Арнольд В.И. - Теория катастроф, страница 5

Доаавшельства тога, по вто »влепив имеет место вс всех типичных авалвтическмх сишеиах с ив»лепко Р с.хе. Патагпаа к жерл гаса с ср ца. ык й си- бур ациа ыгпяюпшыся параметром, было получено в 1985 г, А. И. Невштадтом. Иввестпс, что улов горбуши»олеблетс» с периодом в два года, Исследовавие вкологическпх иоделей, привввввых объяс»ить вти колебания, пр»вело А. П. 1Звпиро (1974) я ватам Р. Ыеа г ьс ерк в гько у р аю ° пыдсс уд кпц и рообе: послсдоватсльвые б»фуркв гии уцвоенпя бышро следуют одна ва дру, сй, так что па ког алый отреаок паке»ения параыетра прикодатск бггкоиг лег число удвоений. Это явлепие явблюдаетс», аапример,,ша простейшей модели ыалшуа»апского раьмко кепи» с «сикуревцией — дла отсбрашеввк х Алс * (рве. 27).

Здесь ивсжатель е ", умекмиаюпгвй вовффициепт мвлыувиевсяого рвсмяожеаия А ври увеличя»ии рааигра популв- хб дка х, учптывает конкуренцию При калма паюиивх дараыетра А устойчква кеподавжлав точа* х 0 (пспулппвл вмм»рвет). Пра больших аыачевпях А агтракторсы последов тел о и ятся кеы).тевпя вспахав гп я точка (бифуравцин А,), шпгл периолв 2, рис. 27, как для юрбуппг (бифуркация улвое»ая, А,), периода 4 (А,) я т. гг. (рвс.

28). Анап»вару» втот експерггмен вльяый матвриал, Мжрейгепбауы (1978) обкаргжкл ааыечагелькое »влепив уяпесрсельксстк каскадов тдвоеквй. Погледовательмасть виачекий параметра, соответствующих последовательимм удаоепиам. во»мцхет»чески ведет себя квк геометрическая прогрессия. Знаке»ашль вржрессии являатса уявае(ывльвой (яе аависящей от ноккрет»ой сисгемы) пошояквой, вроде чисел и али г. Такие же вас калы удасеаяй предельвмх цввлов ааблюдаютс» и в типачвмх вволюциоппмх системах, описываемых вависяпгимк от параыетра дифферевцаальпыми уравпепааыи. 8 отличие от удвееяия периода, утроеппе явлкетсв квтеписм корввмеркоста два. Кажадм утроеипй (и лругях Увеличений периода) стаксвятс» типичаыыи не в одишараметрачосках, а в двупараметрическ»х семействах с»- стем. В этих свучаах упиворсвльвме показатели акавываготсп камплекспыми.

В твори» двупараметрпчесаих бифурквпкй вв послехкие годы достигиугы апачательпые успехи, В частности, хв Г. В( о!а!!деком к 1982 г. Решены давно стоявшие наджа о чные вредельнмх пнклав, рождаюл!нхс» вг пулевого иоложеиил раввовесая в системах типа Вотан — Вольтерра ( „101, опи ываемых аасаюжимвся сторон угла веатор(рис, я, с аыми палама на плосиости. Однако вадача а бифуркацмях в свстсме =- аг + Ага! -! Н, а которой сводится всследовапае иатери устойчивеглп авт колебааий в едидствеипом оетапшечся ве исследо неким случае кераэмерносш 2, есе еше пе ло;шаетсн уонлпнм математиков. На плоскоаш вомпяекспага «араиетра ,1 выделено 48 областей ) л( (рис 29), в которых блфурка цан ари обходе малого аояяпленснога параметра г вонруг пулы происходит поравваыу.(Не докаэаяи даже, г дед что ионное чнало таких областей конечно, хотя првднолагаетс», что нх всего 48.) Еяде недавно всакнй экапервмгвтатар, обпаружвв, спашем, в химической реакцаи сложнме апериодвческве колебанию, аткавмвался от их исследоваван, ссылаясь б фуршщ й иор гигант е 2 пр риека 1я 4 ва не!вша*у эксперимента, случайнмв внешние вовдейставл и т.

