Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний, страница 3

!.1,6), (2. 2) 1х+сх= О, где 1 — мом ент инерции движущегося тела; х— с — крутильная жестко а; х — Угол повоРота тела; = СгсозР! +С тяп р1, где = Г Р = ' с(т — угловая частота; С и С и с Ровання, определяем з — постоянные интегрнОб яемые из начальных условии означив сме ветст щенне и скорость в начальный " момент =- О соотственно через х и л, р з ле после подстановки в уравнение (2 3) найдем. С = — х, ,= — х, С,=хе1р. (2А) Выражение 12.я ( .3) можно записать в виде х = А айп (р1 + о). (2.5) Разом, движение г за п и Таким об омассовой линейной сист ру р свободных колебаниях конс р- еро " " емы описывается синусоида у " ебаний А, периодом т и начальной аалгплитудой колеб ль- 1 А — )/ С~, С» 1/ хо Ьо/р) (2.6) (п и = С,/С, = рх,/х,.

(2. Т) Период колебаний т определяется из условия рт == 2я, откуда т = 2х/р = 2х ~'т/с. (2.8) Число колебаний в единицу времени (техническая частота) » = ! /х = р/(2и). (2.9) Частота в герцах равна числу колебаний в секунду. Часто в технической литературе частоту и период колебаний свяРис. 2.1 зывают со статической деформацией упругой связи, вызванной силой, равной весу груза, /«х =- тд/с. /«х у Ймеют место следующие формулы: р = )/й/~„; » =. — )' « ~~„; т .==- 2е )//„~д.

(2.10) Очевидно, что величина /„ введена в формулы (2.10) формально и, эти формулы справедливы независимо от того, совпадает или не совпадает направление силы тяжести с направлением движения груза. Рассмотрим изменение энергии при свободных колебаниях линейной консервативной системы. В любой момент времени система обладает запасом кинетической энергии груза Т и потенциальной энергии деформации упругой связи ' (/, которые равны: Т = «/«тх« = '/»тА»р» соз«(р/+ и), (/ = »/«сх« =- '/»сА«з(п«(р/+ Е).

Так как р» =- с/т, коэффициенты при квадратах синуса и косинуса в выражениях (/ и Т одинаковы. Следовательно, полная энергия системы П сохраняет постоянное значение: П =(/+Т= »/«сА» (2,11) (/п1«х = Тт~хх ° Изменение кинетической и потенциальной энергии во времени представлено на рис. 2.2. Весьма удобным является изображение закона движения системы' на фазовой плоскости (фазовый «портрет»). Фазовым портретом двиясеяая называется графическое изображение зависимости скорости движения от смещения. Уравнение движения (2.5) вместе с полученным из этого уравнения выражением для скорости х = — Ар соз (р/ + Т) 12 представляет собой уравнение фазовой траектории в параметрической форме.

Исключив параметр р/ + ~Р, найдем х' (-х»/р» = А'. (2.12) Уравнение (2.12) является уравнением эллипса с полуосями, равнымн А и рА (рис. 2.3). Верхняя полуплоскость соответствует возрастанию смещения, нижняя — убыванию. Размеры эллипса зависят от начальных условий, определяющих амплитуду колебаний А. Все возможные свободные колебания линей- Рис. 2.2 Рис, 23 '/р =р/.( э 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ В качеств ве модели системы с одной степенью свободы вновь рассмотРич тело массой ассой и, удерживаемое упругой связью с жесткостью с (Рис.

3,1). На т . ). а тело действует переменная внешняя сила Р(1). В этом 13 ! ной консервативной системы изображаются семейством эллипсов, каждый из которых соответствует определенному уровню энергии. Чем больше амплитуда колебаний А, тем больше полная энергия системы. Если значения энергии откладывать по оси, перпендикулярной чертежу, получится поверхность (параболоид), нижняя точка которой соответствует нулевому энергетическому уровню.

Точка, изображающая значения смещения и скорости в данный момент (изображающая точка), перемещается по горизонтали этой поверхности. Заметим, что если изменить масштаб построения фазовой траектории и откладывать по оси абсцисс х, а по оси ординат — х/р, то фазовая траектория (рис. 2.4) будет представлять собой окружность радиусом А, при- Рис, 2.4 чем изображающая точка будет равномерно двигаться по этой окружности с угловой скоростью, Равной угловой частоте колебания р Пин. Ри наличии рассеяния энергии изображающая точка перемещается по спирали, приближаясь к началу координат.

случае уравнение движения груза имеет вид тх+ сх = — Р(1), или после деления на т х -1- р'х = р (/) /пс (3. 1) : 1:: Общее решение линейного неоднородного уравнения (3.1) равно сумме какого-либо частного его решения с хс и общего решения (2.3) однородного РЮ уравнения (2.1): 4П х=х +С,совр/+С, з(пр/. (3.2) 4С Импульсивная нагрузка. Для вычис- ! ления частного решения рассмотрим ! сначала воздействие на систему (рис. 3.1) импульсивной нагрузки. Пусть на неподвижную и недеформирован- ~ ную систему в течение бесконечно малого времени — 9< 1 < О дей- ! ствует бесконечно большая сила, так что импульс силы о 1ип (РМ.=- / -2 имеет конечное значение. В соответствии с теоремой импульсов тело получает за время действия импульса скорость о == //гп.

