И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 18

4.3. Интерференция плоских волн. Две одинаковые когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых е с 1, падают почти нормально на экран. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране (ширина интерференционной полосы) Лх = 1/р, где 1 — длина волны света. Р е ш е н и е. Каждая плоская волна имеет вид Е = Асов(мг — 'кг+ а), и отличаются они друг от друга только векторами к, и йп а также дополнительными фазами а, и а,. В точке экрана с радиус-вектором г разность фаз таких двух волн равна следующему выраясению: й,г — )гзг + Ла = Л» Лг+ Ли, где Лй - й; й,.

Пусть в этой точке экрана образуется максимум, тогда переход к следующему максимуму будет определяться условием Л)с Лг = 2в, где Лк )) Лг. Заменим эти векторы на их модули: (Лй( = /нз = (2х/1)ф и ~Лг~ = Лх. В результате из формулы (1) получим Лх = 1/р. Следует отметить, что приведенный расчет дает возможность найти только ширину Лх интерференционной полосы, но не порядок 116 Глава 4 интерференции эз.

Последнее же бывает во многих случаях весьма необходимым. 4.4. Бипризма Френеля. Найти выражения, определяющие условия для ширины з щели и степени монохроматичности Х/Ы., которые обеспечивали бы получение интерференционной картины на всей ширине зоны интерференции (в месте расположения экрана), причем с достаточно хорошей видностью. Расстояния от бипризмы до щели и экрана равны соответственно а и Ь, преломляющий угол бипризмы О, показатель преломления стекла л. Р е ш е н к е. Для выполнения указанных требований следует, согласно формулам (4.13) и (4.14), обеспечить должные значения длины и ширины когерентности, (, и й„„. Для получения интерференционных полос надо, чтобы Ь„,„в месте расположения бипризмы (где волна расчленяется на две части) превышала вдвое расстояние д' между лучами, которые затем сходятся вблизи центра интерференционной картины на экране.

В этом случае складываемые колебания будут достаточно когерентны для создания интерференционных полос с хорошей видно- стью. Итак, надо чтобы Л„,„в Ы'. Здесь Ь„ь 1/в = Х/(з/а), з — искомая ширина щели. Расстояние же сГ найдем с помощью рис. 4.27, откуда следует, что где д = а . 2а, а — угол отклонения луча, после прохождения через бипризму — он одинаков для всех лучей: а = (л — 1) 6 (см. задачу 3.6). После подстановки выражений для И„,„и д' в исходную формулу получим 1а — >2 — - — а 2а, з а+Ь откуда з< — 1+— Теперь второе условие — относительно 1/п1.

Согласно (4.13), необходимо, чтобы („,„> 23. Здесь („,„= 1з/31, а б — оптическая раз- ность хода, которая должна соответствовать получению максимума наибольшего порядка — на краю зоны интерференции в месте расположения экрана. Пусть полуширина зоны интерференции в Иазерференпяя света Ряс. 4.23 Ряс, 4.27 этом месте равна х„, тогда с помощью рис, 4.28 из подобия треугольников получим: лУи=х У(а+Ь), где а = а 2а, х„= Ь и (см.рис. 4.11).

После подстановки выражений для („,„и о в исходную формулу получим: х„,3 аЬ вЂ” >2 — "' =4 — и'. о1 а+Ь а+Ь откуда 4а ад > 31 1 а+Ь 4.5. Интерференция при отражении от тонкой пленки. На поверхности стекла находится тонкая пленка воды. На нее падает свет с длиной волны Х под углом 3 к нормали. Найти скорость, с которой уменьшается толщина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток времени между последовательными максимумами отражения равен ЛИ Р е ш е н и е: Из формулы (4.32) следует, что переход к следующему максимуму происходит при условии от = 1 и ЛЬ = оай Отсюда и — искомая скорость: Х и=. 2ЛГ л — зш 3 и .

з где л — показатель преломления воды. 48 Интерференция от клина. Свет с длиной волны 1 от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянкого клина с малым углом раствора. В отраженном свете наблюдают пв Глава 4 систему интерференционных полос. Расстояние между соседними максимумами на поверхности клина равно Лх. Найти: а) угол между гранями клина; б) длину когерентности, если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии 1 от вершины клина (1» Лх). Р е ш е н и е. а) При переходе к соседнему максимуму оптическая разность хода Л должна равняться ь, т.

е. 2бхбл = ).. Здесь учтено, что угол клина весьма мал. Отсюда 0 = )./2лбх. б) Запишем условие исчезновения интерференционной картины (1„,„ь Л), пренебрегая «потерей» полуеолны, поскольку в нашем случае 1» йж Тогда 1„.„= 210п. Подставив в зту формулу выражение для 0 из предыдущего пунк- та, получим: 1„„я )'1/Лх. 4.7. Кольца Ньютона. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой.

Пространство между линзой и пластинкой заполнено некоторой прозрачной жидкостью. Известны показатели преломления линзы я„данной жидкости и, и пластинки л„причем и, ( л, < и,. Радиус кривизны сферической поверхности линзы равен В. Определить радиус Ь/-го темного кольца в отраженном свете, длина волны которого ).. Р е ш е н и е.

При таком соотношении между показателями преломления «потеря» полуволны (это ведь скачок фазы на я) происходит при отражении от обеих поверхностей границы жидкость— стекло, и они «гасят» друг друга. Поэтому условие образования т-го темного кольца выглядит так: 2Ьл, = (л» вЂ” 1/2))., т = 1,2,...Х,„. Кроме того, уучтем связь (4.3б) между зазором Ь и радиусом кольца г: 2ЬА г'.

