Арнольд В.И. - Теория катастроф, страница 4

веет. а ега неустойчивость вередаегав равиовесваму састолаию. А. Пуавивре заметил, а А. А. Апцропов и его учеэдки еще да войны (о 1939 г.) доказали, что, ираые аписаива Р О.1Э, П фуркацаз р жвия ц зт выше (п. 5) потери устойчивости палогкеввй раввавееля слвваямцихся с псуатойчвнмыв, и толька что описапиых саособав потери уагавчквостя типа А вви Б в абщвх одновзраметрячесиих семействах скачем с дву*мердым фааовыи пространства» ввиаких ипых видов потери устойчивости яе зстрзчпзтся.

Певвге было докаэаво, что и в спелы мах с фзеовым пространствам больпгей размерпости потеря устойчивости положений раваозесия при кзыелеш в ааюго парометра проасходит каким-либо из опвсапэыь выше способов (по иаиравлеииэм всех лополвительннз с й « ордивзт прв измовепви параметра раввовесие ост огсв притягавакилим). Если паше положеиио равпавесик — устаиовввгиийгя режим в реальней сисхеме, та при изиевепии параметр! з случаяч А и В наблюдав ся следующие явления. А. После О!перв устайчиеагти рзовозеспя устояоаигил л режимах ок зива ч э ао гбатель иа «ери Ои е иэ реа.им (рис.

17);ачилитуда качебавий пропорциональная 22 задраткому нарвы из аакрвтвчвости (отличая парамет. а от критвчегнаго звачевия, при котором разпавесве тсраег устаичнвость). Этот вкл потери устойчивости вазыпается млгкой по. срей устойчяеоати, так иак устэпавлпвающмйоя кохсбаельвыв режи» при ыалой эакрвтичпости мало отличается ж тштояя в равновесвл. Б Перед тем как усгававизшпйс» решим теряет устодчиоасть, область притяжения етого режима становится очень палой, и всегда присутст узпдае еду шйпью возму!цапал выбрасывают систему иа этой области епге хо того, как область притяжевия ловкостью иачзттт. Этот вил потери устойчивости эавызается жссетой потерей устой'жвасти. Прв агам система угоджл со стациокарисзо реясиыа скачком (см.

Рвс. 18) и псрескакиоамв иа икай режим беижгяия, Этот режим мог! ет быть другим устоичиеым стациоварвым рея!имом, илп устойчивыми колебаниями, иан бо се сложвыы дзпжевием Усталовившыесл режимы дзихгепия получили в пооледние годы навваяие аттракторов, так «ак оип «притягиваютг соседиие ремгвмы (переходпые вроцессы).(дттракаюр, т. е. лриттааз,— это притягивающее миажесгво в фааавом просграмстве. Аттрзигоры, отличиые от состояний равновесий и строго перяоцачасивх ьолебаиий, получилк пззваиие строимых юятрактороз и саяэыааются г проблемой турбулеятчгоств.) Сущестзозанво аттракторов с п ц , р годящимися фааозычи привыкл па янх п устойчивость такого рода я певий быап уствпавлеща э самом начале шестидесятых годов в работах С.

Свейлз, Д. Б. Аяосова и Я. Г. Спяая ио структурной устой ясности дзиамвчееких систеч. Неааэискмо от вгих теарзгическаз работ метеоролог Ларепц з 1933 г. описал паблюдавшяйсв им в ч слеипых аксперимепгах по моделированию каявекцви аттрактор в трехыерном фнзовов прастравшве с ра«бегаюшвмвся по нему в раюые схоропы фнэовимн кр в (р .

