И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 48

Отсюда ( = ()п Ч)/р. С другой стороны, добротность (',> также связана с Р: О = и/Х = и/Р7' = ы/2Р. Исключив В нз последних двух уравнений, получим 2О = — (п ч. о 4 11.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э. д. с. В данном случае уравнение колебательного контура записывается как 7.— +)г(+ — = В с05м1, д! 9 щ С (11.26) или д+ 2РЧ+ м04 =(0„/Е) соз ы(.

(11.27) Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т. е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экспоненцнально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль).

Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид д = д соз (ы( — В), (11,28) где д — амплитуда заряда на конденсаторе; ~р — раз. ность фаз между колебаниями заряда и внешней э. д. с. и (11.25). Как мы увидим, д и хр определяются только 271 Установившиеся колебания. Вернемся к уравнениям колебательного контура (11.3) и (11.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э. д, с. и, зависящая от времени по гармоническому закону: В= 9 созм1. (11.25) свойствами самого контура и вынуждающей э.

д. с, Ф, причем оказывается, что ф ) О, поэтому д всегда о т с т ает по фазе от К Чтобы определить постоянные 77 и ф, надо подставить (11.28) в исходное уравнение (11.27) н преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты): сначала найдем ток ! и затем его выражение подставим в исходное уравнение (11.26) .

Попутно будет решен и вопрос с постоянными с) н ф Продифференцировав (!!.28) по 1, найдем I = — онг„з|п (Ы вЂ” ф) = мд,„соз (м1 — ~Р + л/2). Запишем это выражение так: ! = /о Соз (Ы вЂ” ср), (11.29) где! — амплитуда тока; ср — сдвиг по фазе между током н внешней э. д. с.

и, 7 = очг, ср = сР— л72. (11.30) Наша задача пай~и г,„и ср. С этой целью мы поступим следующим образом. Представим исходное уравнение (11.28) в виде (7 + (74 + (7с = 'о соз й (11.31) где слева записана сумма напряжений на индуктивности 7., сопротивлении )с и емкости С, Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э. д.

с. и. Учитывая соотношения (11.30), запишем; (7л 7С! = 7С! соз (со! 43), (11.32) 4 / л~ !7 = — = — сов (м1 — Ч) = — соо о7 — ~р — 1, (11.ЗЗ) с С С ьС 2/' о7 l лт 17 С вЂ” = — чьг Мо (оч — т) = сощ соо ~ о! — т + — ). (11.34) щ 2) Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что (г„находится в фазе с током 7, (7с отстает по фазе от ! на л/2, а (/с опережает ! на л/2.

Все это можно наглядно представить с помощью в е к т о р н о й д и аг р а м м ы, изобразив амплитуды напряжений и,,„= и., и,. = !.7.С, и,„, = ми. и их векторную сумму, равную согласно (11.31) вектору величины 3' (рис. !!.4). 272 ор тока 0 срр ср Рис. ! !.4 Рис. !1.5 (11.36) 273 Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить следуюшие выражения для )„, и ср: я ! (11.33) Йр+ (м(. — !утС)р ср). — 1/мС !ят= л Задача, таким образом, решена. Заметим в заключение, что полученная нами векторная диаграмма оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов. Она позволяет нагляднО, легко и быстро анализировать различные ситуации. Резонансные кривые.

Так называют графики зависимостей от частоты си внешней э, д. с. Ж амплитуд следующих величин: тока 1, заряда с) на конденсаторе и напряжений (~а, (), и б;, определяемых формулами (11.32)-— (11.34). Резонансные кривые для силы тока ! (си) показаны на рис. 1!.5. Как видно из выражения (11.35), амплитуда силы тока имеет максимальное значение при си(.

— 1/мС = = О. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура: си, „= ми = 1/~ Ы. (!1.3т) Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания )э = рс/2Е. Резонансные кривые для заряда на конденсаторе д,„(м) показаны на рис. 1!.б (резонансные кривые для напряжения с(,„на конденсаторе имеют такой же вид). Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте Ц вЂ” рс (11.38) сс, Рис.

