Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика., страница 8

Дея того чтобы Г было компактным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия этого множества можно было выделить конечное покрытие. т Необходимость. Пусть Р С Х вЂ” компакт, [О ) ял — семейство открытых множеств, покрывающих Р, (е ) — бесконечно малая последовательность положительных чисел, х,, хз, ..., х„— конечная е,-сеть для множества Г. Тогда Р = ( ( Р;, где Г( = О„(х( ) г) Р. и) и) (о (и *= ( Множества Г( — компактные в себе, причем д(Р() < 2е(, где д(Г;) — диаметр множесша Г( Прелположим, что не существует конечного покрытия множества Г.

Тогда этим свойством обла- 20 Гл. !. Основные структуры математического анализа дает хотя бы одно из множеств Р„которое обозначим через Гн . Рассуждая аналогично, выделим из Рн компактную в себе часть Рой диаметром д(Гнч) ( 2е,, которую нельзя покрыть никаким конечным семейством, вьгделенным из семейства (О ) вл. Продолжая этот процесс выделения компактных в себе частей, получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств 2 ~ ''" ~ ! г диаметры которых стремятся к нулю (поскольку д(Р,„,;„) ( 2г„и г„= о(1)). По теореме ! существует точка хь Е Г, принадлежащая всем этим множествам. Поскольку семейство (6„) ел покрывает множество Р, то существует такое множество О„ь из этого семейства, что хь Е О„ь. Так как О ь — открытое множества, то существует е-окрестность О,(хь) С О,.

Выберем и С )г( нз условия д(Гчч;„) < г. Тогда справедливо включение Г„„, С О,(х,), противоречащее предположению о том, что никакое конечное семейство из (О ) сл не покрывает множество Г;„, г„. Источник противоречия — в первоначальном предположении, что не существует конечно~о покрытия множества Р. Достаточность. Предположим, что из всякого покрытия (О ) гл множества Г можно выделить конечное покрытие. Пусть М С Р - подмножество, не имеющее прелельных точек. Тогда ч'х Е Г существует окрестносп, О,.

(х), не содержащая точек множестна М, кроме, быть может, точки х. Эти окрестности покрывают множество Г. Выделим из семейства (О~.~) вл конечное покрытие (О, (х,)) —,„. Так как М С ( ) О, (х,) и в кюкдой окрестности О, (хг) может содержаться не более одной точки из М, то множество М конечное.

Следовательно, всякое бесконечное подмножество М С Р должно иметь предельные точки, т. е, Р— компактное в себе множество. В Определение 5. Миалсгства К С Х точек метрического пространства (Х, р) называется компактным, если из любого покрытия (О„) ьл множества К мажпа выделить капечпаг ега пакрьипие. 9 5. Связные пространства и связные множества Определение !. Метрические пространства (Х, р) пазываетс» связным, если пв существует двух таких открытых пепустых падмпажгств А С Х и В С Х, чта А ьз В = Х и А гз В =т. Эквивалентная формулировка; метрическое пространство (Х, р) связно, если из всех падмпахсвств множества Х толька пустое мпажество и само Х одновременно открыты и замкнуты.

Определение 2. Множество Е С Х в метрическом пространстве (Х, р) связпа, если связно падпрагтрапства (Е, р) . Определение 3. Открытое связное мпахсества называется областью. Определение 4. Область вместе са своей грапицги называется замкпутай областью. Действительная прямая является связным пространством. Для того чтобы множество А С К было связно, необходимо и достаточно, чтобы А было промежутком (ограниченным или нет). $ 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое бз.

Предел и непрерывность отображения. Пусть (Х, рл) и (У, рт) — метрические пространства, У: Х !', хь Е Х вЂ” предельная точка множества Вг. $6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического щюстраиства в другое 21 Определение 1. Точка а Е )' назыеается частичным пределом отобрахсения «е точке хе, если суигестеует такая лоследоеательность (х„) точек мнохсестеа РР что (х„х,) л (Чп Е Г( х„Ф хР д ( 1пп «(х„) = а). Условия (1) можно записать в виде; '(рх(хо~ х„) = о(1)) л (чп Е р( рх(хг, х„) > О) Л (ру(а, «(х„)) = о(1)). Множество всех частичных пределов отобрюкения «в точке ха обозначим символом Ег(хь).

