Вакина В.В., Денисенко И.Д., Столяров А.Л. - Машиностроительная гидравлика, страница 14

Подставляя значение 5 в дифференциальное уравнение н интегрнруя от 21т до О, получаем о Фя Т=— 2н у 2й~ — а'аг тн Г . г— — г,. про 1 2И ~йа р 2д айнам з.о,з ~,ор'о,з зиза) а з о за 3,!4 ° 0,02 у-з щ 4 1а ' 6.12. Вода в количестве Ф Я 0,55 л/с поступает в пус- 04 той цилиндрический бак, в дне которого имеется отверстие диаметром И = 16 мм (рис.

6.15, а). Площадь попео го Фа аа 80 амик речного сечения бака 3 =* Ф = 1 м'. Определить макси- мальный напор Н„который Рас. 6.16 может установиться в баке, а также время, в течение которого напор воды станет равным 0,5Н,. Построить график зависимости расхода воды через донное отверстие д от времени и найти расход, напор и объем воды, вытекшей из бака и накопившейся в нем через 1 ч. Коэффициент расхода принять равным р = 0,62.

Решение. Уровень воды в баке будет расти до тех пор, пока расход через донное отверстие станет равным притоку Я! д= ФоУ26Н= Ю. Отсюда ( ) а 660 3 ила У2а ) 62 3,14 1,6 у— ~ 0,62 ' ' У2 . 981 ) Найдем зависимость между напором воды Ь и временем Т. Пусть за бесконечно малый отрезок времени г(Т напор Ь увеличился на величину Ж. Следовательно, объем воды в баке увеличился на дУ = Я~У!. Это приращение равно разности объемов воды, поступившего в бак (ЯдТ) и вытекшего из него через донное отверстие (уАТ), т.

е. ЯЖ = ~г(Т вЂ” йг(Т, либо Ы = рЗ,М2уЯНΠ— У)1) (Т, где Я~ — площадь отверстия в дне. Разделяя переменные, получаем ! На ИТ = 5 Р5р У2Я У йа — Уй рве У2а Уйо — Уй Уи Уй — "( —.".) и, а Введем новую переменную у* = ЫН,. Тогда д — = 2уду, г(Т = — ' — ду, !а! 3Уи, д (, и,) „3У2к После интегрирования получаем Т= — ' (у — 1п(1 — у))+С. т~l и, изо~ 2и Постоянную интегрирования найдем из начального условия: ' Т 0; Ь = О, у О. Подсгавляя этн значения в предыдущее выражение, получаем С О. Возвращаясь к старой переменной, е.

е. заменяя У на ~/й7774, полУчим фоРмУлУ Т ~)l +1п(1 ~ )~, из которой находим время, за которое в баке установится заданный напор Ь 0,5Н, 0,5 ° 1,0 0,5 м1 = 1886 с. Для построения графика д = 7 (Т) задаемся 'рядом значений напора И и для каждого из них находим время Т по предыдущей формуле и расход д = р5,$'ай. Конечные результаты расчета1 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Т, ннн 14,8 31,4 43,2 58,9 81,7 122 0,302 0,390 ' 0,428 0,461 0,494 0,524 д, л/с По этим данным построен график (рис.

6.15, б), е помощью которого находим расходу через Т = 60 мин: д 0,465 лlа. Напор, соответствующий этому расходу, Объем, накопившийся в баке к моменту времени Т = 1 ч, У, = Зй 1,0 ° 0,71 = 0,71 мз На рисунке этот объем равен площади фигуры ОАВСО. Объем воды, поступивший в бак за 1 ч, равен У = РТ = 0,00055 3600 = 1,98 м'. (площадь прямоугольника ОАВР).

Объем воды, вытекший из бака 'за 1 ч, Ун =- У вЂ” У, 1,98 — 0,71 = 1,27 мн 89 ГЛАВА 7. СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОТОКА С ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ЕГО СТЕНКАМИ 7.1. Сила, е которой движущаяая жидкость действует на ограничивающие ее стенки, определяется на оанове теоремы об изменении количества движения.

