И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 46

9 — 20 257 2. В точке Р (рнс. 10.12) )00)/О = и дГ/г, поэтому можно записать: д0/дс = — дт/4пг>. Если д» О, то),„1) т, и наоборот, ° 10.2. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого к>, меняет так, что магнитное поле внутри соленоида возрастает со временем по закону В = (11 е, где (! — постоянная. Найти плотность тока смещенил как функцию расстояния г от оси соленоида.

0 к г Рис. 10,12 Рис. 10.13 Р е ш е н и е. Чтобы определить плотность тока смешения, надо согласно (!0.5) сначала найти напряженность электрического поля — здесь оно будет вихревым. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е, запишем; 2нгЕ= пгтдВ/дЕ Е= г(1! (г 'й>); 2пгЕ = и)( дВ/дт, Е = )!~ 01/г (г ) >0). Теперь по формуле 1,„= еедЕ/д! найдем плотность тока смешения: 1,„= еьбг (г ~ й); 1,„= еь!)В /г (г ) В). График зависимости ),„(г) показан на рис. 10.13. ° 10.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми нале>дигон однородная слабо проводящая среда, Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения.

Пренебрегая краевь>ми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует. Р е ш е н и е. Магнитное поле будет отсутствовать, потому что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Это и надо показать. Обратимся к плотности тока. Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна ). Ясно, что ) ьь О, причем 0 = ап, где а — поверхностная плотность заряда на положительно заряженной обкладке; и — нормаль (рис. !О.!4).

258 Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности заряда о, а следовательно, и 33 — ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность последнего ),„= д0/д| = (до/дг) и = — |и = — ). Отсюда следует, что действительно 3юоо = 3+ 3 ° 10.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и и диэлектрической проницаемостью е. Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль вектора Н между обкладками на расстоянии г от их оси, если напряженность электрического поля между обкладками меняется со временем по закону Е = Е соз ый т Рис. !0.15 Рис.

10.14 Р е ш е н и е. Из уравнения Максвелла для циркуляции вектора Н следует, что дЕ„Х 2 .Н =( |. + .а — ") д| ) Принимая во внимание закон Ома 1„= оЕ„11), получим г г' дЕ. Т гЕ Н = — (аЕ. + ье — "Г1 = — "1о сьз ыг — се из!л ьп). о д|) 2 о Преобразуем выражение в скобках к косинусу. Для этого умножим н Разделим это выРажение на /= и +1ееоы), а затем г введем угол Ь по формулам о/1= соз Ь, веоьо/1= з|п 5.

Тогда и г„г:/. ои„а |. |.~оо||. ° 10.5. Точечный заряд д движется в вакууме равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью т. Воспользовавишсь уравнением Максвелла для циркуляции вектора Н, полу|ать выражение для Н в точке Р, положение которой относительно заряда характеризуется радиус-вектором г (рис. 10.15). Р е ш е и и е. Из соображений симметрии ясно, что в качестве 259 контура, по которому надо брать циркуляцию вектора Н, следует взять окружность с центром 0 (ее след показан на рис. 10.16 штриховой линией). Тогда 2л|2УУ = — ~ 0„<Б, д г д1) (|) где )( — радиус окружности. Найдем поток вектора 0 сквозь поверхность, ограниченную этой окружностью.

Проше всего, если эту поверхность 5 взять Рис. 10.17 Рис. 10.16 сферической с радиусом кривизны г (рис. 10.! 6). Тогда поток век- тора 0 через элементарное кольцо, взятое на данной сферической поверхности, есть 0 65 = —,2пг з|п а' г да' = — з|п а' да', 4,, Ч 4пг' 2 а весь поток сквозь выбранную поверхность 0 дз = — (1 — соз а). 9 Теперь согласно (1) продифференцируем (2) по времени: дг д да — 1) 0|3 = — э|па†д!) 2 Ш (3) При перемешении заряда из точки! в точку 2 (рис.

10.17) на расстояние и Ж имеем п дг' з|п а= гда, откуда да аз|па 41 г После подстановки (4) в (3), а затем (3) в (1) получим Н = дпг з)п аУ4пг ', (5) где учтено, что (с = г з)п а. Соотвошение (5) в векторной форме имеет вид (4) д (тг) гЗ 260 Мы видим, таким образом, что постулированное нами ранее выражение (6.3) является следствием уравнений Максвелла.

е 10.6. Ротор Е, В некоторой области инер~1иальной системьь отсчета имеется вращающееся с угловой скоростью м магнитное поле, модуль которого В = сопз1. Найти тр Х Е в этой области как функцию векторов м и В. Р е ш е н и е. Из уравнения АХ Е= — дВ/дг видно, что вектор ху Х Е направлен противоположно вектору йВ, а его модуль можно вычислить с помощью рис.

!О.!8: )бв) = В ° 01, )йВ/01) = В . Поэтому Ч Х Е= — 1<оВ(. ° 10.7. Вектор Пойнтиига. Протоны, имеющие одинаковую скорость т, образуют пучок круглого сечения с током Е Найти направление и модуль вектора Пойнтинга Ь вне пучка на рассто~нии г от его оси. у Ф 1 Рнс. 1О.!8 Рнс. 10.19 Р е ш е н и е. Из рис.