Определение 2. Если множество Ег(хь) состоит из одной точки а, то она назыеается пределом отображения «е точке хь и обозначается символом !цп «(х). о Смысл опрелеления 2 состоит в том, что лля любой последовательности (х„) точек множества Рг, члены которой отличны от хе, сходящейся к хе, посяедовательность («(х„)) схолится к а. Предел отображения в точке на языке последовательностей принято называть пределом е смысле Гейне (1321-18о1). Оеределение 3 (Гейне). Отображение «называется непрерыепым е точке хч Е РГ, если 1пп «(х) = «(хь) всякий роз„как только х„хч и Уп Е ь'( х„Е Рз.

— а Если отображение «непрерывное 7х Е Рг, то будем его называть непрерывным. Если хь Е Рг и является предельной точкой множества Рг, то отображение «непрерывно в точке хч тогда и только тогда, когда !цп «[х) = «(хч). В изолированной точке каждое *- о отображение непрерывное. Отображение, не являющееся непрерывным в точке х, Е Рг, наплвается разрыеным в ней. Пусть х, — предельная точка множества Рг и хе Е Рг. Она называется точкой устранииого разрыва для отображения «, если существует 1цп «(х) Е У. В этом случае отображение «", определенное формулой «(х), если х Е Рг~(хч), «(х) !!щ «(х) при х = ха, о является непрерывным в точке хе.

Теорема (о непрерывном образе компакта). Пусть «: Х вЂ” г' — непрерыеноеотображепие и Рг — компакт. Тогда множество Ег компактное е себе, т. е, непрерывный образ компакта есть комлаюн. т Рассмотрим произвольную последовательность точек (у„) из множества Ег —— «(Рг).

Тогда существует такая последовательность (х ), что чп Е Р( х„Е РГ л у„= «(х„). Согласно опреде- ЛЕНИЮ КОМПахта, СущЕСтВуЮт ХЬ Е РГ И ПОдПОСЛЕдааатЕЛЬНОСтЬ (Х„ь) таКИЕ, Чта *„, -+ ХЧ Прн й — оо. По определению непрерывного отображения имеем у„„= «(х„ь) «(х,) = у, Е Е(, что означает компактность в себе множества ЕГ. И 6.2. Непрерывность композиции огобраищиий. Пусть (Х, рх), (Т, рх), (Я, рх) — метрические пространства, «: Х У, д: У Я, Е(СР . Теореиа 2 (о непрерывности композиции отображений). Пусть отображение « непрерыено е точке хч Е РГ, а отобралсение д неарерыено е точке «(хо) Е Р .

Тогда композиция д о «нелрерыена е точке хч. ° пусть * хо и Уп е м х„е Р,.г. тогда у = «(х„)/~«(хч) л у„е Р,. поэтому д(уч) д(«(хо)) при и — ~ со. Следовательно, (д о «)(х„) = д(у„) д(«(хч)) = (д о «)(хо) Гл. 1. Осноошые структуры математического анализа 22 Теорема 2. Русто хо — лредельнал точка мнохсестеа Ре,ы Если !цп Г(х) = уо и отобрахсе*ь ние д У вЂ” ь Я гсепрерыагсо е точке уо, то 1(ш д(Т(х)) = д(уо). ь <ч Полагаем Г У(х), если х б РгЦхо) Г'(х) = уо при х = хо.

