Арнольд В.И. - Теория катастроф

В. И. АРНОЛЬД ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ икдлиия и ктьк, дополикивов втоовскл нлккл гклвилн вкдлтоткн оивико.влтгвлткчксвои дитявлтввы вввв ББН 2245 Д84 УДК 5117(023) ТВОГНЯ КАТАСТРОФ а И «Рд К ЯА.ПВ. ° ив ю эим Вед 155 Список эпггерюурн !!5 и. г ид !ВОТЮГКОО-945 955 5957.Ю !НВМ 5-02-014271-0 Ар ол лв.и теор юг! Вэ. Вг неунэ. Гл ргд.

ф -м т ли ., 1999 — с !55.— !ВВН бфбтнэг14571-9 Мюэ ю и рф — к абрек т юмеи нюне в ус, пв,де е т рнии юофиосю бЙэл ионн давулю ти метеме юли* т югн юобен с ев б . фурнэп й Йсвое иода вэ д ю абэор и нд к д с ииекпб тюри пе!ио рс к, б бл гр фиеб дэтээюи. Рос "ливне не у в реа к п, преводюигелеб, с удектов в всех, р !Фсв со реиевноб иэтематмкод. Ил. В7, Б бл сгр.губ вээв. Р*певеевт Вокюр фюиксювю э ес мук А. К. 9 рлпюкю СОДИРУИАНКВ 5. и р ус од июс р ю .

и они!к!побег ьлиэ Р .. °......... 71 15. Комп. ексньи о о!мв с ...... 77 Д б» ение Пред э юр юэюр ф .. 95 пгедислпиие е тгщэъеыу изданию Математическое описание мира основано на тонкой игре нецрерывнсго дискретного. Дпснрехное более заметно. Фрувкции, «э«в живые существа, хвражериэуются свсиыв особенн стямж, как заметил П. Моптель. Оссбеннеапп, бпфурко«ни я ыгжастрофм — термины, спиаевающне «оэиикновенне дискретных структур пз гладких, непрерывных. Зе последние 30 яет теория особенностей достигла высокого техиичеепогс уроввя, главным образом блага- даря работам ХС У«гни (1955), Р. Тома (1950) п Дж.

Мавера (1965). Сейчас это — мощнмй попый матемапгческий аппарат, имеющей жировую область приложений в естествознании н технике (в особенности в кэмбппация с теорией бифуркаций, вощодящей к диссертации А Пуанкаре 1879 г. п далако раве«той А. А. Андровсвыы, 1933). Цель этой ынвги — объяснить, квк этот аппарат работает, читателю-нематематику. Одвако я надегось, что и специалисты найдут здесь но ые дзя себы факты и идеи. Одни считают теариго «атасцюф частью теория особенностей, другие, наоборот, вплгачагст теорию ссобеняостей в теорию «атастраф.

Чтобы «вбежать столестнчесного диспута, я наэмваю катастрофистамя тех, «тс свм заявляет, гта ег раб те нссвтсн п твори «а асх роф, предоставлня тем самым сноб дини выбор между терминами еособеян стю. эбэфуркаиииэ и эпатастрафыэ самим авторам соохветствующих рабат. Первые рааде ы атой книжки впервые появились в вида статьи и журнале еПрнродаэ (1979, Л( 10). Фраппузсклй перевод с комментариями Р. Тома был аеублннован в 1980 г. в оборкина пере адов «Математика». Русские падания 1981 и 1983 г.

н англвйскяе 1981 и 1986 г. каж. дое содержало новые разделы. Настоящее, наиболее полное наднаяе, во многом отличаегсн ох предыдущих, До- баглеяы сведеяия об нгторни теории затастроф, распщренн разделы о геаыегрнчесвпх преложеяиях, о теория бифуркаций и о припоя:зинах кит«гному ы делярованвю», включая исследовавие перестроек. Бып ы жег, пнттресво ответить, что мои по«мгпи, начинен с 1086 г., апубли«овать анализ перестроегс с точ и зрения теории особенностей увеичвлись успехом люль теперь, несомненно вслодгтвие самой перестройки.