Смешение груза за время действия импульса при 9 -+. О стремится к нулю. Таким образом, по окончании действия импульса при Г = — О тело имеет нулевое смещение и скорость о. Далее (при 1 ) 0) система совершает свободные колебания в соответствии с формулой (2.3). Начальные условия свободного движения определяются равенствами х, =- О, х, -- о =- //т, и, следовательно ~ (см. уравнение (2.4)), закон движения определяется зависимостью, х = ( хс/р4 яп р/ = (//(тр) ) ейп р/. (3.

3) Введем специальное обозначение для закона движения системы под действием единичного импульса У (/) = (1/(гпр)) гйп р/. (3.4) , Функцию У(1) можно назвать реакцией системы ьа единичный и,и- пульс. Возмущающая сила, изменяющаяся по произвольному закону. ' Поскольку рассматриваемая система является линейной, для нееспра- ~ ведлив принцип суперпозиции. Это означает, что перемещение (в функции времени), вызываемое несколькими нагрузками, равно сумме перемещений, вызываемых каждой из нагрузок. Пусть к системе, изображенной на рис.

3.1, приложена сила Р(1), ! меняющаяся по произвольному закову. Найдем частное решение уран- 1 пения движения, предполагая, что в начальный момент 1 =- О система 14 неподвижна и не деформирована. Произвольную нагрузку представим в виде суммы следующих один за другим бесконечно малых импульсов д/ -= Р(9)69 (рис. 3.2). Каждый из таких импульсов вызывает в момент / ~ 9 смещение где г' — реакция системы на единичный импульс. Полное смещение в момент 1 равно сумме смещений, вызываемых всеми элементарными импульсами, приложенными при 9 ( б Иначе говоря, Р 4 х* (/) = ( Р (9) У (/ — 9) с(9.

(3.5) о Для рассматриваемой системы реакция на .4- а .4 4 ! . Ур (2.4)! 1 ° ! х„=-= — ~ Р (9) 21п р(/ — 9) с(9. (3,6) Рис. 92 Ир о 2 = — 1 (9) 691'(/ — 9), / х, = — ( Р(9) з(пр(/ — 9)59, С4Р,. о 924 ! ., ! — '* =- — Р(/) сйпр(/ — /) + — (Р(9)совр(/ — 9)Й9 = 'о = — - — ~ Р(9) совр (/ — 9) 69, о 4!2х — = — — Р (/) соз р (/ — /) — Р ~ Р (9) 21п р (/ — 9) йЭ = — Р (/)— С2 о 4П вЂ” р х„, 2 15 Следует отметить, что область применения формулы (3.5), называемой интегралом Дюамеля, значительно шире, чем формулы (З.б), справедливой лишь для рассмотренной простейшей одномассовой системы. При выводе формулы (3.5) использовался только принцип супер- позиции. Поэтому зависимость (3.5) выражает частное решение для любой линейной системы через ее реакцию на единичный импульс.

Нетрудно проверить подстановкой, что выражение (3.6) в самом деле представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.1). При дифференцировании выражения (3.6) следует учесть, что Г является верхним пределом интеграла и, кроме того, входит в подынтегральное выражение в качестве параметра. Поэтому производная дх,/д/ складывается из производной по верхнему пределу и производной по параметру: х (1) — ~ Р(! гг) У(О) Ы.

й (3. 7) х = ( 7г (! — О) У (О) б О = й . (!), о хо(!) =- ( Р(! — О)з(прОЗО. Ргп о (3.8) Здесь введено обозначение а) Ро ~ Рис. 34 о) йхст ~ Хсс Здесь введена фушсцня Рис. З.З 1, (!) — (' У(9) ЙО, О РЗ 17 Подстановка последнего выражения в уравнение (3.!) обращает его в тождество. Так как при ! =- 0 хо(0) =-- О, х,(0) = О, то постоянные С, и С. в выражении (3.2) связаны с начальными условиями движения темп же зависимостями (2.4), как и при свободных колебаниях. Поэтому при ненулевых начальных условиях перемещение в любой момент времени определяется выражением х(!) — х,совр!+ — х,сйпр1+ — ~ Р(О) з'"Р(г О)с('.

1 1 Р Рго о В заключение отметим, что путем замены переменной интегрирования на ! — д интеграл Дюамеля (3.5) может быть представлен также в виде или после подстановки выражения (3.4) Внезапная нагрузка. Пусть при ! = О к неподвижной и недеформнрованной системе прикладывается мгновенно возрастающая и в дальнейшем сохраняющая постоянное значение Р, нагрузка (рис. З.З а).

Пользуясь выражением (3.7) и вынося постоянную силу Р„за знак интеграла, находим при ! ) 0 х = Ро ~ ! (О) 119 =- ! о! г (с). о которую можно назвать реакцией системы а внезапно приложенную единичную нагрузку. Для системы рис. 3.1 У,(!) = ~ У(9) бй = ) — гйпрЫО = —, (1 — совр!) (3.9) 1 . 1 тР о тР~ и, следовательно, перемещение системы под действи, " тянем внезапно прнло„;сивой нагрузки составляет х = (Ро/(агро)) (! — соз р1). (ЗЛО) Так как тро == с (жесткость упругой связи), то Ро7(тр') —.

хсс представляет собой статическую деформацию упругой связи и пз фо мулы (3,10) следует, что максимальное ои связи и пз фординамическое перемещение прн внезапном приложении нагрузки вдвое а) р! больше статического. График зависимости х(1) приведен на рис. 3.3,б. Линейно возрастающая нагрузка. Закон изменения нагрузки (рис.