Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 6

Функция ! (К) ="— „, не определена при х = 1. Каким должно быть значение )'(1), чтобы доопределенная этим значением функция стала непрерывной прн х=1? ЯПХ СОТЕ 22?. Какого рода разрывы имеют функции д= — н д= — ' Х Х прн х =-О? Указать характер графиков этих функций в окрестности точки к=О. 223. Исследовать непрерывность фчнкцнн, заданной так: д =- —- !х! х при х-~О, д=О при х = О.

Построить график этой функцпн. Будет ли эта функция непрерывной? 222. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы н равны б 1л, поставлены друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получившегося тела как функцию расстояния сечения от нижнего основания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной? Построить ее график. 223.

Пусть Э К НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 229.'~Сколько точек разрыва (и какого рода) имеет функция д = — ? Построить ее график. !Е,,к, 1 '230. Функция д=агс12 — не определена в точке х=О. Можно ли так доопределить функцию ~(х) в точке х=О, чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.

23!. Исследовать непрерывность функции, определенной так: ~(х)=з!и —" при х~О, г(О)=!. Построить график этой функции. 232. Построить график функции 7(х) =хз(п —. Какое значение должно иметь ~(О), чтобы функция ((х) была везде непрерывной? ! 233. Доказать, что функция д= — имеет в точке х=О ! 12НК разрыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности точки х=О. ! 234. Исследовать характер разрыва функции д = 2-" ' в точке х=1. Можно лн так определить д при х=1, чтобы функция стала непрерывной при х = 1? 2нк 235.

Исследовать характер разрыва функции д= в точке 2Н» х=О. 238. Функция г(х) определена следующим образом: г(х) ! ! =(х+1)2 !!"! "! при х?ЕО и !'(0)=0. Доказать, что в интервале — 2~х~2 функция !(х) принимает все без исключения значении, содержащиеся между г( — 2) я ! (2), и что она Все же разрывна (в какой точке?). Построить ее график. ! 237. Исследовать непрерывность функции д = . Выяснить !+2м» характер ее графика.

238. Функция определена так: если х-рациональное числа, то ?(х) =0; если х -иррациональное число, то г(х) =х. При каком значении х эта функция непрерывна? 239. Исследовать непрерывность н построить график функции: 1) д=х — (х]; 2) д= — „,; 3) д=( — 1)!"!. 1 (функция [х1 равна наибольшему целому числу, не превосходящему х (см. задачу 59).1 240. Используя свойства непрерывных функций, убедиться в том, что уравнение х' — Зх=! имеет по меньшей мере один корень, заключенный между 1 и 2.

й Г. М. Вкрмкк ГЛ,П.ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 24(а. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень; б) многочлен четной степени имеет по меньшей мере два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициенту при его старшем члене.

242. Показать, что уравнение х 2лаа 1 имеет по меньшей мере один положительный норень, не превосходящий 1. 245. Показать, что уравнение к=аз(пх+Ь, где 0(а«1, 5»0, имеет по меньшей мере один положительный корень и притом не превосходящий 5+а. 244'. Показать, что уравнение — '+ ~ + — '=О, где — — )! — ха и! О, аа О, аа.» О и Х!(Ц(Х,„имеет два действительных корня, заключенных в интервалах ().„ха) н (Х„)!а). 2 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малым Функции целочисленного аргумента В задачах 245 †2 найти пределы. '245. 1' —. 246. И вЂ” ) '247. И + 2»' " ' „Н11 (и+!)*+( -!) ' па — !ОО»!+1 . 1000»!+Зла 246' ИШ !ОО +!6» "240 И„'" О,ОШ» Ни +! (л+ !)' — (и — 1)' . (2»+ 1)' — (и — 1)' 250 1!щ (.+1).+(и 1)' 251 1' (2.+!)+(.

1). ° а 2 1 е 252 а "+ " ' 253. !! -'-„:=Т-. л а» »+2 Йа,а, . 25!.а (р'ла.). 1 1»)з ' . )1»~ — 2п~+ !+1I па+1 л а, тагила+ ! ' л-са к»а+6»1+2-Р"л!+3»'+1' а 256, Ип); + ' . '257. 1пп Э па+2 — па+ ! . л) 1 ! 1 2 4 '" йк 260. 1пп л аа 3 9 "' 3" е 261. 1пп —,(1+2+3+...+Л). л аа : ааа !ы ( "' — т), л+2 4 1.

нахожцение певделов 265 1' ! ' и, (1 ° 3+ 3 5+'''+ (2п — 1) (2л+!))' 1 а 266. !ип — „. «26?. 1!пт —, 2" — ! Зп , 2"+1' п сов яп Функция непрерывнагп аргумента 290. 1'ип )/ »1+ 1 — ~/ха+! ф'~ + ! — ~/'»с+1 Г Г"+3-$'К+ 292. т »1.(- ! В задачах 268 — 304 найти пределы. с 268.

11ГП вЂ”, х — + )' О х — 4 х 270. )ип — „. х а 27!. 1ип +,+!. »1 — 3 к 1 х Хх 272 !. х — 2х+1 278 !! х +Зх +2» к 1 ха — х х 1 х' — х — а ' , 274. 1ип (х ')1 2 ", 275. 1ип хх — 1 * 1 0»х — ах+1' х 276. 1!п! х . 277. 1!и! ( — — —,) ° ха+ х — 2 ° ! 1 3 к! — хх — х+1' 1 11 — х 1 — хх х+2 х — 4 ,;~;.. +.-"1. хсх — 1 280.