Нз более матеыагнчесних вопросов, вялюченпых в новое иадвине, смену алесь теорию «атягиэавня потери устончи Ости, результаты с нормальвыт фермах пензиях дифференциальных уравнений в релаксвцнеиных колебанпг., теорию внутреннего рассеянии н лн в неоднородной среде, теорию гравичвых особенностей и несоеерженных бвфуркацкй, оп«саине кауспгяи исключительной группы Л» Рэ е гермснах геометрия псв рхности с крае ) в конвлеине группы симметрий П, прееяеьного четырехмерного 600-грэ жка в задачах вариациснпога не«веления н онтнмвльнего управзэиия, теорию перестроек ударных если, универсальность каскадов уд сепий. Угрсеннй и т, д.

Автор благодарен профессорам Р. Тему, М. Берри и Дж. Наю эе полезгю е эамечапив с предыдущих изданиях этой япнжяи. Тем упззаз, чта термин етеори» катастроф» иэ бретен К . Зиманом. а термин еажракторэ, вемсыяэжий прежыее эпритнгинающее миожестэсэ, употреблязсл утке С. Сиейлом (тогда как е первых заданиях жи заслуги был приписаны Тому). По савоту Верра л внлючил з это издание аннотированную библиографию (для читателе«-спецвалисто, поторые найдут в ней встоюп «я б ьювнсгва сообщаемых здесь сведений, ва исключен«ем вебольщого чясла рщуяжат в, впервые опубликованных в атон внюиье с любевн щ согласны в торов).

Профессор Нзй занозил, что иекохорые гель интересные тапслогяческве причины препятст уют реал«заняв ряда перестроек неустик (таких, вак ржкдение елегающей таре с ж) с о, д я паус вк, и р ждея * УГ ввевнем ай«опала или Гэмилюона — Якоби с выпуклмм нс пмпульснм гамильтенианоы Я научилсл тсорпп асобеннщтей в четырехчасовой беседе с Б.Мараном после ега замечательн го доклада аб есобеннсстнх Уитни и Морена яа сомпнэре Тома в 106з г. Морен объяснял мне ~отде формуляр вку фундаментальной таоречы Мазера об устойчиаести, анонсированной 5(азером в тояьло что полученном Мореном письью (дснааагальстео — ве таков, аак у Мааера,— я нашел позже, л тот же день). Неопублиноваяиаа работа Мазеп« 1988 г.

о пРаоой энапвалептвости н несчастью (пдо п с астью) е была мне иээестиа, и я осознал взаимо»«ноше»ив яежду аналогичной работе Мэаэрз работой Г Н Тюриаои 1967 г. (опубликован»ой в 1968 г.) в моей работой 1972 г. об «А, П, Егг, и»снял«симой памяти Тюриной, тольи после того, иак Дж. Ыплнор разъяснил мна его. Пн э 1965 г., ни позже я никогда не был а сосшяиии поаять н с оэа е собственных до»пегих Тома о натастрофах.

Одыажны аа описал лх мне (па-французски)) нан «бла-бла-благ, когда я спрос»д аго, з аачзле семндесятмх годсе, дон«зал ли он своп угзержуднля. Дюне сегодня я ие анею, справедливо ли утюр;иден»а Тамо о локальаай топологичеснои классификации бнфурнац»й н градиентных дивэмичесяих системах, аависящих ат четырех параметров (в иаир«еле»пай форме, пбо ноитрпримвр я исходной жеереме» Тома, аиоасиравапнай н Таро1обу в 1969 г., был опубликован Дж.

Гуяенхоймером а ГП8 г., и «великолепная семерка«, стель аренозиссимая натаотрофзстаьш, должна бить увеличена, чтобы теорема с~зла верной). Но»ельнь» гоп логическел илассифи»ация бифурнапий в градиеитаык дииамичесппх сдстеыах, аависяы«их от трех параметрсз, недалио я лученэ Б. А. Ха»иным (1985). Число тонологичесни раап»оных бифурнаций онаэалось нонечыым, яо значительно большим, чеп предполагал Том, нрспустнэшна рнд бифурнаднй, 5 ооечяо ли число танах бяфурнвцня ири чыоорс* параыетрвк (Том утверждал, что пх семь)— нсарос. дс сих пар ае ре»юлный.

