Налимов В.В. - Теория эксперимента, страница 36

4.9. Онтнмалья1нй наев в задаче хнывнеской кинетики, описываемой суммой зкепавевт [10[ [, :1нентрнмс~ты нужно втаннтн н метнн1ы времене, ее- отнететну~ен1не двум н1нрныы 1ннннм. 71 ([) и /в (у). В данном примере точки для оптимального эксперимента [1 л [1 ле[кат по обе стороны от максимального значения функции 19 (ц 0,7; 0,2) пря сравнительно болыпом значении выхода.

Припятый нами критерий заставляет выбирать [1 и [в так, чтобы соответству[ощне нм значения частных производных оказались близкими к экстремальным значениям к были, по возможности, покоррелированы. При традиционном подходе к задаче исследователь равбросал бы зксперуул1ептальнь[е точки равномерно по шкале времени в заданном ему интервале. ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЗМА ЯЗЛЕЯИЙ шу пллгин овлнив экслкииментп (гл. 1т дится прибегать к различным приемам усреднения [104!.

Другой прием основан на хорошо известной концепции антропии для дискретной сзузайной величины, принимающей т значений [20, 103[. Согласно Шенноиу, энтропия такой системы определяется как б = —,~ Рг )прг, где Р, — вероятность появления значения случайной величины с, индексом й Наименыпая информация соответствует максимуму энтропии, т. е. случаю, когда Р, = Ро = ... = р,„= 1(т. Если мы хотим в результате исследования получить максимальную информацию, то нужно стремиться к тому, чтобы экспоримент приводил к максимальному иаменению энтропии. Вто, в частности, произойдет, когда окахгется, что р; = 1 и р; = 0 для всех г+ 1, Чтобы воспользоваться такой концепцпсв для отбора одной из двух конкурирующих гипотез, можно рассмотреть продло>кеннуго Кульбаком [102[ меру расхождения, тесло связаннуго с интуитивно легко ноппмаемой энтропийной ггерой.

!'.ели мы имеем две конкурирующие гипотезы Н1: Р1 - [Рп Ргг~ Ры) гг1: Р =- (Рм Рм ° Рог) то логарифмическая мера расхождения Кульбака запишется в виде 1. Рг1 !)-'= У [Рн — р„) )и — '. п1 и В нашем случае по >г первым наблгодениям вычисляем вероятность распределения случайной величины у,ог для двух коккуриругощих гипотез [ч„„— ч (х, з(п))В Пгр,— — - = ехР [),ыг — са (х, ЗОЮ) В ) Рт"о, „хр ) Он '" ' г [Р.(1 — .О) ~ -(.'+ ) где э~ — дисперсия ошибки эксперпггептз, з,' и эо — дисперсии оценки функций отклика, вычисленные по первым и наблюдениям.

Мера расхождения Кульбака, усредненная по (и+1)-му наблюдению, здесь запишется так !)о = ') [Р— Ро) ! — — ) У.+ . РО Выбор оптимального алана будет закгпочаться в максимизации величины Ро Выше (см. гл, П) мы уже говорили о том, как, исходя из представления об ошибках первого и второго рода, мохгяо обосновать оптимальность критерия отношения вероятностей. Далее, там хге отмечалось, что само представление об этих ошибках логически связано с представлениями об априорных вероятностях. Поэтому кахгется вполне естественным построить критерий дискриминации, основанный непосредственно на использовании априорных вероятностей появления конкурирующих гипотез.

Тогда легко показать, что для т конкурируюгцих гипотез кульбаковская мера расхо,кдспия запишется ело. дующим образом; ~п т и (1. '~~~,). у. ))Р )п —,с)Упог [- ~Р1 )и с)У 1...-1 1 ььг В „,, — приорпая вероятность, связанная с некото1кп рой моделью ), до выполнения [и + 1)-го наблюдения Уппп а Р, — плотность веРоатности дла У,ю длн той же модели. Нриняв гипотезы нормальности, постоянства дисперсий -,, для ошибки эксперимента и локальной линейности по параметрам О, получим ~п ж (о)+ =') В„„= — ~~г~~~ Я~ уг п1() и ~ О г, 1 + 1 11=1+1 ( о+ со) ( о+ сг) [Цп+1 г)О+1,~ г г + г г )о ~,+ д!' о "(1) где э, — дисперсия предсказанного значения ц„ог для 188 плалплговляллк экспвгплпзглл лгл ° 1У модели 1 и наблюдения уьл„вычвсленнлля по и парным иаблюдешшм.

Задача планирования, слодователыш, сводятся к выбору такого расположения точек, при котором достигается максимум величины!3 . Процедура продолжается до тех пор, пока вероятность, связанная с одной из конкурирующих гипотез, не достигнет критического значения, скажем, значения 0,08. Эта вороятность вычисляется по формуле уи м'= ч р ! Ю ! л.=л Здесь опять возннкаот деликатная задача — как быть с выбором априорных вороятпостей.

15 худлвом случае можно принять постулат полного незнания и одинаковую априорнуло нероятность дшл всех гипотез. расчеты на модельных задачах показывают, что система принятия решений обладает короткой памятью — наверно выбранные априорные вороятности быстро заблзвалотслл. Теперь кал;окец мы можем перейти к обсулкденило кардинальной проблемы — планированию эксперимента, огвечающего одповремеяно двум требованиям: уточненпю параметров и дискриминации. Кстественно стремиться построить план, который был бы одновременно оптимален с позиции двух, совсем различных по своей постановке задач.

