Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 8

Дать определение силы переменного тока. 438. Термическим коэффициентом линейного расширения стержня называют приращение единицы его длины при повышении температуры на 1'С, если предположить равномерность теплового расширения. На самом же деле процесс протекает неравномерно. Пусть ! = г (!), где ! — длина стержня, ! — температура. Дать определение коэффициента линейного расширения.

439. Коэффициентом растяжения пружины называют приращение единицы длины пружины под действием единичной силы, действующей на каждый квадратный сантиметр сечения пружины. При этом предполагается пропорциональность растяжения действующему усилию (закон Гука). Дать определение коэффициента растяжения й в случае уклонения от закона Гука. (Пусть !— длина пружины, Я вЂ” площадь поперечного сечения, Р— растягивающая сила и 1=~р(Р) ) Производная функция 440. Найти приращение функции у=х' в точке х,=2, полагая приращение Лх независимой переменной равным: 1) 2; 2) 1; 3) 0,5; 4) 0,1 441. Найти отношение — - для функций: Лу Ьх 1) 5=2ха — х'+1 при х=1; Лх=0,1; 2) р= ! при х=2; Лх=001; к 3) у=)~ х при х=4; Лх=0,4.

Показать, что при Лх-+.0 предел этого отношения в первом случае равен 4, во втором равен — !!4, в третьем равен 1/4. ГЛ. ПЬ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ 442. Дана функция у=ха. Найти приближенные значения производной в точке х=З, полагая последовательно йх равным: а) 0,5; б) 0,1; в) 0,01; г) 0,001. 443. 1(х) =»'. найти Г' (5); ~' ( — 2); T ( — 3/2). 444. ~(х) =»ь, найти ~'(1); ф'(О); ~'( — р'2); ~'(1!3). 445. ~(х) =х'. В какой точке ((х) =('(х)? 446.

проверить, что для функции г(х)=х' справедливо соотношение Г' (а+ 6) = ~' (а)+Г (Ь). Будет ли это тождество справедливым нля функции ~(х) =ха? 447. Найти производную функции у = зип х при х = О. 448, Найти производную функции у= 16» при х= 1. 449. Найти производную функции у=10» прн х.=О. 450. Известно, что 7'(О)=О и существует предел выражения 7(»1 — при х-РО. Доказать, что этот предел равен 7 (0), У 451. Доказать теорему: если ((х) и ~?(») при х 0 равны нулю ~(0) = О, ф (0) = 01 и имеют производные при х =О, причем ~р'(0) ~0, то 1пп — = —, 1(»1 Г (о) тч(»1 ч (оГ 452. Доказать, что если 7(х) имеет производную прн х=а, то 11тп " '1 1=7(а) — а('(а).

д А Х вЂ” а 453. Доказать, что производная четной функции есть нечетная функция, а производная нечетной функции-четная функция. Геометрический смысл производной 454. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе у=х'. 1) в начале координат„2) в точке (3, О); 3) в точке ( — 2, 4); 4) в точках пересечения ее с прямой у= = Зх — 2.

455. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе уРэх',равен 3? 456. В какой точке касательная к параболе у= х'. 1) параллельна осн Ох, 2) образует с осью Ох угол 45'? 457. Может ли касательная к кубической парайие у = х' составлять с осью Ох тупой угол? 458. Под какими углами пересекаются парабола у=х' и прямая Зх — у — 2 =0? 450.

Под какими углами пересекаются параболы у=х' и уэ=х? 466. Под каким углом пересекается гипербола у=!(х с параболой у = )г х ? а з. днеевавнциеованив и нкции 461. Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой у=х' в точке с абсциссой 2. Найти подкасательиую и поднормаль. 462. При каком значении независимой переменной касательные к кривым у=х' и у=х' параллельны> 463. В какой точке касательная к параболе у=х': 1) параллельна прямой у = 4х — 5; 2) перпендикулярна к прямой 2х— — бу+5=0; 3) образует с прямой Зх — у+1=О угол 45'? 464.