Рассмотрим уатановившееся движение жидкости в неподвижном канале произвольной формы. переместился в положение 1' — 2' (риа. движения изменилось на величину 71 гр А ! г г' 1 ! Рис. 73 Пусть за время с(Т отсек 1 — 2 7.1). При этом его колнчество Кг-и — К1-и = (Кг-с+ Кв с ) — (К1-~ + Кг-и) Ки — и — К~ — 1 =РСгаТп — рГл1Там > где Π— расход жидкости; и, и п, — скорости в сечениях 1 и 2. Согласно упомянутой теореме это изменение количества движения равно импульсу главного вектора внешних сил; рЯйТйи — РГ)г(ТР1 = Рс)Т, или РО(о — ь )=Р, (7.1) причем Р = Р, + Р, + О+ Я, (7.2) где Р, и Р, — силы давления в сечениях 1 и 2; Π— веа нидкости в от.

секе; )7 — реакпия стенок канала, равная по величине, согласно третьему закону Ньютона, силе Р, а которой жидкость действует на стенки канала, но имеющая противоположное направление Рис, 7.3 Д *= — Р. (7.3) После подстановки значения Р в уравнение (7.1) е учетом равенства (7,3) получаем 1 Р=РЯ(п,— ои)+Р,+Р,+О. (7.4) 7.2. Найдем выражение для силы Р, е которой атруя жндкоати действует на неподвижную плоскую стенку, аоатавляющую угол р а осью струи (рна.

7.2). Применим к отсеку, выделенному се'чениями 1 — 1 и 2 — 2, выраженне (7.4). Поскольку избыточное давление в обоих сечениях равно нулю, тоР, ОиР О. Весом и / жидкости О будем пренеб- г ° регать. Поэтому выраже- Рис. 7.2 ние (7.4) примет вид Р = рЯ(о, — о,). Пренебрегая трением между жидкостью и стенкой, приходим к выводу, что сила Р перпендикулярна к стенке. Проецируя все члены последнего равенства на нормаль и, получим Р = РЯозш (7.6) где о и Я вЂ” скорость н расход струи.

В частном алучае, когда ось струи перпендикулярна к стенке (Р 90'), Р= рЯо. (7.6) 7.3. Пусть атенка, перпендикулярная к оси струи, перемешается со скоростью и, причем направления векторов о и и совпадают. Тогда скорость жидкости относительно стенки в о — и, а сила действия втруи на подвижную стенку Р = РЯ (о — и). (7.7) 7.4. Если струя действуег на неподвижную криволинейную поверхность, представляющую собой полусферу (рио. 7.3), то сила Р ' 2РЯо. (7.8) , 7.б. Найдем выражение для динамического реактивного момента, возникающего при установившемся движении жидкости в равномерно вращающемся канале (риа.

7.4), используя теорему об изменении момента количества движения. Пусть пь н и, — скорости движения жидкости относительно стенок канала, и, и и, — скорости переносного (вращательного) движения, о, и о, — абсолютные скорости, о„| = = о, соз а, и о,з о, соз а, — проекции абсолютных скоростей на векторы и, йь и и, соответственно в чечениях 1 и 2 канала Пусть за бесконечно малый огре- ~ их вок времени г(Т объем жидкости, ваклю. / чениый между сечениями!и2, переме- 2 О1 l стился в положение 1' — 2'. Тогда момент количества движения этого объема изме- ом и нился на величину 2 Ш й — г — 1~-з = ((о-г+ к + 1-з х ) — (1 ю-г + 1 ю -а) = а( Й 2' 1 / /' ЯК~Ои2ЙТ и о„, — РЯЙ1о,АТ, глеК, и Д, — радиусы окружностей, по Рас. 7.4 91 которым перемещаются центры начального и конечного сечений канала.

