И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы', страница 19

Амплиту- Дифразяея света да вторичной световой волны, достигающей интересующей нас точки Р, должна быть пропорциональна амплитуде Е первичной волны, приходящей к элементу ЙЯ, а также площади самого элемента ЙЯ, и обратно пропорциональна расстоянию г от элемента ЙЯ до точки Р. Для определения результирующей амплитуды колебаний в точке Р, т. е. суммы элементарных амплитуд, необходимо еще учесть, что колебания от разных элементов ЙЯ достигают точки Р с разными фазами.

Это приводит к появлению в выражении для результирующей амплитуды множителя соз(йг + а), где й = 2я/Х, а а — дополнительная фаза, равная фазе первичной волны в элементе ЙЯ (для разных элементов она в общем случае не одинакова). Таким образом, результирующая амплитуда напряженности Е„в точке Р может быть представлена как суперпозиция элементарных амплитуд с учетом их взаимных фазовых соотношений: Е = )К(9) — 'соз(йг+ а)ЙЯ, г (5.1) где интегрирование проводится по выбранной нами поверхности Я. В интеграле (5.1) ас — величина, определяемая амплитудой световой волны в месте нахождения элемента ЙЯ; К(9) — некоторый коэффициент, зависящий от угла 9 между первоначальным направлением световой волны в данной точке — волновым вектором й — и направлением на точку Р.

Естественно предположить, что коэффициент К монотонно убывает с ростом угла 9. Многие практически важные дифракционные задачи можно, как мы увидим далее, решить при весьма общих предположениях относительно К(9), не уточняя конкретного вида зависимости его от угла 9. В дальнейшем мы будем рассматривать ситуации, позволяющие в качестве поверхности Я брать волновую поверхность падающей волны, что значительно упрощает расчеты. В этом случае угол 9 в коэффициенте К(9) представляет собой угол между нормалью и к элементу поверхности ЙЯ и направлением от ЙЯ к точке Р, а дополнительную фазу а в (5.1) можно считать равной нулю, а - О. Глава З Интеграл (5.1) выражает собой математическую формулировку принципа Гюйгенса-Френеля. Суть этого принципа в следующем: для определения амплитуды колебания в точке Р, лежащей перед некоторой поверхностью Я, надо найти амплитуды колебаний, приходящих в эту точку от всех элементов бЯ поверхности Я и затем сложить их с учетом амплитуд и фаз.

При этом предполагается, что все элементы поверхности Я взаимно когерентны — это ыеобходимое условие для интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса — Френеля можно представить в простой и наглядной форме с помощью векторной (фазовой) диаграммы (рис. 5.2). ИспоЕ„ льзование подобных диаграмм в дальнейшем позволит значительно упростить многие рассуждения и расчеты. йе, ае, На этой диаграмме результирующая Рис, е.2 амплитуда — вектор Š— представле- н на как векторная сумма амплитуд йЕ колебаний в точке Р от различных элементов ЙЯ поверхности Я с учетом их фаз, т.

е. углов между ыими. й 5.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии Зоны Френеля. Суммирование (интегрирование) амплитуд элементарных колебаний, приходящих в точку Р, вообще говоря, весьма сложно. Но в простейших случаях, обладающих определенной симметрией, интегрирование, как показал Френель, может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением (последнее особенно наглядно). Суммирование амплитуд колебаний, приходящих от различных элемеытов волновой поверхности Я, Френель предложил делать с помощью разбиения поверхности Я на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи. Пользуясь методом Френеля, определим амплитуду световых колебаний в точке Р за круглым отверстием на его оси (рис.

5.3). Волновая поверхность Я„которой мы перекроем отверстие, симметрична отыосительно прямой Рср, поэтому ее наиболее целесообразно разбивать ыа кольцевые зоны с центром ыа оси отверстия. Зги зоны выбираем так, чтобы расстояние от краев каж- Дифраиаив света рис. э.з дой зоны до точки Р отличалось друг от друга на половину длины волны, Х/2. Это и есть зоны 4эремеля в данном случае.

Найдем внешний радиус т-й зоны Френеля, г„. С этой целью воспользуемся рис. 5.4, из которого видно, что отрезок СО равен (5.2) Ь, е Ь, = тХ/2. Выразим Ь и Ьа через г и соответствующие радиусы а и Ь + тХ/2. Согласно теореме Пифагора, ~г =а' -(а — Ь,) . Пре- Рис. 5.4 образовав правую часть этого равенства как разность квадратов, получим гг =(2а — Ь,) Ь.. Обычно мы будем иметь дело со случаями, когда Ь, «2а, поэтому предыдущее равенство можно записать так: Ь, =г„/2а.