Доказать, что подкасательная, соответствующая любой точке параболы у=ах', равна половине абсциссы точки касания. Используя это обстоятельство, дать способ построения касательной к параболе в данной ее точке. 465, Доказать, что нормаль к параболе в любой ее точке служит биссектрисой угла, составленного фекальным радиусом точки н прямой, параллельной оси параболы и проходящей через данную точку, й 2. Дифференцирование функций Степеннйе функции В задачах этого раздела х, у, г, 1, и, о, з — независимые переменные; а, Ь, с, д, и, и, р, д — постоянные. 466. Продифференцировать функцию: 1) Зхз — 5х+1; 2) х' — — ха+2,5х' — О,Зх+0,1; 3) ахз+Ьх+е; 4) у~х+~/2; 5) 2$'х — — +~ 3; 6) 0,8~/ у — аз+ з —,а, х + и + х + 3й 8) юх" + ах) х я)' х й) Пм +ля+ад — — —,Ф1 у~-„~/-„- „Р+ч 10) 0 П з — †' -(- †' 11) (х — 0 5)' 12) )/х (хз — ) 'х + 1); 13) (о+1)'(о — 1); 14) 0,5 — 3(а — х)'; 15) (а+~~а ") ( ";"7 461.

~(х)=Зх — 2)' х; найти ~(1); ~'(1); ~(4); ~'(4): 1(п'): 1'(а') 466. /(1) =,; найти г ( — 1); ~' ( — 1); Р' (2); У' ~ а). 470. ~(х)=4 — 5х+2хз — ха. Показать, что 1' (а) =1'( — а). В задачак 471 — 489 продифференцировать указанные фуикпин. ГЛ. П!. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕЕЕИЦИАЛ 471. 1) у=(хь — Зх+3) (хх+2х — 1); 2) у=(хх — Зх+2) (х" +х' — 1); 3) у=(ф"х+1)( — — 111 (ух /1 4) у= ~= — )Г 3)(4ху'х+~ )1 5) у=(у'х+2х)(1+у'х'+Зх); 6) у=(х'-1) (х' — 4)(х' — 9); 7) у=(1+)/х)(1+3 2х)(1+)/Зх).

472. у= —. с+! х х — 1' 478. д= —. х!+ 1' 474. а=— 3!!+1 ии — 2и ! — ! ' 475. и=— их+и+1' 476. У=х+ —. 477. В=3 3ха +(хь-1)(1 — х). 478. и= —. ис 1 !в ха !Р— 2' 479. у=— 1+х' 2 их — и+! 480. у= —. ха 481. и=— а' — 3 482. д= —. ! — хс 1 ) Л 483. г= —, !з+!+1' 484.

В=И 3, е. 485. у= —,. х~+ х — 1 3 486. у= „. 487. у= ( ах+ Ьхи а*Ь'с! 488, у= —,. 489. у= аж+ ЬЬР' (х — а) (х — Ь) (х — с) ' 490. 7(х) =(хх+х+1)(х' — х+1); найти ('(0) и !" (1). 491. Р (х) = (х — 1) (х — 2) (х — 3); найти Р' (О), Р' (1) и Р' (2). 492. Р(х) =,+ + „.,+,1 найти Р'(О) и Р'( — 1).

1 3 493. З(!) = — „+ —; найти а' (О) и з'(2). 494. у(х)=(1+хи)(5 — ~,); найти у'(1) и д'(а). 495. р(ср) =! ,'Р „; найти р'(2) и р'(О). 496. юр(г) = —,; найти си'(1). 497. г(1) =()' )!3+1)1; найти г'(О). В задачах 498 — 513 продифференцироаать данные функции. 498. 1) (х — а)(х — Ь)(х — с)(х — с(); 2) (х'+1)'1 3) (1 — х)"1 4) (1+ 2х)зо. 5) (1 хх)зо.

5) (5хь+ха 4)а. 7) (хь х)в. 8) ~7хз — — +5); 9) а=(1з — —,+3); 1О) у=('— ) 1 з а диееееянциповлние еункции 11) у~(',+к); 12) у=(2х'+Зк'+6к+ 1)'. (5+4)~ н 499. и= —. к+3 ИЮ. з= —. (! — !)м 1+)' к ! — )!' 2к 501. д==. !+у зк 502. у= !+('йк' ! )$ 503. у=3/1 — хк. 604. у=(1 — 2хк) ' !! !к! 2 ю605. и =~ — „~ (кк — к+ !)к' ! а~ Г ! 508. у=у — +„-1, мв.