Игп — „( (и) и п-целые числа). к-1»" — ' 281. 1!1и! +,, 282, 1'ип —, 283. !ип — „, 284. 1ип +„,+3„,. х со х со с Зха (2х — 1) (Зхх+ х+ 2)~ к оа 2»+1 (х 1 )ра (-(х+2)11 1 ... +(х+ 100)11 »1а+ 1010 х со 289 !., 1 "+ +~'» х -1. са ~/ Хх -). х — Х ~с »1+3+у'Зх~ — 1 29!. 1!и) 2а Гл. н. НРедел. непрерывность г 293. 1нп ' ' +х' ' к,о Х * 295.

1пп к О УХО+ 16 — 4 а 297. Игп— 1 1'Х вЂ” ! 299. !Нп О х о О, !. 1" — ~-У=» к о Х» — а» о Ог Х вЂ” ! 302. 1пп (л и пг — целые числа). ! Р'х — ! Ф1+х» — т ! — Ех .. ,"ГУ+ Π— 4 3+ХО *к О х+ха х — 1 305. Как изменяются корни квадратного уравнения ах'+Ьх+ +с=О, когда Ь и с сохраняют постоянные значения (Ь~О), а величина а стремится к нулю? В задачах 306 — 378 найти пределы.

': 306. Игп ($~Х+а — )/х). 307. Ип1 Огха+1 — ) ха — 1). к к о» с 308. 1пп (3/ха+! — х)'). 309. 1нп х( ха+1 — х). .»- о» к +о» 310. Игп (~(х+ а) (х+Ь) — х). к +о» ' 311. !Пп (Уха — 2х — 1-)/ха — 7х+3) ° К +О» 312. 1нп (рг(х+1) М (х — 1) ). 313. Игпх" ()г ха-)- ! — Ух' — 1). к о» 318. 1пп —. 315. 1'нп —. гя»х К О 314. 1Пп — ' ап Зк к О х 317.

1Пп —. га Рх к ОЫПЗХ' о О .» О и гп — целые положительные числа). ух — агсап х 320. !Пп „2х+агс!8х ' *) 8 примерах, где ухаааио х-о-~-оэ, следует отдельно рассматривать случаи х-о-1- оо и х-о — о». 5 е. нАхОЩДение пРеделОВ Зг 322. Г! ! о ко!п2х ) п) 336. 1!гп ,Уз х — — — сов к е 2 338. 1пп (2х !6х — — „). х 340 !. смак-' рх к е вгп' а — япв 6 (гп а-В пп (а+2Л) — 2 яп (а+А)+ яп а 343. !пп лв л е 1а(а+2й) — 2 12(а+Л)+1Еа 344, 1!гп л' л-е !' 2 — УТ+смх в!пах 347.

(пп У!+к вгп х — У сов 2х х о гзв 2 е У1-агсяп2х — У1+агс122х 350*. 1пп Уп -~ агссовх Ух+1 1 соек х о 324 1! гп 1+ "" " о 1 — Пп к — сов х 326. 1!гп 1ао а — яп" а' 1гяаи Х о 328. 1пп — „' —,. '330. 1пп — "."',".

„в!и 2к' 332. 1пп — '„,. а х1 пв 334. 1!гп~в(п" — 1(( —,"). 323. 1!гп „ - О~- о' в 325. 1пп Е а о 1 1 327. 1пп( —. 15!и Х 1Я х / 329. !Нп,, и Гг (1 — япх)в к 33!. 1пп ~-"--х) (дх. Х ° 333. 1!и! (1-2) !22™. о ! 2' 333 1. сов х — вгп х сов 2х е 1 — в!и-- х 337. 1!гп к по, 21 4 4) 338 1(гп сгЯ (а+в) — см (а — к) а 341. 1!гп в!п (а+ к) — в1п (а — ку «-о 12(а+х)-1К( -х) У 1+яп х — У 1 — в!п х 346.

1пп о 34 à — сое х 1' см 2Х 348. 1!Пг х о ГЛ, И, ПРЕДЕЛ. БЕПРЕРЫЕНОСТЬ ' И. ( —.".)' 352. 1ип (1 — — ) . х+1 353, !ип(1+--) . 354. 1ип (1+--) х+1 359. !ип ( — +) . 360. Ии! (1+ —,) . ' 361. Игп (1+ — ) . 362. !ип („, ), ! 363. Игп(1+1!пх)со"ск, 364. Игп (1 ! 161)х х)о . Х О к О !п(!+Ах) 366 1' п(а+ ) Х О х о х а367. 1ип (х[1п(х+а) — 1пх1). х со !ах — ! ал 368. Игп —.

369. !ип —. Х вЂ” О л о !37!. 1ип —,. 372*. !ип 'К 1К вЂ” !' к о ес!П Ок ХС!П Х т ООХ ООХ 374. 1ип . 375. 1ип— х о х 1 1376. Игпх(е" — 1) 377. 1ип (с(гх — ЕИх). 378. 1ип Йх. оок 370. !ип —, зх 373. Ипг:.~ к о х .!со к го со Разные пределы В задачах 379 †4 найти пределы. 379. 1ип †„ . Отдельно рассмотреть случаи, когда л есть: (ах+ г)к к ко+А ' 1) целое положительное число, 2) целое отрицательное число, 3) нуль. 380. 1ип х([/хо+)гх'+1 — х)г 2), к -1-со 381. 1ип — (а)0).