Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика., страница 4

4 Объединение множеств Ма и Ма состоит изо всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств М,, Ма (рис. 4). Определение 3. Разностью множеств М, и Ма называется множество МассМа = (а (а б Ма Л а Ы' М,). Разность множеств М, и М, состоит из всех тех и только тех элементов множества М„которые не входят в множество М, (рис.

5). Если Ма Э Ма, то Разность Ма а!Ма называетсЯ также дополнением М, в М, и обозначается символом Сы,М, (или СМа, когда это не может привести к недоразумениям). Пусть М, б ехрМ, М, б ехр М. Тогда справедливы равенства С(М, та М,) =СМ, ОСМ„С(М, пМ,) =СМ, оСМ,. (1) Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости леммы !.

Допуская выполнение равенства (1) для и Ф Р(, имеем б 1. Элементы теории множеств и отображений Свойства, записанные этими равенствами, называют прнлципом двойственности. Докажем пеРвое из них. ПУсть х Е С(Мг О Мг). Имеем х Е С(М~ О Мг) ~ х Е Мг О М, ~ х Я М~ Л х Е Мг =ь ~ХЕСМ, ЛХЕСМг~ХЕСМ~ ОСМг~С(М, ОМг)ССМ, ОСМг. Если у Е СМг и СМг, то получим: У Е СМг Гг СМг ~ У Е СМг Л У Е СМг — .'~ У Я М, Л У Е Мг ~ ~ у Е М, О М, ~ у Е С(М, О М,) ~ СМ, П СМ, С С(М, О М,). Из последних включений следует доказываемое равенство. Второе равенство в (1) доказывается аназогично. Принцип двойственности без труда переносится на произвольное семейство подмножеств множества М.' СОМ, =()СМ„С()М. =()СМ„.

(2) Из формулы (2) видно, что символ дополнения С можно менять местами со знаками О и П, причем один из этих знаков переходит в другой. 1.5. Упорядоченная пара н декартово произведение множеств. Важным лля математики является понятие упорядо- у ченной пары (х, у), составленной иэ элементов одного и того же множества или из элементов разных множеств Х и У.

Основное свойство упорядоченной пары со- . М(х,У) стоит в следующем: две упорядоченные пары (х„у,) и (х„уП считаются раенымн тогда и только тогда, когла х~ = хг и у~ =- уг. Элемент х называется первой компонентой (коорднннтой) пары (х, у), а элемент у — второй компоненпюй (коордннатой) той же пары. Понятие упорядоченной пары так же, как и понятие множества, х Х можно считать первичным.

С помощью понятия упорядоченной пары вводится Рве. 6 еше одна операция над множествами — операция прямого или декартова умножения. Определение. Декартовым произведением множеств Х и У называетсн множество Х х У = ((х, у) ! х Е Х, у Е У). Декартово произведение двух пересекающихся различных прямых можно отохшествить с плоскостью, проходящей через зги прямые, по правилу "М = (х, у)" (рис. 6). Это свойство легкит в основе метода координат, предложенного знаменитым математиком Рене Декартом (1596 — 1650) для решения геометрических задач, и объясняет название умножения.

Посредством метода математической индукции определяется упорядоченный набор и+ 1 элементов (х„х„..., х„.„) = ((хп хг,..., х„), хвы), и Э 2, и декартово произведение множеств Х, к Хг х ... х Хв и = (Х, х Х, х ... х Х„) х Х эп 1.6. Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение. Определыше. Множество Г называемся бинарным отношением мегкду элементими множествХ иу,еслиГСХкУ, Над бинарными отношениями можно проводить не только обычные для множеств операции (пересечения и объединения), но и специальные — проектирования и обрюцения.

)уервой проекцией бинарного отношения Г С Х х У называется множеспю Г, = пр,Г = (х Е Х ( Эу Е У: (х, у) Е Г) Гл. 1. Основные структуры математического анализа Первз» проекция бинарного отношения Г состоит нз всех первых координат упорядоченных пар, принадлежаших мнозкеству Г (рис. 7). Множество Г,(х) = (у б У ( (х, у) б Г) называется лервым сечением Г посредством х (см. рис. 7). Оно состоит нз вторых координат всех тех точек из Г, у которых первая координата равна х, Первое сечение является пустым множеством 1(х (8 Гн Второй проекцией бинарного отношения Г называется множество Гз —— прзГ = (у б У | Лх б Х: (х, у) б Г) Вторая проекция бинарного отношения à — это множество всех вторых координат тех упорядоченных пар, которые принадлежат множеству Г (рнс.

8). Множество Гз(у) = (х б Х ! (х, у) Е Г) называется вторым сечением Г посредством у (см. рис.8). Оно состоит нз первых координат всех тех точек из Г, у которых вторая координата равна у. Второе сечение является пустым множеством чу б Гз. Каждому бинарному отношению Г можно поставить в соответствие обратное бинарное атиашение Г ' по правилу Г = ((у, х)( (х, у) б Г) Рнь. 9 (рис. 9). Иногда операцию обрашения Г называют операцией транснаниравания отношения Г.

1 7. Функциональное бинарное отяошеиие. Фуикпуш и простейшие понятия, связанные с иею. бинарное отношение Г называется функциональным, если оно не содержит различных упорядоченных пар с одинаковыми первыми координатами. Сформулируем основное определение отображения из множества Х в множествз У. Определение 1. Унарядочгнная тройка мназкеств (Х, У, Г) называется отобразкением из множества Х в множество У, если Г есть функциональное бинарное атношенигмгзкду элементами множеств Х и У. Множество Х называется аблаонью отправления отображения, множество У вЂ” областью нрибытил отображения, множество à — графикам отображения. Обычно отображение обозначают какой-нибудь строчной латинской буююй, например, з.

