Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 11

25) равна 2з, полупролет 1, а стрелка провеса 7, то имеет место приближенное равенство 1(1 + з ! ) а) Подсчитать, какое изменение произойдет в длине нити при изменении ее стрелки провеса Г на величину >(7. б) Если учесть изменение длины провода дз (например, от изменения температуры или нагрузки), то как изменится прп зтам стрелка провеса? 904.

Сравнить погрешности при нахождении угла по его тангенсу и по его синусу с помощью логарифмических таблиц, т. е. сопоставить точность нахо>кдеиия углахпо формулам 1Я з)ох=-у 1 и !81дх=г, если у и г даны с одпнакавымн погрепшостямн. 905. Прн технических расчетах часто сокращают и и РЯ )/ и (д — ускорюше силы тя>кестп), когда одно из этих чисел стоит в числителе, а другое — в знаменателе. Какую относительную погрешность делают при з>ол? 906.

Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал: 1) р, 1,/хг+ 5х х 1>+ 21+ 1. Р— ! ! 2) з=соззх, г= —; 3) г=агс1пп, и= 4) о=З-'>", х=)п !аз; 5) з=е', г=;-!п1, 1=2и' — За+1; ! 6) р =! п 1д —, и = агсз! п и, и = соз 2з. Днфференцируемость функций 907. Функция >5=!х! непрерывна при любом х. Убедиться, что при х=О она недифференцнруема. 908, Исследовать непрерывность и днфференцируемость функции р= — (х'! при х=О. 909.

функция ) (х) определена следующим образом: 7 (х) = 1+х для х(О; ~(х) =х для О(х<1; > (х) =2 — х для 1:к==2 и 7(х) =Зх — х' для х)2. Исследовать непрерывность 7(х) и выяснить существова>ше и непрерывность 1'(х). 3 Г. и. вегчвн гл, пь пгоизаоднхя н ДИФФегенцнлл 910. Функция д=(з1пх( непрерывна при любом х. Убедиться, что при х=О она педифференцируема. Имеются ли другие значения независимой переменной, при которых функция недифферен. цируема? 911. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции у=е — цн при х=-О. 912. 1(х)=х'з1п — при х~О, 1(0) =О.

Будет ли функция((х) 1 дифференцируемой при х= О? 913. 1(х)= при хчьО, )(0)=0. Будет ли функция р' х 1(х) при х=О непрерывной и дифференцнруемой? 914. Дана функция )'(х)=1+к'(х — 1)'. Показать, что при х=1 из приращения функции нельзя выдели1ь линейную главную часть, и поэтому 1(х) прн х=! не имеет производной. Истолковать результат геометрически. 915.

1(х) = х агс1ц — при х Ф О, 1(0) = О. Будет лн функция 1(х) 1 при х=О непрерьвной, дифференцпруемой? Истолковать результат геометрически. 916. !'(х)= — ", при хФО и 1'(0)=0, Будет ли функция !+ем" г(х) при х = 0 непрерывной; дифференцируемой? 9 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры) Относительная скорость 917. Точка движется по архимедовой спирали р=аф. Найти скорость изменения полярного радиуса р относительно полярного угла <р. 918. Точка движется по логарифмической спирали р = е'т. Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с угловой скоростью ы. 919.

Точка движется по окружности р=2гсоэчр. Найти скорости изменения абсциссы н ординаты точки, если полярный радиус вращается с угловой скоростью ы. Полярная ось служит осью абсцисс, полюс — началом системы декартовых координат. 920. Круг радиуса 1? катится без скольжения по прямой. Центр круга движется с постоянной скоростью о.

Найти скорости изменения абсциссы х и ординаты у для точки, лежащей на границе круга. 92!. Барометрическое давление р изменяется с высотой й в соответствии с функцией !п -Р =ей, где через Р, обозначено нормаль- Ра З 4. пгоизводпля клк скогость измгпспия иое давление, а с — постоянная. На высоте 5540 м давление достигает половины нормального; найти скорость изменения барометрического давления с высотой. 922. у связан с х соотношением у' = 12х. Аргумент х возрастает равномерно со скоростью 2 единицы н секунду. С какой скоростью возрастает у при х = 3? 923. Ордппата точки, описывающей окружность х'+у'=25, убывает со скоростью 1,5 см?с. С какой скоростью изменяется абсцисса точки, когда ордината становится равной 4 см? 924.

В какой точке эллипса 1бх'+9у'=400 ордината убывает с такой же скоростью, с какой абсцисса возрастает? 925. Сторона квадрата увеличивается со скоростью п. Какова скорость изменения периметра н площади квадрата в тот момент, когда сторона его равна а? 926. Радиус круга изменяется со скоростью о. Какова скорость изменения длины окружности и площади круга в тот момент, когда его радиус равен г? 927.

Радиус шара изменяется со скоростью о. С какой скоростью изменяются объем и поверхность шара? 928. При каком значении угла синус изменяется вдвое медленнее аргумента? 929, При каком значении угла скорости изменения синуса и тангенса одного и того же угла одинаковы? 930. Скорость роста синуса увеличилась в п раз. Во сколько раз при этом изменилась скорость роста тангенса? 931. Предполагая, что объем ствола дерева пропорционален кубу его диаметра и что последний равномерно увеличивается из года в год, показать, что скорость роста объема, когда диаметр равен 90 см, в 25 раз больше скорости, когда диаметр равен 18 см. Функции, заданные параметрически 932. Проверить, лежит ли заданная декартовыми координатами точка иа линии.

