Арнольд В.И. - Теория катастроф, страница 3

Будем проолтврс ать эту позерхвошь на плоскость управлньмцих нлраметрон вдоль асв хаутренвего параметре (рис. 9). Э ю проентироаание имеет складки и сбоолв. Проекция точен складок а есть првазя взтастроф. П а рис. 9 ясно пиано, почему переход )празляющнх вораметров через пению «атастраф иногда лыаываег, з иногда ве вызывает с«зчоп (ато ааеисат ш того, лавой части нашей по«ерхвосгн отвечает полажение дне«а). тз Пользуязь атви рпсулком, можпо верехсдить с одного «еша поверхвостп равновесий па цру»ье бее скачков. Схема большияства прлмеяеций тесрвы катастроф гавел же, кзк в опяеапвыг примерах.

Пре»»полагается, что иаучэемый про»!есс описывается при вомоща лакоторого числа управляющих и вкутреллих параыотроз. Сост вяля равновесия процесса образуют покерхпасть гого илв ин го чаша взмерсалй в этом лрощрапот е. Проекция поверх«ости ре иовеснй ме плоскость упр,»~- лающих параметров «ожет имвхь особепиосгл. Прецполагеешя, что вхо — особеипости общего пол женин. В тз лом случае теория особенностей предсказывает геометри»о «катастроф», т.

е. перескоков вз одного состовиия равновесия л Лругоо при пэмеиаиии управляющих лара«в»роя В болыцпвотвв серьеэщзх приложеилй особенность — »то сб рев Уптпи, а реву.»ьтат был насест»э до провозглеювпвя георпп катастроф. Приложения описанного типа бывают более лли целее обосяоззциыми в эавксимости от степени обосповавпостп походных посылок. Каир»очер, в теории хлопков увру»пх конструкций в в теории опрокивывнлия кораблей прежказэиия те рпи полностью полтэер»кцаются эксперг»ме»»тс»».

С другой сшроны, в биологии, психологш» и сацлальиых науках (скажем, в лршшшеипях к теорпп по вдевал биржевмх игроков или л научению вервпых болезвей) как исходные лредпосмлкв, таи и выводи име»от скорее эвристическое вваченяе. а. ЯиФуриАции иплОшииии РАОЯО«гоия Эвелюцконямб процесс математически опвсмвеется векториым полам в фазов и прострзксхве. Точка фазового »росгро швз задает сосжоляие свстеиы, Приложекиып в зшй точке вектор увавывает скорость изменения состоявия. В пекоторых точках вектор может обрек»а св пу. ь. Таьпе то»ив вазываютск яоложеммлмп р енсег ля (состояаио не меплется с течелиек времепи). На рис.

1О явобра»кено фазовое пространство систеыы. симеиза»олтей ваапмсотвошевае кошевка и жертвы (свая»си, щук и карасей). Фа»авэо пространство — пъгомлтельэый квадрант плогьюстп По оси абсцисс отложег»о числа карасей, по осл арлкнат — щук. Тачка Р— положевие равдовесия. Точ«а А соответствует раввовеслому количеству карасей прв 1З эшичествг шук, меньшем равповесмогщ Видво, что с течеияеи времени в системе устанавливаются «слебавияг рвввавесвое состояние рпс. 10 яеусжойчкее.

Устаиовившиасн ко ебзпап иаображагатся земкаутой кривой ва разовой плоскости. Эта кривая вааывэется лргдгзьякм ция шм. Кривые в фаз вом пространстве, обре»о»заныв посавдоввтельлычл с стояниями пр песса, лаз«за»отел фалае»»мк крязммк. В окрестности точка, к являющейся вол жезисп рлнаозссая, ратбиевие фазового простраиства ив фазовые кря ыэ устрсеао так же, кек раабяевке ив пвраллаль вые прямые семейство фазовых привык мшаао пргвратать в сео мейство параллельных пряыых ), ( ) глвдкей аамепой яоорцквах. Б окрестности пал женин разновеса»г ' ' л / гг картнва ела»киев.

Как показал еп)е А. Пуанкаре, пенедеяие фазовых крл»ых в акресткости положения раоиг еспл пз фазовов Р 10. Ф ж л плоскости в системе общего пало- „„„)',д ыл гжеипя такое, квк иаобраяыво пе р ™ рис. 11 Все более сложвые случаи превращаются н указзявые при общем малом и«велении системы. Системы, списывающие роельвые эвалюдиоипые пропессы, кав правило, общего положения. Действигельао„ такал спотема всегда зависит от параметров, которые юо ус гые г зла Лзш вийе Рьс гг тми фзывыэ л р*р м око шкв разве. ееша илкогда це бывают известим точна Мелос обвгее из«энея е параметров цреврашнет слете«у веобщега положение в систему общего положеаия. Таким образом, все более сложаые, чеи укаааивме выше„случаи, вообще гавари, «е доажвы встречаться Плл адвопаРаыетРлческого самейстоа общего поло „ Фаааеой плоскоств ваблюдаетса ваРтива Яеобвгего е! щения ревлааесвя при всеаааыоитлых авачовлях пара е ехра обраауют глад уса кривую (Г ка рис.

