Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 4

'1 Здесь и в дальисювсм предполагается, чго функции, раалагаемыс в ряды, удовлетворяют соответствующим требоваииям. гл г постхновкл 3АдАчи го Уравнения первого приближения во многих случаях дают вернь>й ответ на вопрос об устойчивости движения, но очень часто заключение, которое можно получить из этих приближенных уравнений„ничего общего не имеет с решением исходных уравнений. Приведем пример.

Пусть урзвнения возмущенного движения имеют вид (сх = сонат) с)хг тг т — =- — пхз+ шгс "Г х + х.;, (1Л5) с) хз — с+ зу',+ з. с 3 2 с)с Умножггм первое уравнение на хд, второе на хз и сложим почленно оба уравнения: хс — +хз — "=и (т,+х,) ' Нх с)хз с)с с)с или (хг~ хз) ~ (хг з) Положим ха+ х'; = гз, где г — расстояние от начала координат до изображающей точки. После перехода к новой переменной г будем иметь 1 с)гз .й.

— — ссс' с)с или -- =- иг . с)г лс Зто уравнение легко интегрируется, и его обпгее решение имеет вид г= го 1 — иге (с — со) где ге — значение г при с .= Из этого решения видно, что при сх ) О расстояние г от пзобрзясающей точки М до начала координат неограниченно возрастает прис се+ —, т. е. движение неустойчиво. [Заметим, что Пш гс = ссге ' С ш =- О, т. е. условие (1Л1) выполнено, хотя двнггсение неустойчиво.) Гслп ясе ст ( О, то г монотонно убывает, стремясь к нулю при с оо, т.

е. движение асимптотически устойчиво. Рассмотрим теперь уравнения первого прибли>конкя с)хг сгх = — ссх, = — ссг„ лс ' лс которые получаются из уравнений (1.15) отбрасыванием членов по- рядка выше первого. 5 ! ". угхннкння Возму«![киного двнжвнпя 2! Для этих уравнений вместо равенства г =- игз будем иметь ~~г ог вли, интегрируя, г — гз. Нто решонке показывает, что озобраягающая точка ЛХ, отвечающая уравнениям первого прпблигкения, движется по окруягности, радиус которой равен начальному отклонению точки йр от начава координат.

Таким образом, кз уравнений первого приближения следует устойчпвостг невозмущенного движения з,.= ха =-Опрп всех а. Нтот вывод ничего общего не имеет с результатом анализа исходных уравнений (1.15), согласно которому при и ) О движение неустойчиво, а нри сг ( О асимптотнчески устойчиво. Вернемся к уравнениям возмущенного двигкения (1.12). Обозначив все члены, стоящие в правых частях этих уравноний, символами Х,, получим для неавтономных уравнений возмущенного движения Нз.

—,' =.Х;(хы..., х„,г) (1= — 1,..., п). (1.16) Если уравнения возмущенного движения автономны, т. е. не содерягат время ! явно, то будем иметь дх ' = Х, (хы .. „х„). (1.17) В дальнейшем совокупность уравнений возмущенного движения мы будем называть часто просто системой. Таким образом, уравнения (1.16) определяют меавтояомпую, а ураэнеппн (1.17) лвтопомпую систеьиз (уравнений возмущенного дпиггггния). Форма дифференциальных уравнений возмущенного двпжепня (!.16) или (1.17) называется нормальной, а движения, определяемые этими уравяениями, называются пгустаяовившижися и устаповивгиимися движегтями соотвотствеяно.

В дальнейшем для сокращения записи совокупность отклонений х„ ..., х„ будем часто обозначать одной буквой х (в главе «г этому будет дано смысловое обоснование). В соответствии с этим для автономной системы будем иметь Хг — -- Х, (х„..., ха) =- Х; (х), а «вя неавтономной системы Х ': Хт (зт х 1) Хт (х 1) 22 гл. 1. постАновкА злдлчп 11з вывода уравнений возмущенного движения видно, что прп х=О (то есть при х,==хе= —...=х„=О) все Функции Хг обращают- и("ггоиг1) ся в нуль: У Х, 1О, 1) == О. 11.1й) нормальная форма днфф1- ренциальных уравнений возРис. СЗ мущенного движения допу- скает простую геометрическую интерпретацию. Действительно, как уже отмечалось, в возмущенном движении изображающая точка М описывает в пространстве х„..., х„некоторую траекторию у.