11.6 Рис. 11.7 которая по мере уменьшения 8 все больше приближается к ьтз. Для получения выражения (11.38) надо представить с) согласно (11.30) как с) =1,е/св, где! „, дается формулой (1!.35) . Тогда у /е 4 (11.39) т (езт — езт) -1- 41!тете Максимум этой функции, или, что то же самое, минимум подкоренного выражения, найдем, приравняв производную по ьт от подкоренного выражения к нулю.

Отсюда и получим резонансную частоту (11.38). Теперь посмотрим, как перераспределяются амплитуды напряжений сую ()си У, в зависимости от частоты ет внешней э. д. с. Эта картина изображена на рис. !!.7. Резонансные частоты для (7ю ()с и У, определяются следующими формулами: сер рез езс /) — 2фтт с, 111.40! .„.. =.,гзГ:е~Р Чем меньше (3, тем ближе резонансные частоты всех величин к значению сот.

Резонансные кривые и добротность р,"з. Форма резонансных кривых определенным образом связана с добротностью Я контура. Особенно простой эта связь оказывается для случая слабого затухания, т. е. при )1'« ьтр. В этом случае ~Срез/~с (11.41) 274 (рис. 11.?). Действительно, при б « оо, величина оо„, ооо и согласно (11.33) и (11.35) (/ср / /оооС = = Ж,е/оооСй, или (/с,е рез/атее = КС/СК = (1/)ее) Д/С, а это, как показывает сравнение с формулой (11.22), и есть 1,). Таким образом, добротность контура (при !1~ << ео~) показывает, во сколько раз максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (и на индуктивности) превышает амплитуду внешней э. д.

с, Добротность контура связана и с другой важной характеристикой резонансной кривой — ее шириной. Оказывается, при Р' « оео (1! .42) Д = еоо/бео, где ооо — резонансная частота; бор — ширина резонансной кривой на «высоте», равной 0,7 от максимальной, т. е. в резонансе, Резонанс. Явление резонанса в нашем случае — это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней э. д. с. или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей.

На этом основана Вся техника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересуюшую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т. е. изменением С и ь колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией. С явлением резонанса связана и о п а с н о с т ь: внешняя э. д. с. или напряжение могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных элементах контура (на емкости или индуктивности) могут достигать опасного для жизни значения, Об этом необходимо всегда помнить! 4 11.4. пеРеменныЙ ТОК Полное сопротивление (импеданс).

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением /7, переменного тока. Под действием внешнего напряжения (оно играет роль внешней э. д, с. в) (1!.43) и = и. соз мг ток в цепи изменяется по закону ! = /,„с05 (ох1 — хГ), (11А4) где — — — 1К 42 = . (1!.45) х4 м1.

— 1/22С З/)7' +(гв — 1/.С)' Задача сводится к определению амплитуды силы тока н сдвига тока по фазе относительно (/. Полученное выражение для амплитуды силы тока! (ы) можно формально толковать как закон Ома для амплитудных значений тока н напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения величину, имеющую размерность сопротивления, обозначают буквой Я и называют пол н ы и сопротивлением или импедансом: (11.44) Видно, что при ьх = ьхь= 1/ЯС это сопротивление минимально и равно активному соп рот и зле пню Хг.

Величину, стоящую в круглых скобках формулы (11.46), обозначают Х н называют р е а к т и в н ы м с опротивлением: Х = 222|. — 1/25С. (11.47) При этом величину ьх/. называют и п ду кт и в н ы м с о п р о т и в л е н и е м, а величину 1/ьХС вЂ” е м к о с тн ы м с о и р о т и в л е н и е м. Их обозначают соответственно Хг и Х „-. Итак, Х - Х. 24-~2 2, Х-Х,— Х.

Х=ХГХ +Х . ХЬХИ Заметим, что индуктивное сопротивление растет с увеличением частоты ха, а емкостное — уменьшается. Когда говорят, что в цели отсутствует емкость, то это надо понимать в смысле отсутствия ем костного сопротивления, которое равно 1/ьхС и, следовательно, обращается в нуль, если С-~ со (прн замене конденсатора закороченным участком) . И последнее. Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное, между ними существует принципиальное различие. Оно заключается в том, что только активное сопротивление определяет необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.