! ! !!!. у= ~~* ! — *'-о' у ! — к ! 5!!. у= 51. и= 1 3 613. у= —,+ —, ~~/ 2к — ! (/ (кк+ 2)к 5!4. и (и) = (пз'+и+2)'14; найти и' (1). 515. у(х)=)/ — „,; найти у'(2). Ы6. у(х)=~l +„,, найти у'(О). Тригонометрические функции В задачах 517 — 546 продифференцировать данные функции. к 5! 7. у = ып х+ соз х. 518. у = — „. 619. у= С 14 к е520.

р=!рып!р+созч!. Х к з!пк "' 523. у= . —. ю 524. у= —. к!и к+сов к' = !+!ах' 525. у=соках. 526. д= — 18кх. 4 527. у=созх — — соззх. к 528. у=За!п'х-ып'х. 3 529. у= — 16'х — 1ах+х. 530. у=хасс'х-1их, ! 3 531. д=зесзх+созес'х. 532. у=ыпЗх. 533. у=асоз —. 3' 534. у=Зып(Зх+5). ГЛ. Ц1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Б35. у=(5+, 537. у=в!и —. 1 х' 536. у=)/1-!-216».

536. у=яп(япх). 540. у=1/ 16-5, 1' 2* 542. у=с16уГ1+ха. 544. у = ~г 1+ 16 ~х + — ) . а 539. у = сова 4х 541. у=в!п)/11+»1. 543. у=(1+в!Пах)а. в! — г'х 545. у=сов'=. 546. у=яп'(сов Зх). 1+)"' 547. Вывести формулы (в!Пах сов ах)' = а ип" ' х сов (а+ 1) х; (в1па ха!пах)г а в!и» 1х в1п (а ! 1) х' (сов"хв1пах) =асов" 1»сов(а+1)»; (сов"хсовах)'= — асов 'хип(а+1)х. Обратные тригонометрические функции В задачах 548 — 572 продифференцировать данные функции. Б48.

у=х агсв!Пх. 549. у= —. аГсюп х агссоа х' 550. у= (агсв!п х)'. а Б51. у=хагсв!Пх+УГ) — ха. 552. у= —. 1 553. у=»в!Пхагс(6». агсяп х' 554. у= — „. 555, у=1гх агс16». 556. у = (агссов х+ агсв!п х)». 557. у= агсвесх. 558 у= 1+ в — агс16». аГсип х ха 559, у=— а "560. у= —.

агс12 х' 2х — 1 561. у=агсв!п(х — 1). 562. у=агссов —. г'3 563. у=агс(6». й 564. у=агсвгп —. 2 х 565. у = агсип (ип х). 566. у = а ге 18' . — . 11 567. у= г'1 — (агссовх)'. 568. у=агсв!п 1/ —. Р 1+х' 569. у= — агсв!и )г х'+2х. 2 В Е ДНФФЕРЕНЕ!ИРОВАНИЕ ФУНКЦИЯ 670. '7 572. / у = агсв(п 1 — сава апх' у= агс(б(х — г' !+ха) 571. У=агссов а+ассах' Логарифмические функции ренцнроаать данные функции' 574.

д= 1пвх. а576, у=)/1пх. 578. у = х в 1п х 1п я. 580. у= — „„. !и х 1а х 582. у= —. 1+ х' БВ4. у=УтХт» . 4586. у= 1п(хх — 4х). 588. д = 1обв(х' — 1). 590. у !п агссов 2х. 592. у= агс!611п (ох+ 5)1. 594. у =!обх (1обв (1обв х)1. 596. у = агсв(пв [1п (ах+ хвф В задачах 573 — 597 п.родиффе 573. У=хв 1обхх. б75. у = х 18 х. х — 1 Е577, у= —.

1аав х 1 579. у= —. 1пх' 1 — !ах 581 ° У= ! ~.~пх' х» 1пх. „585. У =1п(1 — 2х) 587. У=)пв1п"' б89. У=)п!Н»' 59!. у= 1пвв)пх. 593. У=(1+!пв!пх) . 595. У=1пагс16)Г!+хв. »+3 Е 597. у = 1п в1п —. 4 598. у=2". 599. У=10". 600. д= —. ! 3»' 60!. У=4т. -669. У=х 10. "603. У=хе . 604. д= —. ° 666. у= —. 606.