уравнение которой дано в параметрической форме: а) Нежит ли точка (5, 1) на окружности х=-2+5 соз1, у= — 3+ + 5з)яр? б) Лежит лп точка (2, р~З) на окружности х=2соз1, у = 2 з!и 1? 933. Построить графики функций, заданных параметрически: а) х = — 3 соз 1, у =- 4 ь ш1; б) х = 1' — 21, у = 1з+ 21 в) л' =-соь1, у==1+2 з!п1; г) х.=-2' ~, у= 4- (1з+ 1). 1 934. Из уравнений, параметрнчсски задающих фушсцню, исключить параметр: !1 х — -31, у=51 — 1з; 2) х==соз1, д=з!п21; 3) х == Р+ 1, у =1з; 4) х = гр — з)п ~р, у = 1 — соз <р; 5! х = 101, у = з ! и 21+ 2 соь 21. 3' Гл.

н!. иго<!зноднля и дис ьеявнц<ил 935. Найти значение параметра, соответствующее заданпьни координатам точки на липин, уравнение которой дано в парамет- рической форме: 1) х=3(2сов1 — сов 21), у=З(2в1п1 — яп 21); ( — 9, 0); 2) х=(<+21, у=у<+1! (3, 2); 3) х=2 181, »=2 я'и<1+в<и 21; (2, 2); 4) х= 1< — 1 у=!в — 1; (О, 0). В задачах 936 — 945 найти производные от у по х. 936.

х=асовч<, »=Ьв<п<р. 937. х=асовв<р, у =Ь яп'<р. 938. х=а(<р — в<п<р), д=а(1 — сов<р). 939. х=1 — 1', у=1 — 1в. «+! ! — ! 940. х= —, у= — ° а941. х=!п(1+1<), д = 1 — агс!и 1. 942. х = <р (1 — в <п «р), у = р сов <р. ! -<-1< !. 943. х= — ' Р-- !' »=в Р— !' 944. х=е'яп1, у = е' сов 1.

зя! заР 945. х= —,, <+!«' »=в <+!» В задачах 946 в 949 найти угловые коэффициенты касательных к данным линиям. 946. х = 3 сов 1, у = 4 я и 1 в точке (3 )/2!2, 2 '$ 2 ). 947. х =-1 — 1<, у=(в — 1в в точке (О, 0). 948. х=(в+1, »=1<+1+! в точке (1, 1). 949. х =2сов1, у=яп1 в точке (1, — )ГЗ<2). 950. Для линия, заданной в параметрической форне, указать связь мемсду параметром 1 и углом а, образованным касательной к липин с осью абсцисс: и «< . 1) х= — сов1+1вн<1 — < ов1, д= в<п1 — 1сов1 —: <п1, 2) х=-асов«1, у=-авнг" 1; 3) х = а сов 1 )1 2 сов 21, у = а в <и 1 г' 2 сов 21. 95!. Убедиться в том, что функция, заданная паранетрнчсски уравнениями х=.

21+31<, у= — 1<+2!в, удовлетворяет соотношению у=- у'-'-',-2у'в (н<трнхов< обозначено дифференгп<ронанне пах, т. е. «Х< ' Эд2~ УОС;с!сТЬСЛ и '!о!<< 'сто Функция, заданная парав<етрнчесни <!< 3 а хр«<снсннявн! х =- — ',,—, и-=.', +, удовлетворяет соотиогиени<о + д '!» <<х~ ' 69; 4 с пгопзводнхя клк скогость изменения 953. Убелиться в том, что функция, заданная нараметричсски уравнениями х = с1! 21, у= з1! 21, удовлетворяет соот ошешио уу' — х=О (у' = ла1 л.) 954. Убедиться в том, что функция, заданная параметрическн уравнениями 1+У1-,-1- !' И-~ В ., > !'1+!! удовлетворяет соотношению у)/1+у"=у' (д' = л,], 955.

Убедиться в том, что функция, заданная параметрически 1+1пг З+21п1 уравнениями х= —,, у=, удовлетворяет соотношению уу' = 2ху" + 1 (у' = -"1 . лх! ' 956. Найти углы, под которыми пересека1отся л1пши: 1) у=хе и х= -соз1, д=- -з!п1; а Б 3 ' 4' км ч! !'З 2) х=асоэгр, у=аяп<р и х= —, у= —, !+Р' 1+Р 95!. Показать, что при любом положении производящего круга циклоиды касательная и нормаль в соответствующей точке цик- лонды проходят через его высшую н низшу1о точки, 958.

Найти длины касательной, нормали, нодкасательной и полнормали к кардиоиде х = а (2 сов 1 — сов 21), у = а (2 Ми 1— — а1п21) в произвольной ее точке. 959. Найти длины касательной, нормали, подкасательной, под- пормали к астроиде х=аз!и'1, у=асова1 в произвольной ее точке. 950. Доказать, что касательная к окружности х'+у'=а'"' слу- жит нормалью к эвольвенте окружности х=а(соз1+1яп1), у=а(яп1 — 1соь1). 96!. Найти длины касательной„нормали, подкасательной и поднормали эвольвепты окру!к!!ости (см. уравнения последней в предыдущей задаче). 962.

Доказать, что отрезок нормали к кривой х=2аэ!п1+ +аь(п1соР1, у= — асов'1, заключенный между осями коорди- нат, равен 2а. и задачах 963 — 966 составить уравнения касательной и нор-, мали к данным линиям в указанных точках. 963, х=2е'1 у=а-' при 1=0. 964. х=з!п1, у = соз 21 при 1= н16. 965. х=2 !пс!и!+1, У= !61+с!61 пРи 1=а/4. 966. 1) х = —,, д = — „при 1 = 2; За! ЗаР 1+Р ' 1+Р ГЛ. ПЕ ПРОИЗВОДИАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 2) х = ( (| сох 1 — 2 з|п (), у = 1 (1 з|п (+ 2 с оь () при 1 = п)4; 3) х=з|п |, у=а' при 1=0.