И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 49
Текст из файла (страница 49)
276 Мощность, выделяемая в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и тока: Р(1) = Ы = ((«1 соз с»!сов(«с! — ср). (11.49) Воспользовавшись формулой соз (св( — ср) = соз св! соз ср+ + 5)п св| з)п ср, преобразуем (11.49) к виду Р(1) = (7„,7 (соз с«1созср+ гйп «с(соз с»! гйп ср). Практический интерес имеет среднее за период колебания значение мощности. Учитывая, что (соз ы) = '/2 и (51п ы1 соз ьс!) = О, пол)счим: сс 1„ (Р) = со«ср. 2 (1!.50) Это выражение можно привести к иному виду, если принять во внимание, что из векторной диаграммы (см.
рис. 11,4) следует (/ соз ср = й! „. Поэтому (Р) = '/Яс',„. (11.51) Такую же мощность развивает постоянный ток I = 1 / /2. Величины (11.52) называют действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуированы по действующим значениям тока и напряжения. Выражение средней мощности (! 1.50) через действующие значения напряжения и тока имеет вид (Р) = Ы соз ср, (! 1.53) 277 где множитель соз ср принято называть к о э ф ф и ц и е нт о м м о щ н о с т и. Таким образом, выделяемая в цепи мощность зависит не только от напряжения и силы тока, но еще и от сдвига фаз между током и напряжением.
При ср= и/2 значение (Р) = О, каковы бы ни были величины (/ и!. В этом случае энергия, передаваемая за четверть периода от генератора во внешнюю цепь, в точности равна энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор втечение следующей четверти периода, и вся энергия бесполезно «колеблется» между генератором и внешней цепью. Зависимость мощности от соз тр необходимо учитывать при проектировании линий электропередачи на переменном токе. Если питаемые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление Х, то соз гр может быть заметно меньше единицы. В этих случаях для передачи потребителю нужной мощности (при данном напряжении генератора) необходимо увеличить ток /, а это приводит к возрастанию бесполезных потерь энергии в подводящих проводах.
Поэтому всегда нужно стремиться распределять нагрузки, индуктивности и емкости так, чтобы соз гр был по возможности близок к единице. Для этого достаточно сделать реактивное сопротивление Х как можно меньше, т. е. обеспечить равенство индуктивного н емкостного сопротивлений (Хс = Хс). В заключение заметим, что понятие активного сопротивления шире, чем понятие электрического сопротивления проводников, образующих цепь. Последнее обусловливает переход энергии тока только в джоулеву теплоту, но воз. можны и другие превращения этой энергии, например в механическую работу (электромоторы). Активное сопротивление тогда уже не сводится к электрическому сопротивлению, а обычно значительно превышает его.
Задачи ° 11.1, Собственные незатухающие колебания. В контуре, состоящем из конденсатора емкости С и катушки с индуктивностью г'., происходят свободные незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе и, Найти э. д. с. самоиндукчии в катушке в моменты, когда ее магнитная энергия оказывается равной электрической энергии конденсатора. Р е ш е н и е. Согласно закону Ома й1 = и + в'„ где и — напряжение на конденсаторе (и = гр, — ~рэ). В нашем случае й = О, поэтому 2', = — и. Остается найти напряжение и в моменты, когда электрическая энергия конденсатора ранна магнитной энергии катушки.
При этом условии можно записать; сит си' и' си' — — — + — 2 2 2 2 2 ОтКуда (И = и,ст/2. В результате имеем (1в,(= и У ч 2. ° 11.2. Колебательный контур состоит из катушки с индук- 278 тивностью Е и незаряженного конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура )2 = О. Катушка находится в постоякном магнитном поле так, что полный магнитньш" поток, пронизывающий все ее витки, равен Ф. В момент 1 = О магнитное поле резко выключили. Найти ток в контуре как функцию времени 1. Р е ш е н и е.
При резком выключении внешнего магнитного поля в момент 1 = О появится индукционный ток, но конденсатор будет еще не заряженным. Поэтому согласно закону Ома вш в! й1 = — — — Š—. Вг Ш' В данном случае 12 = О н, значит, Ф+ ! != О. Отсюда Ф = Е!ы где !е — начальный ток (непосредственно после выключения поля). После выключения внешнего поля процесс будет описываться уравнением ч й! О = — —, — Š—. С ОС (1) Продифференцировав это уравнение по времени, получим й'1 1 — + — 1= О. йгг 1С Это уравнение гармонических колебаний, его решение ищем в виде 1= !м соз(ыг1+ а).
Постоянные ! и а находим из начальных условий !(О)=!, — (О)=О в! ш (второе условие следует из уравнения (!), ибо в начальный момент 1 = О конденсатор был незаряжен) . Из этих условий найдем се= О, ! = !е. В результате ! = !е соз ыв1 = (Ф/Е) соз ггз1, где ь~е — — 1/х/ЕС. ° 11.3. Добротность контура. Колебательный контур с малым затуханием имеет емкость С и индуктивность Е. На поддержание в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудой напрлжения на конденсаторе (/ необходимо подводить среднюю мощность (Р).
