IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 9

2.2). Не столь очевидно, что в Уз нет других собственных под- 71з пространств. Если в линейном подпространстве Я в Уэ нет ненулевых векторов, то Я вЂ” Я1 нулевое линейное подпространство, являющееся несобственным. Если в Я есть ненулевой вектор, а любые два вектора из Рнс. 2.2 Я коллинеарны, то все векторы этого линейного подпространства параллельны некоторой прямой, проходящей через фиксированную точку.

Следовательно, Я совпадает с одним из линейных подпространств, описанных в случае б). Если в Я есть два неколлинеарных вектора, а любые три вектора компланарны, то все векторы такого линейного подпространства параллельны некоторой плоскости, проходящей через фиксированную точку. Это случай а). Пусть в линейном подпространстве Я существуют три некомпланарных вектора. Тогда они образуют базис в Уз. Любой свободный вектор можно представить в виде линейной комбинации этих векторов. Значит, все свободные векторы попадают в линейное подпространство Я, и поэтому оно совпадает с Уэ. В этом случае мы получаем несобственное линейное подпространство.

Итак, в Уз все собственные подпространства можно представить в виде плоскостей или прямых, проходящих через фиксированную точку. Пример 2.2. Любое решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) от и переменных можно рассматривать как вектор в линейном арифметическом пространстве К". Множество всех таких векторов является 58 а линкйнык подпростглнствА линейным подпространством в К". В самом деле, решения однородной СЛАУ можно покомпонентно складывать и умножать на действительные числа, т.е. по правилам сложения векторов из К".

Результат операции снова будет решением однородной СЛАУ (см. [П1]). Значит, оба условия определения линейного подпространства выполнены. Уравнение х+ у — 5г = 0 имеет множество решений, которое является линейным подпространством в Кз. Но это же уравнение можно рассматривать как уравнение плоскости в некоторой прямоугольной системе координат Охуг. Плоскость проходит через начало координат, а радиус-векторы всех точек плоскости образуют двумерное подпространство в линейном пространстве Рз. Множество решений однородной СЛАУ Е х+у — 5г = О, — х+у =0 также образует линейное подпространство в К~.

В то же время эту систему можно рассматривать как об~цие уравнения прямой в пространстве, заданные в некоторой прямоугольной системе координат Охуг. Эта прямая проходит через начало координат, а множество радиус-векторов всех ее точек образует одномерное подпространство в 1~~. Пример 2.3. В линейном пространстве М„(К) квадратных матриц порядка п линейное подпространство образуют: а) все симметрические матрицы; б) все кососимметрические матрицы; в) все верхние (нижние) треугольные матрицы. При сложении таких матриц или умножении на число мы получаем матрицу того же вида. Напротив, подмножество вырожденных матриц не является линейным подпространством, так как сумма двух вырожденных матриц может быть невырожденной матрицей: О О О 1 О 1 2.1.

Определение и примеры Пример 2.4. В линейном пространстве С[0, 1] функций, непрерывных на отрезке [О, 1], можно выделить следующие линейные подпространства: а) множество функций, непрерывных на отрезке [О, 1] и непрерывно дифференцируемых в интервале (О, 1) (в основе этого утверждения лежат свойства дифференцируемых функций: сумма дифференцируемых функций есть дифференцируемая функция, произведение дифференцируемой функции на число есть дифференцируемая функция); б) множество всех многочленов; в) множество К„[х] всех многочленов степени не выше п. Напротив, множество всех монотонных функций, непрерывных на отрезке [О, 1], очевидно, является подмножеством С[0, Ц, но не является линейным подпространством, так как сумма двух монотонных функций может и не быть монотонной функцией.

Пусть в линейном пространстве Е задана система векторов е1, ез, ..., еь. Рассмотрим множество Я всех векторов в Е, которые могут быть представлены линейной комбинацией этих векторов. Это множество является линейным подпространством в Е. Действительно, пусть х=х1е1+...+хьеы у=у1е1+...+уьеь.