Поочередное решенно этих задач может оказаться очень плохим. Ведь явно но имеет смысла улучшать параметры модели, если модшп, была выбрана плохо, и вместе с тем, неразумно проводить двскримипацвю, если параметры моделей оценены слшпком грубо. Лишь совсем недавно, в 1068 г., ноявплась первая работа (1031, рассматривающая планирование эксперимента в дуалькой постановке задачи. Там был предлоя,ен следулощий критерпй; С =кшлП + галл, где Й вЂ” мера дискрилпплации; Л вЂ” мера точности оценки парамотров: ий и ил, — веса, которые долялеп выбирать исследователь.

!5 атой модели вся трудность перенесена на выбор весов — ведь здесь суммируют различные по своему смыслу величины, Исследовазель по собственному пэгчкяпп мкхлнпзмл явлкппя 18, зо смотрению доллкелл усилить роль одного вз двух слагаусм р. омых в завпспмосги от того, что в той илп но: 'р"- , Эт неприятную вой задаче выдвигается яа первый план. Эту пеирл ор " л ыопроцедуру вы ор бора веса можно в известной степен л ( рмализовать если, скажем, рассмотреть специальный слу- 1 чай приведонной выше модели, т. е. написать П = — Й„,/'0„,, шюиз — (лП „Л;~ЛЬ шлилл).

„,, = (т (1.— ули. л(ял — 1))' и. -=1 — ш. 2 1 О„,, — ллакскмальное значение О, в заданной Здесь „, ол„з — л Л =',Гг ' для области варьирования перелленных; Л; = ', мо. ели П и шлв, > — м мо.. П Л... л — аксимальное значение Л; в заданной области эксперимента; дл,„— априорная ф 1 ванная с лучшей моделью, перед постановкой (я + 1)-го опыта. Преимуьцоства такого выбора засов очевидны. Легко при максимальной пеопределоппости (дь„= видеть, ч'го р =. 1lт; л =.

1,2,..., т) имеем илл =. 1 и ш =. 0 и кр С выролллдается в критерий П, С другой стороны, при максимальной определенности Чл„-—-- терий оказывается проллорционалльнлзм критерило Лл =- =-: ~ Г г" ) для модели Ь. В промшкуточных случаях ли, умоньшается монотонно с роста. дл и . Скорость этого уменьшения задается параметром й, Задача исследователя сводится таперь только к выбору последнего парамет- . П лпа для остановки процодуры алгоритм не дает — исслед — - е ователь выбирает его, учитывая в,' лаз мпо задачи и сг ачи и сгоимосгь эксперимента. По-видимому, р' у ения, — 0,08. оста повиться, достигнув скажем, значения дл„„.=- Этот прием интересен своей попыгкои глубоко ф р.

из самых сложных сторон деятельности лизовать одну из оль ЭВЬ1. Хотя исследователя. Здесь вшкно отметить роль Р она и остается вспомогательной (исследователь выдвигаает й) но првпеет конкурирующие гипотезы и выбирает й), н плАНИРОВАпяк экс!!яэимгптк !Гл. !у !з! пение ЭВМ позволяет совсем яо-новому сформулировать правила принятия решения. Эта новая процедура допускает значительно более штку!о (чем было возможно ранее) постановку тех вопросов, на которые должен отвечать исследователь.

Итак, высокая степень логической четкости — вот что пока удалось достигнуть при формализации процесса принятия решения (подробнее о планировании эксперимента, направленного на изучение механизма явлений, см. в книге <1>едорова (104)). Заканчивая настоящий раздел, хочетс!! поставиаь одяп глубоко принципиальный вопрос: что же все-такп надо делать — решать экстремальные задачи, пользуясь яриемами, изложенными в первых трех параграфах, или стараться изучить механизм явлений Огвет на него достаточно прост. Коли исследоватоль имеет дело с плохо оргшшзованной, диффузной, системой, то естоственно ограничиться полиномиальньсм описанном, формулируя цель исследования как экстремальную задачу.

По-видимому, при изучении технологических процессов почти всегда приходится иметь дело с плохо организоваппымя системами. Около 100 лет известен, скажем, мартеновский способ производства стали, и до сих пор нет мат!магической модели, адекватно описывающей этот процесс. Сейчас многие технологические процессы возникают н умирают раньше, чем удается изучить механизм происходящих в штх явлений. Понесла ля наука какой-либо ущерб от того, что пудлинговый способ производства железа был снят с производства раньше, чом был изучен его механизм.

Современная химическая промышленность выпускает несколько десятков тысяч наименований продуктов. Ну:кно юти и можно з!и изучить механизм протекания всех атих процессов? Но, вместе с тем, звание механизма явлений позволяет глуб!ке проникнуть в сущность изучаемых процессов. По-видимому, всегда надо четко разграничивать задачи, затрачивая оольшие средства только на то, что представляет глубокий научный интерес. ! ! равда, против описания технологичес! их процессов поляномиальнымя моделями можно выдвинуть одно весьма серьезное возражение, связанное с мэсп!табп!!ми переходами, Коли в технологической системе протекьпот явгчянив мвххнизмх явлзни Й ыические процессы, то полино номиальная модель, гидродина о ских слоеная, полученная в ая в лабораторных нли полузавод у стаповкп не моя!ет ыть пгр б ° ' енесена непосредственно на уст ! я,зке болыпого масшта а.