!1айти добротность контура. Р е ш е н и е. Вследствие малости затухания воспользуемся формулой (!1.23): я = 2лйу/бйт, где (Р' = СУ,ч/2 и ЬФ' = (Р) Т; Т вЂ” период затухающих колебаний. В нашем случае Т кв Тг = 2пх!ЕС. После подстановки этих 279 выражений в (1) получим 2(Р) Ч 1. ° 11.4. Затухающие колебания. В колебательном контуре имеется конденсатор емкости С, катушка с индукгивностью !., активное сопротивление /! и ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем ключ замкнули. Найти отношение наг!Ряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).
Р е ш е н и е. Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же, как и заряд, поэтому запишем (/= (/мс СО5(М!+ а). (1) Величины (/ (О) и (/ показаны на рис. |1.8. и, у!йй Рис. 11.9 Принимая во внимание, что м = мь — 8, преобразуем (2) в т 2 к виду Рис. 118 и (о не.
= -~ ~ — ! ~р,! 'г= Ч ~ — ь *снь, где учтено, что )1= й/2!. и ы~= |/ВС. ° 11.8. В колебательном контуре с емкостью С и индуктивностью В совершаются затухающие колебания, при которых ток 280 В начальный момент ! = 0 напряжение (/(О) = (/и соз а, где (/ — амплитуда в этот момент, Нам надо найти (/ (О)/(/, т. е. соз я.
/(ля этого воспользуемся другим начальным условием: в момент ! = Отак ! = д = О. Так как д = С(/, то достаточно продифференцировать (!) по времени и полученное выражение при ! = 0 приравнять к нулю. Получим — 8 соз а — ы 5!и и = О, откуда !и а= — О/еь Поэтому искомое отношение г/(0) 1 ! = Сьза= (2| меняется со временем ло закону ! (!) = ! е здп ы!. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени, Р е ш е н и е. Выберем положительное направление обхода контура по часовой стрелке (рис. ! !.9). Согласно закону Ома для участка контура !К(.2 имеем Р! = (а, — ц~т + в,. В нашем случае в", = — !.! и фт — ср, = д/С = (/с, где д — заряд на обкладке 2, поэтому первую формулу можно переписать так: ис = — Н! — !.!.
После подстановки сюда выражения для I(!) и его производной получим к 1„, е Г! = ( — (3 5!п ы! — и соз ы!). с 26 Преобразуем выражение в скобках к синусу. Зля этого умножим и разделим его на ы + !) = ыш а затем введем угол 6 2 з фру' — 6/ыэ = соз 6, ы/ыю — — здп 6. Тогда Я! О~ = — е 'з(п(ы! — 6) =1 й/Се з1п(ы! — 6), где угол 6 согласно (!) находится во второй четверти, т. е. принимает значения л/2 .
6 и. Таким образом, напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока. ° 11.6. Установление колебаний. Катушку с индуктивностью 6 и активным сопротивлением Р подключили в момент ! = О к внешнему напрлжению (/ = (/ соз ы!. Найти ток в цепи как функцию времени !. Р е ш е н и с. В данном случае у! = (/ — ь1, или ! + ()с/! ) ! = ( (/,„/!.) соз ы!. Решение этого уравнения есть общее решение однородного уравпения плюс частное решение неоднородного: !(!) = А е 'мчи+ .. сов (ы! — ф), (к'+ м'Е' где А — произвольная постоянная, а угол ц~ определяется условием (! !.36); !и ср = ы!./К.
Постоянную А находим из начального условия !(0) = О. Отсюда А = — ((/ )с + ы 6 / соз ~р. В результате т 3 2 ~ци- ' ~ (~ — т) — -'"""- д Ю' ~- При достаточно большом ! второе слагаемое в квадратных скобках становится пренебрежимо малым, и мы получаем установившееся решение ! (!) сч> соз (ы! — )р). ° 11.7, Вынужденные колебания. Участок цели, состоящий )и последовательно соединенньш конденсатора и окраинного солротивленил И, подкл)очили к внешнему переменному напряжению с амплитудой (! .
Нри этом амплитуда установившееося тока оказалась ривной ! . Найти ризность фаз между током а внешним напряжением. Р е ш е н и е. В данном случае (/ = (! совы), ! = ! сов(ы! — >р), где >р определяется формулой (11 Зб) ) (и >р = — 1/ыСИ. Неизвестное значение емкости С найдем из выражения для .....„...-: с.-ь.> Я'+)и и'. с= ~> Ч)с. »„)'-г'. После подстановки в выражение для !я ср получим >и - — Ч)ь.>чь)' — ~. В нашем случае )р ( О, а это значит, что ток о и е р е ж а е т по фазе внешнее напряжение (рис. 11.10), ° 11,8.
Пепи переменного тока, содержащал последовательно соединенные конденгатор и катушку с активнь)м сопротивлением, подключена к внешнему переиенному напряжени>о, частоВ! которого можно л>енять, не менял его амплитуды. При частота,т о>, и ыг амплитуды силы тока в чели оказались одинаковы чи. Найти резонансную частоту тока. Р е ш е н и е Согласно [11.35) амплитуды будут очна)аковыми при условии ,~ — — ~ = ~м,т. — —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