Тогда х + у = (х1+ у1 )е1+... + (хь + уь)еь Е 'Н, Лх = (Лхд)е1+... + (Лхь)еь Е 'Н, где Л Е 1к. Описанное линейное подпространство называют линейной оболочкой системы векторов е1, еа, ..., еь и обозначают врап(е1,ез,...,еь). Примечательно то, что любое собственное линейное подпространство можно представить как линейную оболочку некоторой системы его векторов (это будет ясно из дальнейшего изложения). В этом состоит универсальный способ описания линейных подпространств. Отметим, что само линейное пространство является линейной оболочкой любого иэ своих базисов. 3. ЛИНЕЙНЫЕ НОДПРОСТРАНСТВА 60 Пример 2.5. Рассмотрим плоскость я, проходюцую через три произвольные точки О, А, В, не лежащие на одной прямой.

Тогда линейное надпространство векторов, компланарных плоскости я, представляет собой линейную оболочку двух свободных векторов, соответствующих геометрическим векторам ОА и 03 (рис. 2.3). Действительно, любой вектор, Ф4 .Ф ,'з'' компланарный векторам ОА и 03, представляется в виде их линейной комбинации ~ПЦ. 2.2. Пересечение и сумма линейных подпростра~ств Пусть Я1, Яз — линейные надпространства в линейном пространстве л.. Определение 2.2. Множество Я1 й Я2 называют пересечением линейныи подпростпранстпв Я1и Яз. На рис.

2А видим, что два линейных подпространства, изображенные плоскостями, в пересечении дают прямую, также являющуюся представлением некоторого линейного подпространства (см. пример 2.1). Рии. 2.4 Теорема 2.1. Пересечение 'Я1 й Яз двух линейных подпространств Я1 и Яз в линейном пространстве л', является линейным подпространством в Е. ~ Проверим, выполняется ли условие 1) определения 2.1.

Если векторы х1 и хз принадлежат Я1 П Яз, то каждый из зтих векторов принадлежит как Я1, так и Яз. Поскольку Я1— 61 2.2. Пересечение и сумма линейных поднространста Определение 2.3. Множество Я1+Я2 всех векторов х вида х = х1+ х2, где х1 Е 'Нм х2 Е Я2, называют сулемой лпгеейиых подпростпранстпв Я1 и Я2. На рис. 2.5 линейные подпространства 'Н1 и Я2 представлены несовпадающими прямыми, проходящими через фиксированную точку О.

Их сумма представляется плоскостью, содержащей обе прямые. Я1+пг Рис. 2.5 Теорема 2.2. Сумма линейных подпространств данного линейного пространства является линейным подпространством в том же линейном пространстве. < Рассмотрим два вектора и и пг из множества Я1+ Я2. Согласно определению 2.3, имеют место представления х1+ х21 гн 91+ 92~ линейное подпространство, то, согласно определению 2.1, заключаем, что вектор х1+ х2, ванный сумме векторов этого линейного подпространства, тоже принадлежит Я1. Аналогично х1 + х2 Е Я2, так как каждое из слагаемых является элементом линейного подпространства Я2.

Следовательно, х1+ х2 Е Я1 П Я2. Проверим условие 2) определения 2.1. Выберем произвольный вектор х Е Я111Я2. Тогда х Е Я1 и х Е Я2. Так как Я1 является линейным подпространством, то произведение элемента х этого линейного подпространства ка произвольное действительное число Л принадлежит Я1. Но совершенно аналогично вектор Лх принадлежит и Я2. Поэтому Лх Е Я1ПЯ2. Итак, оба условия определения 2.1 выполнены.

Следовательно, 'Н1 11 Я2 является линейным подпространством. ~ 62 г. линкйнык подпрострлнстнл где векторы х,, у; принадлежат Н;, 1' = 1,2. Складьсвая эти равенства, получаем и + го = (х1+ у1) + (хг + уг). Сумма х1+ У1 векторов х1 и У1 линейного подпространства Н1 принадлежит Я1.