п. Сейчас уже ива*ам ясно, что ети алшкнме вол банна могут быть снявапы с самим сушеством дела,мое иа тут оеределятьса осповпыме урааневилмв эадачи, а и случавпы и внешними вовдойствпямв; оин могут м Логикам научаться наравне с классичеоеимн атациаварнммп и периадическимн режамамп претеквкия продетое. т асовкппоатп грлмыцы уатейчдвостд и мрийццп хру11кабти хара!икра Рашмотрнм полажение равновесны системы, вависюптя от иеакольиах нараыетрав, в предпалаляим, что (в неко«- роб области ввменевия пареметраа) это полажеаиа равно. весна не бифуриирует. Будем ввображать систему, соответствующую какому- либо впачению параметров, точной ва оси элачвшгй пара- метра (ва плоскости, воли параметров два, в пространстве параметров, сали их три, н т.

д.). А И эучаемая область а пр остр а ястве параметров равобьетоя тогда на лео чаатк в соответствиа с тек, усхойчпво или вот положение равновесна. Мы получас» таким абраэаы па плоскоста (в пространстве) параиетроа область Роявобчигослги (составлшшую апачениями параметров, прв которых равновесно устойчиво), область яеусялобчигости в раэделяющую ах граяиа!р Рстобчигесгаи. В саатветатваи о абп!ей стратегней Нуаякаре (см. и. 5) мы ограначвмся аемействаыи скатам, эавнсяших от параметров обппиг обрааом. Онааываетса, гравида устайчввастн ыажег иметь осабеавости, которые не исчезают прн малом пгевелепвн семейства.

На рнг. 89 лэабражепы всв особенноста гралици устобчквости долажевий равновесна в эбшнч леупераметрических семействах вволюцвонных гнетем (о фаговым ':::7~ ~ф м!а (г,у, г) я р "7 Неус ойчидасаь ..г,у.л проатравством аюбай рнгмерпаста), ин ряс. 81 — в трсхпараметрвчесяих. Формулы аа рисунках описмвеют аб. ать уатай в с и (ирн дходшцек б ре оорд н на плосностп кли е ароатревглве параиетраэ, вообще гоноры, краволангвныт). Заметим, что об ааль уаиобчигшя и ге асс* слдчалл Рг гагаг ст я «углами ларужж, е илии л ь ггилюияими сдшигечия г об ааля лгвгт йт гти.

Такам абр шш, дан сиатемм, прниадлеякашей особой часта я рапицм устой'шаоств, прл малом нэмелевиа параиетров более еераяг- Э! ро рх но попадание в область воустобчивост«, чем в область устойчнвссхи, Вто проанление абщэто прияанпа, согласно которому все хорошее (например, устойч«вость) более хрущ«К чем плохое. По-в«дкмому, есе торолше объекты удовлетворяют нескоиькл» требонаи«вм адясср линн, плохвм же сватается объшст, обладающий хотя бм одмнм нэ ряда недостатков 3 случае четырех параметров я перечисленным выше особенностям гршшцы добав.|лютея еще дхе. Пра увел«юи«а чвс.та параыехров весло типов особенностей гран«цы устсйчивостя семейства абщето положен«я бысхро растет, одне«с, «а« дскаэал Л. В. Лсвантовсивй, оно остается конашим (с точностью до гладких эли и па амотров) при любо» конечном чпсле параметров, Р .

сохрвпаетса я аранцпп хрувкости. В, клусткки, ВОлкОВые Фрпктн к их ме|ЛКОРФОхы О иа ив ив«более важных выводов теории особенноса тей состонт в ужмэрсалыыств несколы|«х простых обраеов вроде сипаи«и, сборни и точи« эоэврнта, которые должны встречатьса повсеместно в которые полсела научиться рэспоэнавать. Кроме верач«слюнных особенпосшй, часто Рве 52.нэовы- Ряс. ЭЭ. Особ ш- Рж.