Отображение у* непрертовно в точке хо. По теореме 1 композиция д о Г" непрерывна в этой точке. Поэтому !цп (д о У)(х) = )пп (д о У')(х) = (д о Г*) (хо) = д(Уо). Ы 6.3. Непрерывность обратного отображения. Теорема (о непрерывности обратного отображения). Пусть (Х, рх) (Г, ру)— метрические пространства, У: Х Г и Рг — компакт. Если отображение У непрерыоно и обратимо, то У ' непрерыеное, м пусть (у„) — последовательность точек множества ег, сходящаяся к уо б ег, и а— частичный предел последовательности (Т '(у„)) . Поскольку Рг — компакт, то а б Р). Из непрерывности отображения Г следует, что У(а) является частичным пределом последовательности (у„), в силу чего У(а) = уо и а = / '(уо).

Таким образом, все частичные пределы последовательности (Т (у„)) равны У (уо), т.е. Огп Г '(у„) = У '(уо), что означает непрерывность отображения Г в точке у,. Так как у, — произвольная точка множества ЕР то à — непре— с рывное отобрюкение. М 6.4. Предел н непрерывность отображения в смысле Козни. Некоторые свойства непрерывных отображений.

Пусть (Х, рх), (Г, ру) — метрические пространства, У: Х У. Определение 1. Русто хо — предельная точка мнолсестеа Р) и а б 1'. Гочка а называется пределом отображения У е точке хо е смысле Коши, если (ое > 0) (3б > 0) (чх б Рг, 0 < рх(хо, х) < б): ру(а, Г(х)) < е. (1) Теорема 1. Определения предела отображения о точке «о Геине и по Коши зкеиеаленппсы. М ПУСТЬ 1!Ш У(Х) = а В СМЫСЛЕ КОШИ, Х„- Хо И ЧУП б а) Х„Р' Хо. ТОГДа ДЛЯ УхаэаииОГО в условиях (1) б > О существует и, б М: 1(п > по 0 < рх(хо, х„) < б. Согласно определению 1, чп > л, ру(а, Г(х„)) < е, т.е. У(х„) — а.

Получили, что точка а является пределом отображения Г в точке хо в смысле Гейне. Предположим, что а = !пп Г(х) в смысле Гейне, и покажем, что а является пределом -*и отображения Г в точке хо в смысле Коши. Допустим, что это не так, т.е. для некоторого ео > 0 нельзя указать соответствующего б > 0 в условиях (1): ч(б > 0 Лх б Р) такое, что 0 < рх(хо, х) < б, однако р„(о, у(х)) > ео. Пусть (б„) — бесконечно малая последовательность положительных чисел. По предположению О(п б М)(эх„б Ру)(с(п б р(х„р х, гс 0 < рх(хо, х„) < б„): ру(а, 1(х„)) > ео. Поскольку б„= о(1), то йпз х„= хо, откуда лосские следовать предельное соотношение йш р;(а, У(х„)) = О, противоречащее тому, что оп б (Ч ру(о, У(х„)) > ео. Источник противоречия — в предпололсении, что а не является пределом отобралсения Г в точке хо в смысле Коши.

и Оиределеиие 2. Отображение У с Х У назыеается непрерыоным о точке хо б Рг е смысле Коши, если (з(е > 0)(йб > 0)(ссх б РР рх(хо х) < б): ру(Г(хо) У(х)) < е. (2) Очевидно, по определения Гейне и Коши непрерывности отображения в точке равносильны. 56. Предел и иеирерывиость отвбрткеиия из одного метрического вростраяства и другое 23 Понятие непрерывности отобралсения в точке носит локальный характер.

На это указывают следуюпсие утверждения. Теорема 2 (о непрерывности сужения отображения). Пусть атабразкениеУ: Х- Е непрерывно в точке хо Е Рс, А С Вг и хо Е А, Тогда сузкение 1!л — непрерывное в точке хо отображение. < ПУсть х„- хо и ссп Е Р( х„б А, То~да Усл(х ) = У(х ) У(хо) = 1|л(хо). > Напомним, что множество И С Х называется окрестностью точки хо Е Х (см. п.3.4), если существует такое открытое множество 0 С Х, что хо Е 0 С (г.