Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005), страница 9

Синусоцпапьный ток в резистивном элементе с сопротивлением г вызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно пол' чить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока, При синусоидальном токе за один период Т в резистивном элементе с сопротивлением г выделяется тепловая энергия Т 1д = )' г1эг11, 0 где,1 — мгйовенное значение сннусоидального тока. По определению действующего значения синусондального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном элементе должно вьщеляться при постоянном токе за тот же интервал времени Т: Ь' = г1'Т.

т Следовательно, Т «Тт 7 — У г~ зг71 о откуда находим действующее значение синусоидального тока; Т 1 1 211 Т о (2.17) Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период На рис, 2.8 показаны синусоидальный ток 1, изменение во времени квадрата тока 1' и графи- 48 где ьт — угловая частота; Д. — начальная фаза; / — максимальное 1 Ю значение 1'амплитуда1 тока, Средним значением синусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупернод, совпадающее со средним значением по модулю.

Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю: „г /г 1 Рис. 2.8 Т / соэ 2оэг г/г = О, то о Т итаккак / с/г=Т, а о / = / /хг 2. (2.18) Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики синусоидального тока потому, что в большом числе случаев его действие пропорционально квадрату этого значения, например тепловое действие, взаимодействие прямого и обратного проводов двухпроводной линии и т. д. Аналогично для любой другой сннусоидальной величины а = = А а!п(оэг + Р) (ЭДС, напряжение, магнитный поток и т, д.) среднее ю значение (2.19а) А = 2А /л = 0,637А, действующее значение (2.19б) А = А /,/2 = 0,707А „.

а,т, РАзличные спОООБы пРедстАВления СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН Известно несколько способов представления сннусоидально изменяю- шихся величин; в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в вице вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел, В й 2.5 и 2.6 уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2.14), (2.15), и в виде графика изменений во времени (рис. 2.6) .

Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся векторов и комплексных чисел. 49 ческое определение значения /' (из равенства пло1цадей /эТ = /1'аг), а тем самым и действующего значения /. Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное. А. Представление синусоидальных величин врапгающимися векторами, Для представления сипусоидально изменяющейся величины а = А а!п(сот + 92) с начальной фазой ЧЭ вращающимся вектором построим (рис 2,9, а) радиус-вектор А этой величины длиной (в масштабе построения), ю равной амплитуде А, н под углом ф к горизонтапьн<>й оси.

Это будет ю' его исходное положение в момент начала отсчета времени 1 =О. Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростыа ьз против направления движения часовой стрелки, то его проек:гия на вертикальную ось будет равна А гбп(ьэг + 99). По значениям этих ве- /П личин можно построить график зависимости сипусоидальной величины от фазы сот или от времени 1.

Такос построение привслепо для некоторых значений 1 па рис. 2.9, б. Применение вращающихся векторои позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидалыю изменяющихся величин одинаковои юстогги Б. Представление синусоидальных величин комплексными числами, От представления синусоидзльпых величин вршпаюшимися радиусами- векторами нетрудно перейти к представлению сннусоицальпых величин комплексными числами.

Зля того чтобы представить синусоидальпую величину а = Аюагп(оэг е Ф) (2.20) с начальной фазои ф комплекснь~м числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2,!О) иэ начала координат под углом ф к оси дсйстви- Аи Рис. 2.9 Рис. 2ДО +1 50 тельных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде А синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комллексная амплитуда сннусоидальной величины: А =А е)ф=А ~Ф. ю гя т Так же обозначается и соответствующий ком~шексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.

При увеличении во времени фазы оэг е чг синусо1щальной величины угол между вектором и осью деяствительных величин растет, т. е. получается вращающийся вектор А е'~ о' 'т) = А соа(оэг т Ф) е /А аш(оэт+ )е). Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна за- данной сннусоидальной величине (2,20), По сущестйу представление синусоидальной величины комплексной амплитудой А и соответствующим ей вектором на комплексной пло- скости геометрически подобно представлению той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором А „в момент времени г = 0 (рнс. 2.9, а) . Поэтому может создаться впечатление, что оба пред- ставления сннусоидальных величин практически совпадают. В действи- тельности это не так.

В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комп- лексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание. Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе по- строении равна действующему значению синусоидальной величины, н соответствующее комплексное число называются комплексным дей- етвуюи)им значением синуеоидальной величины. А =А !х/2 =Ае)ф =А2.уг.

(2.2) ) Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис. 2.! 0) . Применяются три формы записи комплексного значения сипусоидапьной величины: показательная форма А = Леэф = А! Ф; (2.22) тригонометрическая форма А = Асов ф + )Аатпф (2 23) и алгебраическая форма А = КеА + /1гпА, (2.24) где КеА =Асоаф и)тА =Атбп)т — действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины; А = !я! А (КеА)'+ (1гпА); Ч) =асс!я —,, Ке А Переход от показательной формы к тригонометрической вьпщлнен при помощи формулы Эйлера: +. еу)" = сов ч) + !'а)пч).

(2.25) При значениях угла ф = я!2 и ч) =-я/2 из формулы Эйлера следуют два часто встречающихся соотношения )я/2 „— 7 я/2 11 (2.26) При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоида!!ьных величин; сокрашанно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векюрами комплексных значений. Например, синусоидальному току ! = 7 а)п(со! + ч). ) = 10аэп(щг + 45') соответствует комплексное значение тока !О 2 = 7е ' = — е! 5 = 7 07 2.

45'. чl 2 Совокупность векторов комплексных значений синусондальных величин одной частоты называется векторной диаграммой Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными. Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы !й всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну н ту же величину.

Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений прннимаетсн положительным.

Это направление выбирается произвольно и показьвается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. Прн 52 4 — ~ Рис. 2.11 выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением а =А а(п(ьэг + й) и соответствующим комплексным значением А = А 7 ьг '(см. (2.21)). Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидапьных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис.

2.!!) . 2,В ЗАКОН ОМА В КОМЛЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ДЛЯ РЕЗИСТИВНОГО, индуктивного и емкостного элементов то по закону Ома (1.1) напряжение, приложенное к элементу (рис. 2,12), равно и = г( = г/ а!п(оэ! + ~4, ) = (г 51П(ьэг ь ф ), где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением (г 27а) и =г7 гм гт а их начальные фазы одинаковые. (2,27 б) йя = Ф, т. е.

ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазно— совпадают по фазе, как показано на рнс. 2.12 для начальной фазы $„= =й,)0. Разделив правую и левую части выражения (2.27а) на,/2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока резнстнвного элемента; (2.28) и =ту Г Г Представим теперь синусоидальные ток и напряжение резистивного элемента соответствующими комплекснымн значениями (2.22): зф 1 =ус ! н сГ =Ге ч Г ь Г 53 Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин. А.