Краснов Н.Ф. Аэродинамика (том 2) 1980, страница 3

е. (10.2.4) $'в=0 при 0=Ох. Для скачка уплотнения имеем два условия. Первое из этих условий получается из равенства касательных составляющих скорости до скачка и после него, т. е. ет„= 1'„(рис. 10.2.1). В соответствии с этим (10.2.5) Р„= и„сов О,. Глава десятая Рис. 10.2.1 Схема треугольников скоростей перед скачком уплотнения и непосредственно аа ним в случае сверхзвукового обтекания конуса Используя это выражение, можно получить второе условие.

Для этого составим выражение для горизонтальной составляющей скорости и, газа на скачке уплотнения (рис. 10.2.!): и, = У,„соз О, — У,т з!и О, . Умножив обе части этого выражения на Ус„и учитывая (10.2.5), получим и,У = У,„(У,„— У,т !а О,), (10.2.6) где У,„и У, е — соответственно касательная и нормальная составляющие скорости на скачке уплотнения.

Теперь воспользуемся уравнением (4.4.4) ударной поляры и представим его в виде та~ (У и — иаа) (й + 1) (У, — и,)в 2У~, + (й + 1) (а" — У„ис) где ит, — вертикальная составляющая скорости на скачке уплотнения. Используя (4.4.3), имеем 2 ~М~ !а Ос ' а +1 с — й+! Учитывая, что 1((аО, = сов 'О, — 1, а значение У и, определяется из (10.2.6), находим 1 2 сова эс А + 1 а*' — У„+ 1',аУсг 12 Э Имея в виду (10.2.5), получим окончательно граничное условие на скачке уплотнения: (10.2.7) УсгУса 'та+ 1 15 Конус в сверхзвуковом нотона Рис. 10.22 Схема расчета обтекания конуса Рассмотрим вблизи скачка промежуточную коническую поверхность с наклоном образующей От — ДО,, гдеД О, — малое приращение угла О (рис.

10.2.2). Радиальную составляющую скорости У,з на этой поверхности можно вычислить по уравнению (10.1.2), представленному в конечных разностях: ӄ— У„1 —— Уе!ДО. (10.2.10) Полагая здесь У, = У„з и Д О =Д 8, = О, — Оз, получаем У„,= У„+ У„ДО,. (10.2.10') Нормальную составляющую Уез определим из уравнения (10.2.2), также представленного в конечных разностях: Ув — У, = (Л в 7 (8), ДО. Полагая Ув = Уез и ДО =ДОт, находим У„= У„+ ( (Ув 7 (8), ДО„ (10.2.

11') (10.2.11) Систему уравнений (10.1.2), (10.2.2) и (10.2.3) интегрируют каким-либо численным методом. При этом обычно заданными считают величину угла скачка О, и скорость набегающего потока У . В процессе решения уравнений определяют поле скоростей и находят соответствующий угол О„конуса и скорость на нем У, = У„. Рассмотрим метод решения задачи. По заданным значениям Ое и У находим из (10.2.5) радиальную составляющую скорости: У„= У„= 1',„сов О,. (10.2.8) Эту скорость, одинаковую как для условий перед скачком, так и непосредственно за ним, обозначим У„ = У соз8,, где 8, = О,. По этому значению У„ = У„ из (10.2.7) вычисляем нормальную составляющую скорости Уее = Ую за скачком: 1 ха — ! Я (10.2.9) У 51П бх я + 1 !6 Глава десятая где производная (е(УВ/М)! вычисляется из (10.2.2) по параметрам на скачке: "~е ! ( с в = ~ — Уе! с1И В, + Ум 1 — — 2 ~ ~1 — — ~, (10.2.12) ,2О ~ ! причем согласно (10.2.3) а! = а = аее — (у„+ уц) .