10.19 видно, что Б 14 т. Найдем модуль вектора Б: 5 = ЕН, где Е и Н зависят от г. По теореме Гаусса 2игЕ = Л/еь, где Л вЂ” заряд на единицу длины пучка. Кроме того, по теореме о циркуляции вектора Н 2пгН = Е Определяя Е и Н из последних двух уравнений и учитывая, что 1 = Ло, получаем 5 = ЕН = / /4я е вот . ° 10.8. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Р е ш е н и е. При возрастании тока увеличивается магнитное поле в соленоиде, а значит, появляется вихревое электрическое поле. Пусть радиус сечения соленоида равен а. Тогда напряжен. ность вихревого электрического поля у боковой поверхности соле. поила можно определить с помощью уравнения Максвелла, выраькающего закон электромагнитной индукции; , дВ а дВ 2лаЕ = ла' —, Е = — —. дг' 2 дг Поток энергии через боковую поверхность соленоида можно представить в таком виде: дгВ'' Ф = ЕН ° 2ла! = яаь! — ~ — ), дг(,2 „/' где ! — длина соленоида, ла ! — его объсьь. Таким образом, мы видим, что поток энергии через боковую поверхность соленоида (поток вектора Пойнтинга) равен скорости изменения магнитной энергии внутри соленоида: Ф=5 ° 2ли(=д(Р'/д!. ° !0.9.

Энергия от источники постоянного яапрггжеяия Ег передаетея к патребителю аа дгиюгаеу коакеиалэкаиу кабелю с пренебрежимо малым сопротивлением. Ток в кабеле !. Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя прова. дяи!ая оболочка кабеля тонкостенная.

Р е ш с н и е Искомый поток энергии определяется формулои Ф = ~ 5 ° 2лг бг, ()! Рис. 10,20 где 5 = ЕН вЂ” плотаость потока, 2лгдг — элементарное кольцо шириной бг, в пределах которого 5 одинаково, а и Ь вЂ” радиусы внутреннего провода и внешней оболочки кабели (рнс. )020). ьг(ля вычнстення этого интеграла необходимо знать зависимость 5 (т), или Е (т) и Н (т) С помощью теоремы Гаусса получим 2лтЕ = Х/еэ, (2) где Х вЂ” заряд провода на единицу длины.

Далее, по теореме о циркуляции 2лтН = / (з) После подстановки Е и Н из формул (2) и (3) в выражение (!) и интегрирования получим х! ь Ф = — ьл —. (4) 2лг„ а' В условии задачи Х, и и Ь не заданы, вместо них дано (/. Найдем связь между этими веяичииами: ь х ь Еь = ~ Е дг = —, ьл —. 2ле, а' О Из сопоставления (4) и (6) следует, что Ф= (/Е Это совпадает со значением моптности. выделяемой иа нагрузке. ° 10.10. Плоский воздушный конденсатор, пластины кото.

рого илаеют форму дисков радиусом а, подключены к иеременномч гармоническолау наалрлжению часготьа ао. Найти отношение максимальных значений магнитной и электрической энергией внутри конденсатора. Р е,н с и и е. Пусть напряжение на конденсаторе меняется по закону О = (/„,совы! и расстояние между пластинамн конденсатора равно !а, Тогда электрическая энергия конденсатора сов "о"'а )У = — пата = !/т соэт ы!. 2 2Л Магнитную энергию определим по формуле !у„= 1 — йу. В' 2по (2) Необходимую для вычисления этого интеграла величину В найдем из теоремы о циркуляции вектора Н: 2лгН=лг'д0/д!. Отсюда, имея в виду. что В = В/Ио и до/д! = — во ((/ /А) о! ми оаг, получим .

„(т,„ В= —,о и — '" Б!пи!~. ь о (3) Остается подставить (3) в (2), где в качестве б )а надо взять элементарный объем в виде кольца, для которого д)а = 2лт дг !а. В результате интегрирования найлем и ',, ааат!', !У " "',,;,аа,„! !6 А (4) Отношение максимальных значений магнитной энергии (4) и электрической энергии (1) таково: Например, прн а = 6 см и оа = 1 000 с ' это отношение равна 5 ° 10 Глава 11 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1 11.!. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА Условие квазистациоиарности. Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не оди- 263 иаковым на разных участках пепи (из-за того что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой, но конечной скоростью).

Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи (такой ток называют к в а з и с т а ц и о н а р н ы м) . Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитных возмущений можно было считать мгновенным. Если ( — длина цепи, то на прохождение длины 1 электромагнитное возмущение затрачивает время порядка т = 1/с. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если т=1/с~Т, где Т вЂ” период изменений.

Например, для цепи длиной ! = 3 м время т = !О ' с и токи можно считать квазистационарными вплоть до частот 10' Гц (это соответствует Т = 10 ' с). В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать к в а з и с т а ц и он а р н ы м и.

Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использова~ь тот факт, что мгновенные значения квази- стационарных токов подчиняются закону Ома. Колебательный контур. В цепи, содержащей катушку индуктивности (. и конденсатор емкости С, могут возникнуть электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания. Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 11.1, а). При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ К. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку 1. потечет ток.