И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 45

Пример 2. Выделение теплоты в проводнике. Пусть по прямому проводу круглого сечения радиусом а течет ток 7 (рис. 10.7) . Поскольку провод обладает сопротивлением, то вдоль него действует некоторое электрическое поле Е. Такое же значение Е будет и у поверхности провода в вакууме. Кроме того, налнчне тока порождает н магнитное поле.

По теореме о циркуляции вектора Н вблизи поверхности провода 2паН = Е Н = 7/2па. Векторы Е н Н расположены так, что век-. тор Пойнтннга направлен внутрь 7 и Рис. !0.7 Рис. !0.8 провода нормально к его боковой поверхности (рис. !0.7). Следовательно, электромагнитная энергия втекает внутрь провода нз 253 окружающего пространства! Но согласуется ли это с количеством теплоты, выделяемым в проводнике? Подсчитаем поток электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность участка провода длины 1: ЕВ ° 2па(= 2паН Е1 = 1 ° У = КУ т, где учтено, что (/ — это разность потенциалов на концах данного участка, )? — его сопротивление. Таким образом, мы приходим к тому, что поток электромагнитной энергии поступает в провод извне и целиком превращается в джоулеву теплоту.

Согласимся, что вывод неожиданный. Заметим, что в источнике тока вектор Е направлен против то. ка 1, поэтому в области источника вектор Пойнтинга направлен наружу: там электромагнитная энергия выходит в окружающее пространство, т. е. оказывается, что энергия от источника тока передается не вдоль проводов, а через окружающее проводник пространство в виде потока электромагнитной энергии — потока вектора $. Пример 3. Ва рис. 10.8 показан участок двухпроводной линии. Известны направление тока в проводах и тот факт, что потенниалы проводов ~?, ( !?э.Можно ли установить, где находится источник тока (генератор), слева или справа? Ответ можно получить, если воспользоваться вектором Пойнтинга.

В нашем случае между проводами вектор Е направлен вниз, а вектор Н вЂ” эа плоскость рисунка, поэтому вектор 8 = = ( ЕН) направлен вправо, т. е. источник тока находится слева, потребитель — справа. Пример 4. Зарядка конденсатора. Возьмем плоский конденсатор с круглыми обкладкими радиусом а. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), найдем поток электромагнитной энергии сквозь боковую еповерхность» конденсатора, ибо только там вектор Пойнтинга 8 направлен внутрь конденсатора (рис.

10.9). На этой поверхности имеется меняю- 1 шееси электрическое поле Е и вызванное ?т его изменением магнитное поле Н. По теореме о циркуляции вектора Н следует, что 2паВ = па д1?/дг, где справа стоит 2 Рис. 10 9 ток смещения через контур, показанный на рис. 10.9 пунктиром. Отсюда Н = = '?та д)?)д1. Если расстояние между обкладками й, то поток вектора Ь сквозь боковую поверхность есть а д0 д1? ЕВ2лал = Š— — 2пап = Š— !', 2 д! ' д! где )т = ла 1! — объем конденсатора. Будем считать, что этот по- т ток идет целиком на увеличение энергии конденсатора. Тогда, умножив (1) на 81, получим приращение энергии конденсатора 254 за время д! д 27 = б 4Р ° и = д ~ — 1' ) = д ~ — У) .

2 / 'х 2 Проинтегрировав зто уравнение, найдем формулу для энергии уг' заряженного конденсатора. Таким образом, и здесь оказывается все в порядке. 4 10.$. ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Давление электромагнитной волны. Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.

Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью аЕ ', а поэтому о Ф О, т, е, поглощающая среда обладает проводимостью. Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью 1 = аЕ. Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила Е,л= = ()В) = о(ЕВ), направленная в сторону распространения волны (рис, !0.10), Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны. При отсутствии поглощения проводимость а = 0 и Г „= = О, т. е.

в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду. Импульс электромагнитного поля. Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало только вещество. Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом; вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем.

Введем понятие плотности импульса С электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля в единице объема. Расчет, который мы не будем здесь прнводить„показывает, что плотность импульса (10.24) где Б = ( ЕН~ — вектор Пойнтинга. Как и вектор $, плотность импульса 6 является, вообще говоря, функцией времени и координат, Ро Ро В! и.!ОЫ Рос. !О. !О Для электромагнитной волны в вакууме согласно (10 20) ~/е,Е= ум Н, поэтому плотность энергии щ и модуль 5 вектора Пойнтинга равны соответственно; и =- ооЕ /2+ иоН /2 = ооЕ, 5 = ЕН = /оо/ноЕ Отсюда следует, что 5 = щ/ у е р,.

А так как -~/е р „= 1/с, с — скорость света в вакууме, то 5 = пс, и из формулы (10.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме С::::1 (!0.25) Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показывается в теории относительности) частицам с нулевой массой покоя, Это и естественно, поскольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов — частиц с нулевой массой покоя. Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим с помощью формулы (!0.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласно закону сохранения импульса ро= = р'„+ р, где ро, р;, — импульсы падающей и отраженной волн, р — импульс, переданный телу (рис.

10.11). Спроектирован это равенство на направление падающей волны и отнеся все величины к единице времени и к единице площади поперечного сечения, получим Р = Ро+ Ро = (о) о+ (6') с, где (6') и (6') — средние значения плотности импульса в падающей н отраженной волнах. Остается учесть связь (10.25) между (6) и (ш) и тот факт, что (ш') = р (ш). где р — коэффициент отражения.

В результате предыдущее выражение примет вид р=(!+Р) (ш) (10.26) Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как давление электромагнитной волны на тело. При полном отражении р = 1 и давление р = 2 (ш), при полном поглощении р = 0 и р = (ш). Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячих звезд). Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на 1О Па, что в 10~~ раз меньше атмосферного давления.

Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн — светового давления — было получено П. Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света. Задачи ° 1О.1. Ток смещения. Точечный заряд у движется равномерно и прямолинейно с нсрелятивистской скоростью ч. //айти вектор плотности тока смещения в точке Р, находящейся на расстоянии г от заряда на пря.чой: !) совпадающей с его траекторией; 2) перпендикулярной аго траектории и проходящей через заряд.

Р е ш е н и е. Плотность тока смешения!,„= д0/дс, поэтому решение задачи сводится к определению вектора 0 в указанных точках и нахождению его производной по времени. В обоих случаях 0 = уе,/4пг, где е, — орт вектора г. Найдем производную 2 д О/д1. !. В точке Р, (рис.!О.!2, где предполагается, что д ) О) йв 2д дг 2еч — = — — — е,= —, дГ чпг' дт ' Ччгз' здесь учтено, что для точки Р, производная дг/д! = — и. Если бы точка Р, находилась не перед зарядом д (по ходу его движения), а за ним, то вектор!,„был бы направлен в ту же сторону и имел бы тот же модуль. Итак, если у О, вектор),„~) и, и наоборот.