При этом вместо з = (Х, У, Г) пишуг. У: Х вЂ” У. Если Х и У известны, то, согласно определению, задание отображения / равносильно заданию графика Г. б 1. Элементы теории множеств н отображений Первая проекция графика отображения у называется областью (множеством) определения отображения у и обозначается Рг или Р(у). Вторая проекция ~рафика отобрюкения у называется областью (множеством) значений озпбражения у и обозначается ЕГ или Е(1).

Если х Е Рг и пара (х, у) принадлежит графику отображения у, то элемент у называется значением отображения у иа элементе х и обозначается /(х). Если известны область определения Рг н значения у(х) чх Е Ру, то график Г(з ) отображения У строится по правилу Г(г) = ((х, З'(х)) / х Е РГ). Если РГ = Х, то отображение З": Х ч У нюывается отображением множества Х в множество У и обозначается Х ч К г Если РГ = Х, ЕГ = У, то отображение Г: Х У называется отображением множества Х на множество У и обозначается Х К г на Функдия У, =- (Х, У, Г,) называется сужением функции у = (Х, К Г), если Г, С Г.

В этом случае функция з называется продолжением функции /, с множества Рй — — пр,Г, на множество Рг — — пр,Г. Если А — множество и А С пр,Г, то существует такое сужение у, функции у, которое имеет свойство А = Рд. Функция У, называется сужением функции у' на множество А и обозначается у(л. Существование сужения функции у на множество А вытекает из того, что Г(у,) = ((х, у) ) х Е А л (х, у) б Г). Определение 2. Пусть Г': Х ч У. Для любого подмножества А С РГ подмножество множества ег, определяемое свойством "существует такой элемент х е А, что у = )(х)", тпываетсл образом мнолгестви А при отображении Г и обазничаетсл через /(А). Дгл любого подмнозкества А' С ЕГ подмножество мнолгества РГ, определяемое свойством г(х) Е А', назывиетсл прообразом А' при отобрахгении з' и обозначается з '(А').

Задавая отображение, часто пользуются записью х ч у(х). Пусть Х вЂ” множество. Отображение г( — "-~ Х называется последовательностью элементов множества Х и обозначается (х„). Если Х = 1(, то последовательность (х„) называется числовой. 1.8. Обратная функция. Композиция отображений. Отображение / = (Х, У, Г) называется обритимыи, если бинарное отношение Г ' является функциональным отношением ме:кду элементами множеств У и Х. В этом случае отображение (У, Х, Г ') называется обратным отобралсению Г' и обозначается у '.

Обратимое отображение Г множества Х на множество У называется взаимно однозначным или биективным отображением и обозначается Хч — чК Тогда чу Е У 3! х Е Х: у(х) = у и полагаем Г' '(р) = х. Важным в математике является понятие композиции отображений. Пусть даны отображения у: Х У и рп Т ч Х. Хомпомгцил отображений (в и з обозначается з' о р. Ее область определения состоит из всех тех значений Г Е Р„, для которых )з(О Е Рг. Значение композиции вычисляется по формуле 1.9. Параметрическое н неявное отображения.

Если заданы отображения Т ~ Х, Т У, то опрелелено отобрюкение Х вЂ” У. Его называют заданным парамегпрически посредством отображений р и чз. При этом переменная Г называется параметром. Гл. 1. Основные структуры математического анализа 10 Рассмотрим отображение Х х У С, а такке уравнение Р(х, у) = с, где с Е 6' — некоторый элемент. Если существуют такие множества Р С Х, 1'„) С У, что при какдом фиксированном х 6 Р уравнение Р(х, у) = с имеет единственное решение у й (2, то на множестве Р определена функция У, лля которой Ет — — Д, При этом у называется неявной функиией, заданной уравнением Р(х, у) = с.

1.10. Изоморфпзм. Пусть множество Е обладает внутренней бинарной операцией Т, а множество Р— внутренней бинарной операцией .1. Изоморфизиом множества Е на Р называется такая биекция что ч(а б Е, Ь Е Е) 1(а Т Ь) = )(а) 2. з (Ь). При этом множества Е и Р называются июморфныии относительно операций Т и Х. Пусть, например, Е = )ч, операция Т вЂ” сложение, Р = (2"), операция л — умножение. Отображение ŠР— изоморфизм, посколысу ч(п б (ч(, т Е Щ и+ и» 2нъ = 2" 2, т. е. ((и+ пз) = у(п)/(гн), 5 2.

Математические структуры Математической структурой называется множество объекюа или несколько множеств объектов различной природы, обладающих системой бинарных отношений и бинарных операций, подчиненных определенным аксиомам. 2.1. Группа. Группой называется непустое множество Е вместе с правилом, ставящим каждым двум эле- ментам а Е Е, Ь б Е в соответствие некоторый вполне определенный третий элемент а о Ь б Е так, что выполнены следующие условия: 1) операция о ассоциативна: у(а б Е, Ь б Е, об Е) а оЬо с = (а об) ос; 2) в Е существует нейтральный элемент, т.е. такой элемент и, что чуа б Е а оп = а; 3) ча б Е За' б Е: а о а' = и (а' называется элементом, обратным элементу а). Если, кроме того, 4) ч(а Е Е, Ь Е Е) а о Ь = Ь о а, то группа Е нюыаается абелевой или коммутатииной.