) в указал ве свнзь етого яв.юпвл а тур уле у б 'лентпссп,ю. В раба~ах Аносове н Саная экспо>.еяцпалыюе рззоеганае было уатзиовлево, е частности, вля д я зизсевия ма>ериалыюй точки по паверхвасти отрицательной крпвизиы (првмер такой поверхности — седла). Первые приыенеаи» теории эиспапепцвальпого рнебегалия к научению гндРолинамичсской устойчивости оиубликоавлы а 1966 г. Движение па>двести ма кво описать как лс мжеаае матс рпальиойта- Р» . >О. хе тя екиа Рэ"*"Р чкв по неярнвлевгой беснанечноыераой по.

аерхвостн. Яривнава этой пазерхвасти по миегвм папранлеиням отрицательна, что приводит к бистроыу рсшбегнлл ю т аекторвй, г. е. к плохой продскеауеиосга течения ао ча вача >жыы усзовиям. В частноста, аз этого вмтекает спчепраятическая аевоамоквость долгосрочного дана> ч ского прогноза погоди> длв предскааанмн всего ыа 1-2 месява еверед н)>кво звать начальные условя» с погрепсвостыо 10 ' от погрешности предо>звания.

Ве немая, однако, к ре каьсу, установившеыусл посл потери устайчивоши равноеесвого состаяпня, н р д ерд ломим, что этот ре>япм — странный аттракхор (т. е, в равновесие и ае предельный анап). Переход састеыы ва такой режим означает, юо в пе наблюдаются схажвые веверноди*>вские кавебаввн, д тали которых очень чуватэюсньвы к малому и«менеыао начальных условий, в то время иая усрадньивые хара> черистикн режвма устойчивы в ва завиаят от начально, О условия (при есо енслю г т р й области).

Экюсрименхатор, наблюдаюжнсс аа деи>ьевиеы такой снатечы, ааааа.> бы его турбулеятным. По видимому, пеупарядо-~ чепные движонвн нсидноств, наблюдаемые прп потере уатеачизостн лаывнарного течеаия с уееличевием чссс>се~ Рейиольдса (т. е. е умею,шеннеп внвкоюи'„мюематп се аки описыьасатся именна такимв едоясвичп а>трек рэ в фааовом прштрапстзе жидкости. Размеряасть ю о аттрантора, по-видимому, навеяна при любом числе Р й- нельдса (для двухмерных тевский жалкости 6).С.В.,- шелла, йй И. Башни л ", ". А, В.

Бабин ведавнополучнли опеля атей рззмернести сверху велпчи й . шико порядка е'), на ст >еылтс» к бесконечности при Ке— Переход ат ст г у айчпваго состоняил равновесии а"о -соса («ламняа ного т с р ечения >ющкосюи) к странному атгрзитару («турбуле>плоагл>) может совершат с к егься как сьачьам ошре устайчнвости ( рл >квотной алп кетастрофаческай п тав н после ыягнал патера устойчивости ( нс. 20А В ледиач сл ае а у'с Р днашайсн цикл сам теряет усгойвазасть хада« »й аилракиа ;~АУ3 п«а уаа бюх РРГ е аеа аи,а 6В'я 4 Рж Х1. Г бюь Р юаРа П кэ Р .22. Рдэывя в ал - Р Р' Дателя стовч в а у йчнвсюти двкла в обшеы однапараметрнчэсиом сем й 1) сшо л ейсхве светам воэможяв вескалькимв сиособ амю шея ив ва.

) толллегсяи а неустайчнвмм циклом ( . 21), 2) б. рис., у ис (рва. 22), 3) рождение алв счерть торэ (рис, 23) (в хермлиалогин Андрановас с эи« а слыаеш а>кура) Детали насда оа» динх процессов зависят ат резонансов вежду сн частотами двмжеяп» вдоль меридиапа тора и вдоль его оси, т. е. от того, будет ли отложение втвх частот рэцисвэльиыч кли ирра иррациоиальиы» числом. Ивтересио, что радисвальиые числа сс аваыепателем 5 и больвге ведут себя практически как иррзциовальпые.