13, в болг 15 ва яо, ч в ало>ко ля ! седла-уэелт). васка раева члалу параиетр ) В герлая: едал! оси абсщка иролсхадят те же яелелпя, чю о щоы случае раэмеряость ылогоа Раеил состоиллй равко ля раева члалу параиетр ). В , ' а и х иа рио. 13, а «даль асл ордляаг перестройкл лат ля раева члалу параиетрое).

В чаетвости, это авве в сеыейстае общего пот!соева ., ' овсе. Таком образок, перестроила череа телла — увел о ва ражеввые яа рлс. 14 слгеа бвфурьацил о щего положеявя яе естречаютгв! оры ью лоы иамевелвл гемайгт а Г преаращаетса л гладя а '.

'уж иав "). р у адпого ва иаобрежевлъх ла ряс. 14 спра а справа ть. Праектирааавле кривой Г яа ась значений лараыетре ~Гю в случае одяапараметрлческого сечайстаа кисет ляжь особеялоств тлп» складки (ири большем числе лараиет сю л балов сложлыа асобеявости теория Уигяа: ра ! яапрлыер, в абпи х двулараыетрячьсякх сеыевстеах праектпраааяве поверхвосю! Рееяоеесяй Г иа плоскость аяь- жыттб. Саж -Уат: т! чавий иараиетроа и!жег кисть тачки сборки, гле сливаю!- Р яе Р ж семейжеа ся трл полажеяил раввааескя). Талии об,аэаи, оообые лли я ! обраэаи, прл ваыелекил лараигтра еыделаютсл олучаетсв па одооиервсй перестройки евадстралаавиеы! бгфуркалпавпые аяачевля параметра (крц си ордяпат.

Окааыеаегов, вообще все перестройки логические апачел и апачелля проекции, о, Ь, с, д па рлс. 13) Вло о!копий раалааесля в общих одвопараыетрических оваетах алачепий по чепий положовия раввоэесля гладко ыеиаят геиах и<лучаютга пэ алпамервых ат параметров, При подходе параыстра к бяфуркацлаи- выы Яадстраа!алисы. яоы эвачеяию у ' ачеяжо паложевве раепавесия еуццрэетт отде Вали ущойчивае полажеиие раеяаеесия описывает уо- волаягеявй лрттвы (илв же «яэ воздуха» рождаетсл па и тававиеюяйся режим в какой-либо реальной сястеые ро На х о.

явй раалавеслл). (скажеы, акаяоиижской, екологлческол оли химической), дэу Рождаю!лихая (лли уылрасащлх) выесге по то прв гга сливняк с веустойчиеыы иоложевиеы равво- ложевлй Рэоиоэесля алло устевчиеа, другое леустай- весил системе должке оаеержить слежк, перескочив па чиво. В момент ожсоеерслепяа дртгой режим; ирл кэыевеяил параыетра иеоия иж ся с о деи (ил р ) оба от ! Ок л эа - Рееж аеглое састоапле в РассыатРлеаеиа ' л(' р аноде жутся с бесковечвои скоростью.

«жда еяачеял лсчеэает. Скачки этого Роде " прка " Р параметр» отлячаатся от бпфурлацаовящ а лэ е, аба близ Яа'естроф" цех положелля рааловесил уталелы друг от друга яа рас° таявие варядка е. Иотугд устойчивости гдпновесных Па рж. 15 иэображеле перестрсвла сеыейстаа фаао- и АптоцолеиАтельеых ге!вне!Оп еые эых кривых ла лтосвости в общем адяоиараиатрв ес с ветле. Устойчивое лаложеиие рави эесд (.. .) Потеря устойчивосгл соатояяия раавовесл» лрл лэые- ста квааатсл при леиелевив параметре с веустад „ , леяив параижра ке обяэательио селаака с блфуркацией ("оедлаы»), после чего абе асчеэеют, В ыоыеят о иь „ семаго еж!олива равиовесвя: ало может терять устайчлх слвялия «ость це толька сталииеалсь с другом, «о в саыостаяю я даффюцарфт е а е яь эа „, ° " та "оч Соответствующая лереотрайк» Фа,юеога портрета аа ° воо ю рт сл <я. щ лайф иэоф и Пы жа ийлыф ',Рфя,ц сер;"„'„-', плоскости веоаРажева ва Рлс.

16. Ваеиажиы деа ааРлалте. л 4феоыорф Фэао ю орос р ж, аеас щ х о нарыеыре, А. Прл лаыевевви параыжра ла палаюелиа равиааь 20 сяя рождаежсл вредельяый еи~ (радвуса порядка Фго 2! Р с. 1т. м аз вторн гс Ое ООО рз тсиз Ри 18. Яеюкая потеря узюй ~изттв рази этия когда значение параметра отличаетсв от бвфуркациовво г ва э) Уатайчивтть равновесия переходит к циклу, само ж раэиовесие стакоь св исус Ой'жвым. Б. В полажеили раввоеесил узгиразт л у тоуч иг яреоазькыл цик; область првтяягепия положения рапи,1 есин умевзшаегся с ввм до нуля, после чего цикл исч.