Я по а состоннии также обсужднть в фплософсние илн поэтические декларации Тома, сформулированные танин обрваом, чтобы польза бмло решнхь, сирааедлиэы опл взи нех (а стиле, типичном для среднезаноэой »вупи дв Декарта н Бэконе или дзн» Бзн ноа). К счастью, фундзнеитальиые математичесние оэ'ярмхэн ослиного тополога независимы от наной бм тс ии быио иррацнош«льиой фил сафии. Пуанкаре снээал ная-то, что вштематн»и не уиачтожзют препятствия, межа~ошно им, на просто отодвигают их эа тра»ицы своей яау»и. От двинем же эта слецнфлчесяпе препятствия кан можво дальше от граяиц пауки, е область бесс»»нательного л иррационального.

Поз»»я» М 4 Л«о то «а 1. ОС»ИЛИ«ИОСГИ, ППФУГЦЛЦИИ и клтлбтг Оюм Первые сведения о теория яетасхроф »сан»лись в аапвдаой печати о оло 1970 г, В журн«лах тапа «Ньюс уинэ сообщалось о персе рые в математике, сравнимом рааю что с изобрвтенасч Ныотоноы дофферендиэлыюго и иатогрэльп!го исчисления. Утверждалось, что аоэан наук«- теория нагестр ф — для челоаечестав гораадо пениса, чем математической анализ« в то время нен ьютононсеая теории поэвоя»е« яголедоовть лагоь пзознмо, непрерывные процессы, шсрн» нжаогроф дэвт уааверсаль»ый метод исследования асет сначкообразныэ переходов, разрмваэ, энеэа»ных качественных изменен й. Появились сохаи научны« и он лопзучны« публикаций, в «оторых теория катастроф прныеаяе ся н сталь разнообразным сбьентам, на», аапрнмор, исследо»аппо бизон» сердца, гесметричесная н фнзнчесная антоха, энбряслогия, зг«я«- остяка, ансперементальпая психологии, эноиочпна, годродинамняа, геология и теория алементарных част»я.

Предо опублнноеаипмх работ по теории нвтастроф ес«ь исследсввян» устойчив сте кораблей, моден»роне»но деятельп ста мозга и пспхичесхнх расстройств, гюсстанпй аакюочеиных э тюрьмах, поведения бпржевых игроно, влияния алхаголя па водителей тренспортаьы средств, пол»таян цензуры л отис»шли«о к эротической лнтерэ«Пж Б начале «ммодесятмх годов теории катастроф быстр» слелалась модной, широк реклачнруемой теорией, не»они»а«ошей упдзерсальнос ыо своп« претензий псевдонаучные теорие пршплого нека. Матечатнчгснпг с атон оснаеонолажняяв тоорил »эта«треф Р.

Тома были переизданы чассаэым т рожон в «арпа»ной серно — событие, ноторего но была н математическом мире со еремени вознинповеннн ниберне- 7 Талии обраэсм, отображал е лопается в локальных иоордннатах 4ормулами р, л(+ эххь, р» ли На горнао тальиой плоскости-проеицип эыделяется нолуяубич. лаа лорабслл с точной эоэврата (острием) в начале «оординат. Эта нриэая делит гориаоятальную плоено ть н» дэе часгиг меньшую н большую.

Точил ыэныией части имеют по тра пр обрааа (э них проентируетсл три точяи пвиврхности), точил большей части— люль па одному, точки ириней — пс два. При подхода н кривой иэ меньшем части пна прообрааэ (иа трех) сллнюотся н нсчеаают (в атом место особенность — складка), нри подходе н острию слипаются исе три прообрава. Уитни долаэал, что сборка уыоодчи а, т.