(5.3) Рассуждая аналогично для правой части рис. 5.4, получим следующее выражение: гг =(Ьетй/2) -(Ьетй/2-Ь,) =(25етй — Ь,)Ь,. Пренебрегая здесь в последней скобке слагаемыми тХ и Ь по сравнению с 2Ь, приходим к выводу, что Ь, =г'/2Ь. (5.4) 126 Глава 5 Остается подставить (5.3) и (5.4) в исходную формулу (5.2), и мы получим, что внешний радиус т-й зоны Френеля аЬ г = ~тХ вЂ”.

а +Ь (5.5) Заметим, что если падающая нормально на данное отверстие волна плоская (и -ь о), то г = /тХЬ. (5.6) Если же падающая волна сферическая и сходящаяся в точке, расположенной за отверстием на расстоянии а от него, то а следует считать отрицательным: а < О. Чтобы иметь некоторое представление о порядках величин, с которыми приходится иметь дело при дифракции света, рассмотрим следующий пример. Пример.

На круглое отверстие радиуса г = 1,0 мм нормально падает плоская световая волна с Х = 0,50 мкм. Определим число зон Френеля, которые укладываются в этом отверстии для точки наблюдения Р, расположенной на оси отверстия и отстоящей от него на расстоянии Ь - 80 см. Поскольку падающая волна плоская, следует воспользоваться формулой (5.6), откуда находим УЛ = — = (10 ")' = 2,5, И 0,5 10 0,8 т. е. в данном случае в отверстии укладывается две с половиной зоны Френеля.

Площади зон (при достаточно малых т) ЛЯ =лг~ — л~г,, или Лв=пЛ вЂ”, аЬ а+Ь (5.7) т. е. практически одинаковы. Но амплитуды колебаний, приходящих в точку Р от этих зон, монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния г до точки Р от каждой следующей зоны и роста угла 9 между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р. Фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р соседними зонами, отличаются на к, поэтому векторы-амплитуды нечетных Дифракции свата зон противоположны по направлению векторам-амплитудам от четных зон. И результирующая амплитуда, а значит и интенсивность, зависит от того, четное или нечетное число т зон Френеля умещается в отверстии — для точки наблюдения Р. Если число зон нечетное, в точке Р наблюдается максимум, если же число зон четное, то — минимум.

Число зон т в отверстии мы можем изменять. Например, для увеличения числа зон надо или расширить отверстие, или приблизить экран к нему, или то и другое вместе. Это непосредственно вытекает из формулы (5.4)„если под г понимать радиус отверстия. Спираль Френеля. Рассмотрим графический метод сложения амплитуд. В этом простом и наглядном методе волновую поверхность мысленно разбивают на весьма узкие кольцевые зоны. Амплитуду колебаний, создаваемых каждой из таких зон, изобразим вектором ЙА.

Вследствие увеличения расстояния г и уменьшения коэффициента К амплитуда колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой зоной, будет убывать по модулю н отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора с)А против часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в точке Р. На рис.

5.5, а показан результат действия 1-й зоны Френеля. Здесь амплитуда колебаний ЙАя от узкого кольца, прилегающего к границе 1-й зоны Френеля, отстает по фазе на л от амплитуды колебаний, приходящих в точку Р из центра 1-й зоны — от ЙА„поэтому соответствующие этим амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению. з) 6) в) 2 Рис. 5.5 128 Глава 3 Продолжая построение, получим векторную диаграмму для результирующей амплитуды колебаний в точке Р от действия первых двух зон Френеля (рис. 5.5, б), затем от первых трех зон Френеля (рис. 5.5, в) и т. д.

Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон будет взакручиватьсяв в спираль, и в результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) будет равна А (рис. 5.6). Зту спираль назовем спиралью Френеля (в отличие от другой спирали, с которой мы встретимся в следующем параграфе). Забегая вперед, отметим, что дифракция Френеля связана с действием лишь нескольких первых витков спирали (более подробно об этом в 2 5.4). Таким образом, амплитуда колебаний и интенсивность света в точке Р (см. рис.

5.3) по мере увеличения радиуса отверстия в экране изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда в точке Р увеличивается и достигает максимума прн полностью открытой зоне (см. рис. 5.5, а). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний в точке Р убывает, и прн полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (см. рис. 5.5, б). Затем амплитуда увеличивается снова (рис.

5.5, в) и т. д. То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения отверстия приближать к нему точку наблюдения Р вдоль прямой РэР (см. рис. 5.3). Зто легко понять из данного рисунка: при этом число открываемых зон Френеля в отверстии экрана Э будет увеличиваться. На первый взгляд эти результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса — Френеля, выглядят парадоксальными. Однако онн хорошо подтверждаются опытом.