Скорость СГ движения точки М направлена по касательной к втой траектории, а ее проекции определяются равенствами 1) охг ох Ог=,д 1) ГЕЛИ Е„..., Ео — ЕдИНПЧНЫЕ ВЕКтОрЫ ОртОГОиаЛЬНОй Снетоиы Ох„..., х„, то разложение любого вектора а по координатным ортам в и-иерном пространстве имеет вид а = а,е, + ... + а„е„, где аг,..., а„— проекции вектора а на соответствующие оси. Модуль а вектора а определлется равенством а= у а Рог+...+от, прокаиодпав ои!Ш вектора а будет оп еаг гГа„ ге+ + пс ги щ Ж а ес проекции Радиус-вектор г ивображающей точки АХ равен г = хгсг ! ° ° + х'гюе а ес скорость Лг г!хг и= '= е,+...+ ~е.

ГГ1 и г11 з г.з. пгпмггы нл состлвлгпнв хглвнкппг! 20 или, пользуясь уравнениями (1.16), (7, = Хг,..., У„= Хз. (1.19) Следовательно, правые части нормальных уравнений возмущенного движения (1.16) равны проекциям скорости Ю изобрантающей точки гкг (рис. 1.3). В заключение отметим, что при решении конкретных задач уравнения возмущенного дини!ения ьгонгно не приводить к нормальной форме (1.16) или к виду (1.12), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка.

ф 1.3. Примеры на составление уравнений возмугг(емкого движении Поясним общие методы составления дифференциальных уравнений возмущенного движения на трех примерах. Пример 1. Дифференциаггьныо уравнения возмущенного движения конического малти и к а. Рассмотрим материальнуго точку М массой зг, подпещенную на невесомой вити ОМ к точке О (сферический маятник). Будем считать, что длина нити ранна 1. Положение точки М будем определять углами ф и О, значения которых видны яа рис.1.4 (ось Оз вертикальна, ось з' параллельна неподвижной горизонтальной оси з, прямая Мггг перпендикулярна оси Оз).

Кинетическая и потенциальная анергии сферического маятника определяются равенствами — 1з(0зф г)з =- 1 2 П =- тд1 (! — со 0). Пользуясь уравнениями Лагранжа И дТ дТ дП д дТ дТ дП д! дгй дО дй Тм дф дф дф Ркс. 1.4 составим дифференцвальные уравнения двзжепия сферического маятника: ж1гΠ— гп)гт(гг з!гг 0 соз О + тд1 з!и О =- О, ггг(з((г ыпз О + 2тРОф з!гг О соз Π— — О, Гд 1 ппстлпопнл зхдлчп илн, после очевидных упрощений, 0 = — " сй(в О -(- ()г' я! и О соя О, ! (!.2!) ф —... — 204С с!о О. Полвоины О =- У„О = у„ф = „,. (1. 22) Теперь уравнения двпвсенгья сферического маятника лрянимают впд уравнений (1П): !г =Уь рз = — — ь1 я у! -'- у; з! и у, соя уь, з (! л23) 'о = — 2уоуо с!й у!.

Рассмотрим двпженио маятника по горляонтально распологьенной окружности с постоянной свороти ю (оожюосвий лая>оочх). В этои случае будем иметь О =. у! =. !! (!) — а соль!, д =- у, = )з (!) =- О, ф = уз = ! (!) = ы = сова!. (1.24) Подставив эти значения для у„уз и уз в (1.23), получим иа второго уравнения(нервое итретьеуравйенил обращаются втождества) а!з < оа а ! (!.23) Конечно, это условие, которому должны удовлетворять параметры конического маятника, можно получить из элементарных соображений, например, применяя принцип Далаибера. За невозиущенное движение примем движение, определяемое равенствами (1.24).

В соответствии с общей теорией полол!им уг=а+х! у = ' уз' ю+ з (1. 26) и внесен эти значения для у„уз и уз в уравнения (1.23). У читывая, что и и ю — постоянные, получим дифференциальные уравнения возмущенного движения й нормальной форме (1.17): в!=хо, г = — у !го (а -р х ) .",- (ю+ хз)зма (а —,'- х ) соь (а+ х ), (1.27) 1' то = — 2хг(ю !-х,) с!2(а+х,).

Легко видеть, что правые часю! этих уравнений обращаются прп х, = х, == х, = О в нули (во втором уравнепнп нужно учесть равенство (1.25)), т. е. оии удовлетворя!ос условиям (1.18). Разлагая правые часта в ряды по степеням хг, хз и ха п огранпчпваягь чле. нами первого порлдка малости, получии урашюлпя первого 25 б ! 3 пгимкгы нл состллле1пгн углвнкиип приблня'ения ег — гз т, = — юз зпр а лг + гс з)л 2а.гз~ яз = — 2ы с13 а зм (1,28) при зтол~ учтено равенство (1.25). В следующем примере будет показано, что при составлении дифференциальных уравнений возлтущепного движения можно не прибегать к уравнениям движения системы н форме (1.1).