2 2 2+1 2 Я вЂ” 1 2 2 2 2 (10.2.13) т=лт — ! в = в,— ~' лв! (10.2. 14) ! составляющие скорости вычисляют по формулам У,„= У„„т+ 1тв еде„! ! (10.2,15) Уе = Уе ! + (Л'в / т(в) едв (10.2.16) где производную (с(УВ/М) ! находят из (10.2.2) по параметрам Ут „ а ! и В„,, = Е 2 — д В 2. Вычисления заканчивают, когда для некоторого значения угла промежуточного конуса (рис. 10.2.2) т=л — ! е„= е„, — де„, = в, — ~ь де,.

! (10.2. 17) нормальная составляющая скорости становится равной нулю, т. е. Уел = Увл — ! + (т(УВ / !20)„!Два ! — О. (10.2.18) Здесь производную (с(УВ/Н)„! находят из (10.2.2) по значениям 1 Вл-21 Утл-! ял ! на соседней промежуточной конической поверх ности с углом наклона образующей т=л — 2 е„, = в, — '~~ лв;. (10.2.19) Принимая за исходные полученные значения У,е, Уве, а также значение !в~, определенное по (10.2.3) в виде а = — авв — (Усе+ Увв), 1+1 6 — 1 2 2 2 2 можно аналогичным способом найти параметры Уте, Увы ае на следующей промежуточной повепхности с углом наклона образующей т=2 е, = в,— дв, = в, — '~ лв,.

! Для произвольной конической поверхности с углом наклона об- разующей Конус в сверхзвуковом потоке В процессе вычислений, как правило, не удается в первом же приближении выбрать такой малый угол ЛО „чтобы удовлетворялось равенство 1'в„= О. Обычно выбранному значению ЛО„, соответствует вычисленная величина )тв„, изменяющая свой знак на противоположный по сравнению со знаком втв„ на соседней поверхности с углом наклона образующей О„,. Зто указывает на то, что значению )те„= 0 соответствУет пРиРащение Угла Л О„„меньшее выбРанного.

Для определения этого приращения надо провести интерполирование, воспользовавшись равенством Л9„1 — — — увл — 1 (с(уз l пО)л (10.2. 18') По значению ЛО„, вычисляют скорость на конусе: У„„=)„=и„„, +Ув„,ЛО„, (10.2.20) (10.2. 21) и угол т=л — 1 О„ = 8„ = О, — '~~ ДОр 1 Аналогичные расчеты можно производить в обратном порядке, задавшись условиями на конусе, причем надо знать угол О„и скорость на конусе у'„.

Когда будут удовлетворены граничные условия (10.2.5) и (10.2.7), численное интегрирование заканчивают. В результате находят параметры газа в возмущенной области, а также угол наклона скачка, возникающего перед заданным конусом, и скорость (число Маха) набегающего потока. Каждая операция численного интегрирования при заданных величинах О„у' (или 8„, У„) дает возможность определить поле скот а,*..

и хзт т=тЕХ *т=1п,-,т'.. и установить соответствие между данным углом конуса О„и скоростью на нем )т„, с одной стороны, и углом скачка О, и скоростью )т с другой. Повторяя расчеты при различных заданных углах О, и фиксированной величине скорости )т, можно найти зависимости вида 8„ = = Р,(0,), )'„= )'„(й„) или тт„= Рв(0,). ПолУченные РезУльтаты можно представить графически в плоскости годографа ш, и в виде так называемой яблоковидной кривой (рис. 10.2.3, а). Эта кривая — геометРическое место концов векторов скорости Т„возмущенного потока непосредственно на обтекаемом конусе.

Точка А, расположенная на яблоковидной кривой и принадлежащая концу вектора скорости, соответствует конусу с заданным углом полураствора 8„; точка В, находящаяся на ударной поляре, совпадает с концом вектора скоРости Гст на соответствующем скачке уплотнения с углом О,. Кривая А — годограф скорости, т. е. геометрическое место концов векторов скорости в возмущенной области течения между конусом и скачком уплотнения.

