рассмотрим предел матричнои функции ! х+1 1пп Г$! (. р1-+(о. о1 У л~+у2 - „о„тветствии с теоремой 1.4 этот предел можно рассматри„„ь по элементам матрицы. Имеем 1ни 1=1, 1!и( (х+1) =1, 1!п1 у=О, д1-+(и. п1 (х у1-+(О. О] (х. ~1-~(в. 01 но предел четвертой функции ху 1пп (, . р)-+(о, о1 х~ + у~ не существует (см. пример 1.13). Следовательно, и предел рассматриваемой матричной функции в точке (О, 0) также не су шествует.

4~ Функцию многих переменных ~: .4 С В" — ~ В™ называют бесконечно ма,яой при х-+а (а — предельная точка множе- А ства Л), если 1ип Дх) = 0 (в случае т > 1 символ „0" обозначает г-ьп А точку (О, О, ..., О) 6 И"'). Из теоремы 1.4 следУет. что векторная функция является бесконечно малой при х-~а тогда и А только тогда, когда бесконечно малыми при х-„-и~ являются все ее координатны~ функции.

Например, из двух функций ~(х,у) = (х х~+уА ху'") и у(х,у) = (х+1 х +у х-р) "ерная является бесконечно малой при (х, у) -+ (О, 0). а вторая -- иет. действительно, все координатные функции вектор""" фуикции ~(х,у) имеют предел 0 в точке (О, 0), в то время как коо координатная функция д((х,у) = х + 1 векторной функции "~ х Р) имеет предел 1 (ненулевой) в точке (О, 0). Для функций многих переменных остается в силе пзеорема о св.яз вязи функции, ее предела и бесконечно малой !1-7.51. -!б ~. т нкции многих пичменных клк отри лжкния Теорема 1.5.

Для того чтобы сущегтвовал предел функции ~: А С К" — ~ К"' при х-+а, равный 6, необходимо и достаточн„ чтобы эта функция имела представление ~(х) = 6+а(х), г к, о: Л -+ К'" — бесконечно малая при х — за. А ~ Н еобход и мог ть. Предположим, что существует пред~я !!ш Дх) = 6. Обозначим о(х) = ~(х) — Ь и выберем произволь г-„+я ное число;- > О. Согласно определению 1.10, для выбранно о го существует такое чигло о > О, что при х Е А Г! Г(а. !! верно включение ~(х) б Г(6,~), что равносильно неравенгтну !У(х) — 6| (, или !а(х)1( с. Но это означает, что существует предел !!п1 о(х) = О.

Следовательно, функция многих перемен- .Т-Фл ных а(х) являетгя бесконечно малой при х-„+а. Достаточ ность. Пусть Дх) = Ь+о(х), х Е А, и функция а(х) является бесконечно малой при х~~а, т.е. существует предел !!п1 а(х) =О. Выберем произвольное числое>0. В гоот- Х-Фи ветствиии г определением 1.10, для выбранного числа е можно о указать такое чигло о > О, что при х Е А П Ща, о) верно неравенство ~а(х) — О! < ~, или ~~(х) — 6! (.. Следовательно, существует предел !1п1 ~(х) = 6. > т-+я Понятие оггконгчного предела, активно используемое для функций одного переменного, можно перенести на функции многих переменных. Однако заметим, что в векторном случае такое понятие используется крайне редко, а в скалярном случае оно встречается чаще.