Исключив Ь из этих двух уравнений, получим: П9 Интерференция света 0 1 э" 3 4 Х, ь Р Э г 3 З 5 ~, Рас. 4.30 Рис. 4.29 4.6. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности В лежит на стеклянной пластине, причем из-эа попадания пылинки между выпуклой поверхностью линзы и пластинкой нет контакта. Найти радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если диаметры Х,-го и Ф -го темных колец в отраженном свете равны соответственно с(, и 4е Р е ш е н и е.

Здесь воспользоваться непосредственно формулой (4.36) мы не можем, так как не знаем порядков интерференции колец: они не совпадают с номерами колец. Но разности порядков интерференции равны разности номеров. Этим мы и воспользуемся. Условие образования темных колец (рис. 4.29), согласно (4.34), запишем как 2(Ь+ 5Ы = лз)., кроме того, геометрическая связь между Ь и г, согласно (4,35); 2ЬВ - г'.

С помощью этих двух равенств находим: г,' -г = В(2Ь, -2Ь,) = В(лэ, — и,)). = В(Ф, — Ф,)).. Отсюда 4.9. В двухлучевом интерферометре используется некоторая спектральная линия, состоящая иэ двух близких компонент с длинами волн )ч = 577 нм и ),, - 579 нм. При каком наименьшем порядке интерференции видность интерференционной картины будет наихудшей 7 Р е ш е н и е. Изобразим расположение максимумов двух компонент (рис. 4.30). Иэ рисунка видно, что видность будет наихуд- Глава 4 120 шей, когда максимум компоненты 1, окажется посередине между максимумами компоненты Хг Это будет при условии тй, =т~., + )ч/2. Отсюда вь = )„/20., — ).,) т 140.

4.10. Интерферометр Майкельсона. В нем используют желтую линию натрия, состоящую из двух компонент с длинами волн Х, = 589,0 нм и )т = 689,6 нм. При поступательном перемещении одного из зеркал иитерферометра интерференционная картина периодически исчезала (почемуу). Найти перемещение зеркала, при котором последовательно появляются наиболее четкие интерференционные картины. Р е ш е н и е. Условие перехода от одной четкой картины к сле- дующей: (лз + 1))„= тй„ где т — некоторое целое число.

При этом условии максимумы от Х, и Ц будут накладываться друг на друга. Соответствующее перемещение ЛЬ зеркала определяется уравнением 2ЛЬ = тЛ, где под 1 можно понимать как йо так и Х, (их различие здесь не существенно: оно слишком мало). Из этих двух уравнений получим: ЛЬ и 1""/2Ю„ где б). = лг )и Дифракция света чг 5 5.1. Принцип Гюйгенсп — Френеля Введение.

Под дифракцией света, как н других волновых процессов, понимают любое отклонение от прямолинейного распространения колебаний в среде с резкими неоднородностями (края экранов, отверстия и др.), что связано с отклонениями от законов геометрической оптики. Это приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени, Мы постоянно наблюдаем дифракцию звуковых волн, волн на поверхности воды, радиоволн. Для наблюдения же дифракции световых волн необходимы специальные условия, обусловленные малостью их длин волн Х.

Наблюдение дифракции света проводят обычно по такой схеме. На пути световой волны помещают непрозрачную преграду, закрывающую часть световой волны. За преградой располагают экран, на котором при определенных условиях возникает дифракционная картина в виде той или иной системы полос и пятен — максимумов и минимумов освещенности. Исследование распределения интенсивности света на экране и будет являться основной нашей задачей, поскольку дает достаточно обширную информацию как о свойствах самой световой волны, так и о действии того или иного участка незакрытой части преграды (круглых отверстий, щелей и др.).

Первое объяснение дифракции света принадлежит Френелю (1818 г.). Он показал, что количественное описание дифракционных явлений возможно на основе построения Гюйгенса, если его дополнить принципом интерференции вторичных волн. Вообще говоря, для описания дифракционных явлений не требуется вводить никаких новых принципов.

В рамках электромагнитной теории света задача сводится к нахождению решения уравнений Максвелла при определенных граничных усло- Глава 5 122 виях. Однако решение такой задачи представляет большие математические трудности. Поэтому в большинстве случаев, представляющих практический интерес, вполне достаточыым оказывается приближенный метод решения задачи о распределении иытеысивности света, основанный ыа принципе Гюйгеыса — Фреыеля, Именно этот принцип и основанные ыа нем простые и наглядные методы расчета мы и возьмем за основу дальнейшего изложения.

Принцип Гюйтеиса-Френеля. Этот принцип является основным постулатом волновой теории, описывающим и объясняющим мехаыизм распространения волы, в частности световых. В чем его сутьу Рвс. 5.1 Рассмотрим экран Э с некоторым отверстием, через которое проходит свет от точечного моыохроматического источника Рс (рис. 5.1). Задача состоит в определеыии напряжеыыости Е в любой точке Р за экраном.

В методе Фреиеля предполагается, что ыапряженыость Е в точках отверстия такова, как и при отсутствии экрана, и что в точках непосредственно за экраыом Е = О. Т. е. считается, что существенна только форма отверстия экрана, ыо ые сам экран. Зто предположеыие, как показал опыт, справедливо, когда размеры отверстия и расстояния до источника и точки наблюдения Р значительно больше длины волны Х, т. е. когда отклонения от геометрической оптики давольно малы. Оыо нарушается для отверстия, например, щели, ширина которой значительно меньше Х. Закроем мысленно отверстие в экране произвольной поверхыостью Я. Разобьем эту поверхность ыа элементарные участки ЙЯ. По предположению Френеля каждый из этих участков становится источником вторичной сферической волны.