Точно так же сумма хг+ уг векторов хг и уг линейного надпространства Яг принадлежит Яг. Поэтому вектор и + го принадлежит множеству Я1+ Нг. Условие 2) определения 2.1 проверяется аналогично. Произвольный вектор и Е Я1 + Яг имеет представление и = х1+ хг, где х1 Е Я1, хг Е Яг. Для любого действительного числа Л получаем равенства Ли = Л(х1+ хг) = ЛХ1+ Лхг. Так как вектор Лх1 принадлежит Н1, а вектор Лхг — Нг, то вектор Ли является элементом множества Я1+ 'Нг.

Мы доказали, что множество Н1+ Нг замкнупьо опьносип1ельно линейных операций объемлющего линейного пространства и поэтому, согласно определению 2.1, оно является линейным подпространством. ° Пример 2.6. Рассмотрим две однородные системы линейных алгебраических уравнений а11х1 + а1гхг +... + а1пхп = О амх1+ аггхг +... + аг„х„= О, а,„1Х1+а гхг+...

+а,„„х„= О; с11Х1 + с1гхг +... + с!пхп = О, сг1х1+ сггхг +... + сгпх„= О, сых1 + сягхг +... + с~,х„= О. Множества решений этих систем представляют собой линейные надпространства Я1 и Нг линебного арифмеп1ического просп1ранспгеа И". Объединив обе системы в одну, получим новую 3.3.

Пересечение н сумма линейных подпространстн 6З однородную систему, множеством решений которой будет линейное подпространство Я1 П Яъ Пример 2.7. Рассмотрим две системы векторов е1, ..., еа н,~1, ..., Д в некотором линейном пространстве а',. Линейные оболочки этих систем представляют собой линейные подпространстваЯ1 — -зрап(е1,...,еа) иЯз =нрав(~1,...,Д) на.. Если мы объединим обе системы в одну, то у новой, объединенной системы линейной оболочкой будет линейное подпространство Я1+ Яз.

В самом деле, любой вектор х Е Я1+ Яз разлагается в сумму х = х1+ хг, где х1 Е Я|, хз Е Яз. Векторы х1 и хз представляются в виде линейной комбинации, первый — векторов е1, ..., еь, второй — векторов ~~, ..., Д. Значит, их сумма представляется линейной комбинацией векторов е~, ..., еь, у1, ..., Д, т.е. вектор х принадлежит зрап(е1,...,ею у1,...,Д).

Предположим теперь, что вектор х принадлежит указанной линейной оболочке,т.е.имеет место представление х = о1 е1+... + сеьеа + Д у1 +... + Я~ь Положив х~ = се1е1+... +ален, хз = 8~У~+" +АЛ, приходим к представлению х = х1 + хз, в котором х1 Е Я1, хз е Яз. Значит, х Е Я1+ Яз. Пример 2.8. Линейное подпространство из примера 2.5, являющееся линейной оболочкой зрап(ОА, О~~, можно е В представить как сумму под- А пространств Я1 = арап(ОМ) О и Яз = зрап(03) (рис. 2.6). Рис. 2.6 64 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 2.3. Прямая сумма линейных подпространств Определение 2.4.

Сумму Н1 + Н2 двух линейных подпростпранстпв Нт и Н2 данного линейноео простпранстпва называют прямой суммой, если для каждого вектора х иэ Нт + Н2 его представление х=хт+хэ, хтЕНм х2ЕН2, .динственно. Прямую сумму линейных подпространств Нт и Н2 обозначают Нт еН2. Прямая сумма как частный случай суммы линейных подпространств по теореме 2.2 является линейным подпространством.

Пример 2.9. Сумма линейных надпространств Н1 и Н2 в примере 2.8 является прямой. Действительно, представление произвольного вектора ОЛт в виде ОХ~ = ОМт+ ОМ2, где ОМ1 Е Ны ОМ2 Е Н2, равносильно представлению этого вектора в виде линейной комбинации векторов ОА и 03, так как, согласно определению подпространств Нт и Н2, Опт — — ЛтОМ, ОМ2 = Л2Олт для некоторых чисел Л1 и Лэ. Но так как векторы ОА и ОВ линейно независимы, такое представление единственно. Теорема 2.3. Для того чтобы сумма Н1 + Нз линейных подпространств Нт и Н2 была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих линейных подпространств было нулевым подпростпранстпвол, т.е.