Ш. Ла шч л хвост а е юлеа о о сти жэлдишып Врып элавлса вс ре ото отце нес а обр вов, «вторые также полу. чив«собственные амона: ел сжочяил сэссю», эпира«идат, с«ошслскэ и лр. Пусть в какой-хиос среде р ° ро раппства "екотороа воэыул|евне (напр«мер, ударила волна, свет нл« впвдеы«и). Для простоты начнем с плоского спутав, Довустаы, в начальный момент времена воэчущенне имелссь ав «риной а (р«с, 32), а пусть скорость жо распростраиев«я рав- «е 1. Чтобы ув«ать, где будет воввущснпе черве время х, нуисао отюжать по каждой нормали к «рнвой о длвны1. По«учающаася кр«вая аасыващсаэоляюпмэбсолысм.

Даже если пвчатьвый полковой фронт не пиеа оообен- й Рк. 25. Т ш в я неесшуона шв фр эа . с«ос ноэврата (В иа р«с. 34) и лашэя самоперсоечения (С нв р«. 34). Ласточкпн хвост можно получить нв прошранствевпой красой А = 1', В =- Р, С Рс он ебравоваа всем« ее ьа со и ел ьнм ми. рьссмотрвм пересеченвя ласшчниното хпоста вараллельвнми плов«остнм«общего положенв» (сэт. Рис, Щ. 3 |в иересечьвая ивлаютс» «лоекимн ярмнмма, Прн пошулвтельнс« даю«опия ваоскост« укаэанные кривые пе. 2 в в яэ лл рес рааиаытсв в момевт, когда плоскость проходит через зершияу хвоста.

Перестройка (матадору)озв), прсисходяща ящая при этом, в точиости такал же, как ыетаморфсза волкового фравта ва плоскости (иапрвмор, прп расдроегреиеияи вовмущевяя впугрь эллипса) Мм можем спасать мегамор(ыеы волковых фрсатов иа пласкооти сждуыогпм образом. Рассмотрим наряду с освовяым лространотвом (в давкам случае клоокостьы) епге лдссжронм еэореыа (в данном случае трехмерное).

Рзспрштрзпаышлбсн ва плоскости волаоаоб фронт заметает в прострапстве-времепв некоторую поаерчлость. Оаааыеается, саму эту поаерхвость всегда могкно рассматривахь как еолаовоб фровт з пространстве аремели (ебольыой йроцые), В случае общего яоложелвя особенностями большого фролта будут ласточнпвы хвосты, ребра вовервта в самопвресечвния, располсжеявые в пространстве-времелв абпщм образо» отаосигельво паохрса (обраэоэалвых еодповремеияымае точкам» прсшранства-времеви). Теперь уже аетрудна сообразить, какве метаморбювы могут испптывать мгновелиые волпоаые фрокты на плоскогти е случае общею паложепищ ато перестробки сечеаий бельощго фровтэ лаохропамв. Иеучсике метаморфоз волнового бровтв прв его раг яростраиеиив втрехмерпомлростравствесеадится аким же обрааоы к ясследовапвш сечений большого (трекмерного) «олпового фроыгэ в четырехмервом простравстве-нремеяи трегмерпымл изолроаами, Возникающие мшаморфюы иасбражевы на рве.

36. Изучение метаморфоа волновых фроатов было одпов вз задач, из которых ноэаикла теоран катастроф, однако девы в случае трехмерного просграпогва катастрофвсты пе сумелп с пей еправитьсл; рис. 33 появилса лишь з 1974 г., когда в тесриа оеобевлостей биля расребогзлы новые метовы (основанные ва теории кристаллогрефпчеыгнх групп свыиетрпв). Наряду О волвовыыв фронтами процесс распрсстравепл о угце й и сывается прк повогцп сосысм ау яд. Например, распрострапеиие воамущенпй впутрь эллипса можае описать прп помощи семейства внутревпих порыалей к зллапсу (рвг.

37). Это семейство имеет огибаыпщш. Огибающая сеыейстаа лучей завивается аоусгликоб (т, е. ежгущерщ так кая а атих местах сеет коацептрвруется). Каустика юрошс задка па виугреавем поеерхвоств чашка, Освещенной солнцем. Радуга па вебе таама объясияетси каустпкой системы лучей, прошедших с полным вв)тр ним от( кепиег чеР,. к,олы и вог Кахетии ел .гаевского фре.„имеет че ы г Ре точка Р .