Поведепнс фазеаых крввык, блиакпх к циклу, иожво прв ливен б ищенко списывать при поыощв звалюцисписго про- Рзс. 23. Бзбурюшиз гома з л * га бзиэз песса, дли котороге цикл аэляетга положевпеч рэвиоэесиа. эн . Во лакающие таким образом прибаюкепвые систеы з па сегодняювай дель исследованы ялл все» сиуча . Р- ме случае», близких к сальвсму резовансу с отногиениеч 24 вфгрпа ао» ьг сзхюам Рг ал 1.е КРЯ~ФЙИЙЙ .3 ьражсфгрщи юры ра шваба, рю шс 1:4 частш 1: 4 (Р. И.

Богдапое, 3. И. Хоровое). На рпс. 24 пзогражсаы перестрадав семейства фазовых кривых првбтгггынной системы, соответствующие перестройкам распозожепия фааовых «ривих в скрестжютв цикла; предпо- щ лагавтса, что потеря устейчивости происходят вблизи рв. волевое 1 г 3. На рис. 25 взображеиа одиа иа вовможямх псслвдовательасстей событии вблизи реаовзаса 1 г 4. Ос. иовпые результаты об агом резонансе палучепы пэ строгими математическими рассуждеввямп, а комбпиировапием догадок в вычислательиых экспериментов ва ЭВИ (Ф.

С. Беречовсаая и А. И. Хибняк, А. И. Нейштадт). Изложеипал в пле теория Пуааааре — Апдравсза потери устойчивости ссстояиай равяовесвл имеет так миого прнлажевий во всеь обласшх твори колебаний (иак систем с кавочяыы числом степспей свободы, таа я сплошпых сред), что ает пиявкой аозмсжвоотв их здесь перечислить: мехаивческие, физачесяле.

химические, биологические н шюиомичсские сисгемы терягот устойчивость па каждом юэгу. В работах по теорви «атаотроф мягкая потеря устойчивости положения равповесин обычно пазываетсл бифуриеиией Хопфа (отчасти по моей гвпвсц так как, рассказывал о таории Пуанкаре — Акдропсеа Р, Тому в 1965 г., я особеаяс подчеркивал работу Э. Хопфг, перенесшего часть атой теор~си ва многомерный слуг й). Б теории бифуркаций, как и е теории особелп стой, основвмс результаты и прилогкеивн лалучепы пеэаввсимо от теории катастроф. Нессмиевиай заслугой теории гютастроф является «еедевие термипа аттракшр и пшровая пропзгэвда «палий о бвфуркацилх аттракторов. Раэвооораэиыо ачтракторы обиаруягевы теперь во всех областях теории колебаний; «ысказывалась, иапрлмер, ггшстеэа, что различные феяемы речи — это различные ~гттрапторы звукосбразующей хииамическои скоте ы.

При ледлеввом памепеаиа параметра ваблюдавтся иачествееис всвое яелепвс аепыгаеалил лошгри устодчиеосгп (рис. 26). После того кав параметр прошел череа бифуриацлонпое аяачеипэ, союветствующее ромдеиию цикла, т. е. мл з»иу а зпикаовеиию авгэколебаиий, сястоме остается в сьрэот~гоств иотеряыпего устойчивость состолпиа равлсзесия еще некоторое время, эз которое параметр успевает изыск ыьса в* конечную зеличпау. И лигпь затем система скачжм переходит аа ро~шюпвйся л мочедт бифуркацаи веток лебатсзыпай режим, так что ноюр» устойчивости кажется жестаой.

Интересно, что шст в4хрект — особенность динамической бифуркации — имеет место только в аяалигли текил системах, Б бесковсчво-диффереацируеыом случае вела- 21 га всвкуре ц а джека «яаргд чш чана аатягиввивя потвра устойчивоств, вообще говоря, стремится к нулю прп уменьшении скорости иамекепмя парачвтра, Затягивавие в модечьиам првыере сппсаао Шашковой в 1972 г.