И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 47

Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума (рис. 11.1, б). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу — его будет поддерживать э. д. с, самоиндукции, Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на конденсаторе достигнет максимума.

С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т. д.— процесс будет повторяться. В контуре при отсутствии сопротивления проводников будут совершаться строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нем и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей. Если же сопротивление проводников )с ~ О, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту. Сопротивление проводников цепи И принято называть а ктн вн ы м сопротивлением. Рис. ! !.2 Уравнение колебательного контура. Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности ), активное сопротивление )с' и внешнюю переменную э. д, с.

3' (рис. 1!.2). Прежде всего выберем положительное направление обхода контура, например по часовой стрелке. Обозначим через д заряд той обкладки конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с выбранным положительныч направлением обхода контура, Тогда ток в контуре определяется как Следовательно, если !) О, то и с(д) О, и наоборот (знак ! совпадает со знаком с)д).

Согласно закону Ома для участка цепи 1 )с !. 2 где Й, — э. д. с. самоиндукции. В нашем случае и,= — Е61У81 Ч,— Ч, = ЕГ'С (знак д должен совпадать со знаком разности гр,— фи ибо С ) 0). Поэтому уравнение (11.2) можно переписать в виде С вЂ” +Л!+ — = 1Г, д/ д щ с (11.з) или с учетом (!1.1) как (!1л) Это и есть уравнение колебательного к о н т у р а — линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения о (1), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как с!с= = гр, — ~р, = д/Си силу тока( по формуле (! 1.! ). Уравнению колебательного контура можно придать иной вид: (11.6) где введены обозначения 2Р=ДД., -~= !уЕС.

(11.6) Величину ы, называют собственной частотой контура, (1 — коэффициентом затухания. Смысл этих названий мы выясним ниже. Если И'= О, то колебания принято называть с в о б о дными, При )с=О они будут незатухающими, при А' эь 0 — затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи, 1 11Д. СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные незатухающие колебания.

Если в контуре нет внешней э. д, с, И' и активное сопротивление 1с = О, то колебания в таком контуре являются с в о б о д н ы м и н е з а т у х а ю щ и м и. Их уравнение — частный случай уравнения (1!.5), когда И'= 0 и )с = 0; э+ от=О. Решением этого уравнения является функция д = д соэ (мег+ а), (11.8) где а — амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; ыо — собственная частота контура; а — начальная фаза. Значение ото определяется ~олька свойствами самого контура, значения же с/ и а — начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда д и тока / = д в момент / = О.

Согласно (11,6) ооо — — 1/ЛС, поэтому период свободных незатухающих колебаний Т о — — 2ичйС (! !.О) (формула Томсона). Найдя ток / (дифференцированием (1!.8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом с/, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток /опережает по фазе напряжение на конденсаторе иа и/2. При решении некоторых вопросов можно использовать н энергетический подход. Пример. В колебательном контуре ироисходят свободные незатухающие колебания с энергией !ч'.

Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в и раз. Какую работу совер~иили лри этом против электрических сил? Искомую работу можно представить как приращение энергии контура: ,т „,~с Ф С другой стороны, ыо оо 1/чгС, поэтому П = ыо/о1о — — ч/С/С' и, значит, Свободные затухающие колебания.

Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими. Уравнение данного колебателы<ого контура мы получим, положив в (11.5) э = О. Тогда (! 1.10) д+ 2!3д+ мод = 0 Можно показать (но мы ие будем этого делать, поскольку иас интересует другая сторона вопроса), что при (з'(ы„' решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид р = р е и соз (о!+ а), ( ! ! .

1 1 ) где (! 1.12) а д и а — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (1!.11) показан на рис. !!.3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания. Величину Т = 2л/ео называют тем не менее п е р и одом затухающих колебаний: т, т («лз) /:,:-р -Д („„) ' где ҄— период свободных незатухающих колебаний. Множитель д„,е и в (11.11) называют а м п л и т уд о й з а т у х а ю щ и х к о л е б а н и й. Зависимость ее от времени показана штриховой линией иа рис. 11.3. Напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Зная е) (!), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре.