Согласно упомянутой теореме секундное изменение момента количества движения равно моменту внешних сил, в которыми стенки канала действуют на жидкосты 35 ,гг = р~~ (Р.ош — )~~о ~) ™. 0 х Рис. 7.5 Момент, е которым жидкость действует на стенки канала, М = — М' = Я Я,пм — )7,0, ). ° (7.9) Если М > О, то он направлен в сторону вращения канала (турбина), при М ( 0 — против вращения (насос). паиме ы 7.1. По трубедиаметромо = 50 мм вода движется со скоростью и =. 3 мlс. Оределить силу, с которой жидкость действует на колено (рис. 7.5), если избыточное давление перед иим р, = 1О кПа, а козффипиеит сопротивления ь 1,3. Весом жидкости пренебречь. Решение.

Из уравнения Бернулли для сечений 1 — 1 и 2 — 2 при иг = о, = о, г, ж г, находим избыточное давление после колена . р, = р, — ь — = 1О 000 — 1,3, = 4150 Па. РО 1000 3' 3 Полная сила, е которой жидкость дейетвует на колено, равна = РЯ (о~ "2) + Р1 + Рз + С где расход воды жР 3,14 0,05~ Я =о — =3 ' ' ' =0,0059 мз7с, силы давления Р,=Р,— 10000 ' ' =196 Н, я~п 3,14 0,05~ Рз Рз — = 4150 4 = 8,14 Н, шР 3,14 ° 0,05~ а вес жидкости, заключенной между сечениями 1 — 1 и 2 — 2, С О.

Проецируя зто векторное равенство на координатные оси, находим составляющие искомой еилы1 Р Р,+рамаз =8,14+1000 0,0059 ° 3=*25,8 Н, Р = Р, +реп, = 19,6+ 1000 ° 0,0059 ° 3 = 37,3 Н. Полная сила Р=ф Р .~.Р В 258.(.373'=454 Н. 7.2. Определить осевую силу, прило- я 12' женную к трубопроводу на участке постепенного сужения (02 = 100 мм, .02 = 'К = 50 мм), если избыточное давление перед сужением р, = 120 кПа, расход во- 11 12 ды Я = 15 л/с, а козффипиент сопротивления сужающегося участка ь = 0,4 Рвс. 7.6 (рис. 7.6). Решение.

Находим давление в сечении 2 — 2 из уравнения Бернулли, в котором координаты г, = г, = О, скорости 40 4 ° 0,015 40 и= —,= ' =1,91м/с и=— яр2 3,!4 . 0,12 ° р2 ! и 2 4 0,015 3,14 0.05* — — 7,64 м1с, "2 7,642 потери напора Ь, = ь 2 — — 0,4 2 '3 61 — — 1,19 м: 2 — + — '+г, = — + — '+гз+Й„ с! Р2 2 Рс 2л ра ' 2а ра р, = р,— рдйс — +(02 — 01) = 120000 — 1000 .

9,81 ° 1,19— — — (7,64' — 1,91') = 81 000 Па. Осевая сила, приложенная к трубопроводу, яр21 пр22 Р = Р(г(02 — 02) +Р2 4 Р2 4 =!000 ° 0,015(1,91 — 7,64) -1- +120000 314 0,01 81000 3.14 0,05* 697 Н. 4 4 7.8. В струю а расходом 42 20 л/с и скоростью п, = 25 мыс введена пластина, составляющая угол <р = 60' с осью струи (рнс.

7.7). Определить силу Р воздействия струи на пластину и расходы воды 1~2 и Яз, если угол отклонения второй части струи от первоначального направления () = 15'. Весом жид- У кости и трением струи о пластину и пренебречь. Решение. Силу Р, с которой струя воды действует на пластину, находим по формуле Р = Р()202 — Р()202 — РФз+ +Р,+Р,+Р,+О, (а) в которой Р, = Р, = Р, = О, таи Рис. 7.7 как избыточные давления в сечениях 1 — 1, 2 — 2 и 8 — 8 равны нулю. Из уравнения Бернулли для еечений 1 — 7 и 2 — 2,1 — ! и 8 — 8, в которых р,='р,=р,=р„ зв г, ж г, = О, при пренебрежении потерями напора получаем Рпс. 7.3 -9 -9 ! 01 ! ! ов ! ! ов ! С учетом сказанного, выражение (а) принимает вид Ф 9 Р *= р(М вЂ” Р0вов РРвов.