При построении годографа надо выполнить следующее. Из рис. 10.1.1 по треугольнику скоростей опреде- 1в Глава десятая а) Рис. 10.2.3аЯблоковндная крявая ()) н ударная поляра (2) лим для промежуточной конической поверхности составляющие скорости: 1'„= $l соз (Π— а); Уа = — У з)п (Π— а). (10.2.22) В процессе численного интегрирования по найденным значениям 1'т и Ь'а для заданных углов О определяем отношение у„)у = — (я(Π—.), (10.2.23) по которому подсчитываем угол е наклона вектора скорости 1т к оси конуса.

Полярнгяе координаты Р и е определяют положение точек годографа скорости (см. точку С на рис. 10.2.3, а). Изложенный графический метод решения задачи о сверхзвуковом обтекании круглого конуса принадлежит проф. А. Б у з е м а н у. При помощи яблоковидной кривой и семейства годографов скорости можно наглядно объяснить физический характер обтекания конуса сверхзвуковым газовым потоком. В области между скачком и конусом вдоль линий тока происходит постепенное изэнтропическое сжатие газа.

На рис. !0.2.3, а этому соответствует перемещение из точки В на ударной поляре вдоль годографа скорости в точку А на яблоковидной кривой. Линии тока, как видно из рис. 10.2.2, постепенно искривляются и приближаются к поверхности конуса, принимая направление образующей. Проведем из точки О, как из центра, дугу радиусом а* (рис.

10.2.3, б). Если годограф скорости АВ для заданного угла О„, конуса расположен справа от дуги, то изэнтропическое сжатие за ударной волной происходит при сверхзвуковых скоростях. Для некоторого угла конуса О„в) О„, часть годографа 6К может оказаться левее дуги, а часть К)) — правее. Таким образом, возмущенное течение— смешанное. В области, примыкающей к скачку уплотнения, течение свв)тхзвуковое, а вблизи поверхности конуса — дозвуковое. )Тля еще большего угла конуса О„в ) б„в годограф скорости ЕЕ располагается левее дуги ое и, следовательно, возмущенный поток — полностью дозвуковой.

19 Конус в сверхзвуковом потоке Ркс. 10.2.36 Яблоконндная крнная (!) н ударная поляра (21 Анализ яблоковидной кривой показывает, что каждому углу конуса б„соответствуют теоретически два решения (см. на рис. 10.2.3,а точки А и А' пересечения прямой АО с яблоковидной кривой). Одно решение дает меньшую скорость и ббльший угол наклона скачка, а другое — ббльшую скорость и меньший угол наклона скачка. Как показывают экспериментальные исследования, ". реально второе решение, соответствующее устойчивому потоку за скачком уплотнения. Можно указать точку Тл, в которой луч, проведенный из начала координат, касается яблоковидной кривой.

Эта точка соответствует теоретически единственному решению и определяет критический угол конуса б„.„р. Если действительный угол конуса больше критического, то при помощи этой кривой формально нельзя исследовать обтекание конуса. В реальных условиях это обтекание характеризуется тем, что скачок отходит от острия и искривляется (рис.

10.2.4). Такое обтекание называют сверхкритическилт. Нетрудно заметить, что критический угол является функцией только скорости набегающего потока (соответственно числа М = Р' /а или относительной скорости )т„ = у' /ае). Согласно экспериментальным данным, скачок уплотнения отходит от вершины при углах 6„, несколько ббльших тех, которые определяются точной теорией обтекания конуса.

Так, для числа М = 2,45 экспериментально найдено, что отход скачка уплотнения пРоисходит при угле 6„ = 46', в то время как вычисленное по теории значение 6„ = 45'46'. Экспериментальные исследования показывают, что коническое течение, соответствующее постоянной скорости на конусе, сохраняется до тех пор, пока на его поверхности не достигается скорость звука.