Напряжение на конденсаторе р р у„= — =. — е и еое(а! + а). * С С (11.14) Ток в контуре др ! = — = р е и ( — р сои (а! + а) — а Мо (а! + а)!. ш После этого выражение для / примет вид )=еор е 'соз(о!!+а+()). (11.16) Из (11.15) следует, что угол б лежит во второй четверти (и/2 < 6 < и). Это означает, Рис.

! О. ! 3 Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножнм н разделим это выражение на '1/ео + Р = о!а а затем введем угол б по формулам — р/~во=соей, ео/еоо=з!пб. (11.15) что при наличии активного сопротивления /7 ток в контуре о п е р е ж а е т по фазе напряжение (11.! 4) на конденсаторе более чем на и/2. Заметим, что при ес = 0 опережение 6 = и/2. Графики зависимостей (/с(Е) и /(Е) имеют вид, аналогичный показанному на рис. 11.3 для е) (Е).

Пример. /(олебательньей контур содержит конденсатор емкости С и катушку с активным сопротивлением )7 и индуктивностью Л. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электриэеского поля в контуре в момент максимума тока. Согласно уравнению колебательного контура (! !.3) Е. — + РЕ + — = О.

ш Ч ш С В момент максимума тока д//е!Е = 0 и й/= — д/С. Поэтому искомое отношение (Уе„/Ж', = Л/Сйт. Величины, характеризующие затухание. 1. Коэффициент затухания (э и время р е л а к с а ц и и т —. время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (1!.! 1) нетрудно видеть, что т = 1/р. (1 !.17) 2. Логарифмический декремент затух а н и я Л. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т; Л= !и а (Е) = рг, (!1.!в) а(Е+ Г) где а — амплитуда соответствуюшей величины (е/, (/, /). Или иначе: (11.19) Л= !/М„ где еэ', — число колебаний за время т, т. е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Это легко получить из формул (!1.17) и (11.!8). Если затухание мало (~э ~ аешь), то еэ шэ= 1/ЙС и согласно (11.18) е. Р 2п/ьээ — — яР тЕ С/Л. (! !.20) 3. До б р от н о с т ь Е,) колебательного контура, По определению е7 = л/Л = лН„ (1!.2!) 2бв где Х вЂ” логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше 9. При слабом затухании (й' « « ьо~) согласно (1!.20) добротность (11.22) И еще одна полезная формула для Я в случае слабого затухания Яез2я —, ИЮ' ' 111.гз) где Ф' — энергия, запасенная в контуре, б(17 — уменьшение этой энергии за период колебания Т.

В самом деле, Энергия Ф' пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т. е. В'ео е т"~. Отсюда относительное уменьшение энергии за период бВ'/У = 2()Т = 24.. Остается учесть согласно (!1.21), что Х= и/С/. В заключение отметим, что при р' ь тое' вместо колебаний будет происходить а п е р н о д и ч е с к и й разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют к р итическим: (11.24) 12 „р = 2 ъ Е/С. Рассмотрим два примера. Пример 1. Колебательный контур имеет емкость С, индуктивность Е и активное сопротивление 41. Найти, через сколько колебаний амплитуда тока в этол~ контуре уменьшится в е раз.

Амплитуда тока (! аь е М) уменьшится в е раз за время т = = 1/Р. За это время совершится Ф, колебаний. Если Т вЂ” период затухающих колебаний, то Имея ввиду,что ьь~~= 1/ЕС и Р= )т/2Е,получим 41. Ф = — — — 1. гя Ср' Пример 2. Найти время, за которое амялитуда колебаний тока в контуре с добротностью Я уменьшится в и раз, если частота затухаюи1их колебаний равна ьь Так как амплитуда тока / я е "', то время ть, за которое 270 амплитуда уменьшится в Ч раз, определяется уравнением мо Ч = е .